《[数学]2011高考数学试题汇编_第八章圆锥曲线方程第一节椭圆》由会员分享，可在线阅读，更多相关《[数学]2011高考数学试题汇编_第八章圆锥曲线方程第一节椭圆（23页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、.第八章 圆锥曲线方程一 椭圆考点阐述椭圆及其标准方程椭圆的简单几何性质了解椭圆的参数方程考试要求1掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质,了解椭圆的参数方程考题分类一选择题共4题1.XX卷文11若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则的最大值为 A.2 B.3 C.6 D.8答案C解析由题意,F-1,0,设点P,则有,解得,因为,所以=,此二次函数对应的抛物线的对称轴为,因为,所以当时,取得最大值,选C。命题意图本题考查椭圆的方程、几何性质、平面向量的数量积的坐标运算、二次函数的单调性与最值等,考查了同学们对基础知识的熟练程序以及知识的综合应用能力、运算能力。2
2、.XX卷文7若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是 A BCD3.全国卷理12文12已知椭圆的离心率为,过右焦点且斜率为的直线与相交于两点若,则A1 BCD2答案B命题意图本试题主要考察椭圆的性质与第二定义.解析设直线l为椭圆的有准线,e为离心率,过A,B分别作AA1,BB1垂直于l,A1,B为垂足,过B作BE垂直于AA1与E,由第二定义得,由,得,即k=,故选B.4.XX卷理9文10椭圆的右焦点,其右准线与轴的交点为A,在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分线过点,则椭圆离心率的取值范围是ABC D解析：由题意,椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点,即F
3、点到P点与A点的距离相等而|FA| |PF|ac,ac于是ac,ac 即acc2b2acc2又e故e答案：D二填空题共3题1.XX卷文15已知椭圆的两焦点为,点满足,则|+|的取值范围为_,直线与椭圆C的公共点个数_。答案解析依题意知,点P在椭圆内部.画出图形,由数形结合可得,当P在原点处时,当P在椭圆顶点处时,取到为,故范围为.因为在椭圆的内部,则直线上的点x, y均在椭圆外,故此直线与椭圆不可能有交点,故交点数为0个.2.全国卷理16文16已知是椭圆的一个焦点,是短轴的一个端点,线段的延长线交于点,且,则的离心率为 .答案命题意图本小题主要考查椭圆的方程与几何性质、第二定义、平面向量知识,
4、考查了数形结合思想、方程思想,本题凸显解析几何的特点：数研究形,形助数,利用几何性质可寻求到简化问题的捷径.解析如图,作轴于点D1,则由,得,所以,即,由椭圆的第二定义得又由,得,整理得.两边都除以,得,解得.3.上海春卷5若椭圆上一点P到焦点的距离为6,则点P到另一个焦点的距离是_。答案：4解析：由椭圆的定义知,故。三解答题共20题1.XX卷理19文17,已知椭圆经过点,对称轴为坐标轴,焦点在轴上,离心率。 求椭圆的方程；求的角平分线所在直线的方程；在椭圆上是否存在关于直线对称的相异两点？若存在,请找出；若不存在,说明理由。2. XX卷文17椭圆经过点,对称轴为坐标轴,焦点在轴上,离心率。
5、求椭圆的方程；求的角平分线所在直线的方程。命题意图本题考查椭圆的定义及标准方程,椭圆的简单几何性质,直线的点斜式方程与一般方程,点到直线的距离公式等基础知识；考查解析几何的基本思想、综合运算能力.解题指导1设椭圆方程为,把点代入椭圆方程,把离心率用表示,再根据,求出,得椭圆方程；2可以设直线l上任一点坐标为,根据角平分线上的点到角两边距离相等得.解：设椭圆E的方程为规律总结对于椭圆解答题,一般都是设椭圆方程为,根据题目满足的条件求出,得椭圆方程,这一问通常比较简单；2对于角平分线问题,利用角平分线的几何意义,即角平分线上的点到角两边距离相等得方程3.北京卷文19已知椭圆C的左、右焦点坐标分别是
6、,离心率是,直线y=t椭圆C交与不同的两点M,N,以线段MN为直径作圆P,圆心为P。求椭圆C的方程；若圆P与x轴相切,求圆心P的坐标；设Qx,y是圆P上的动点,当t变化时,求y的最大值。解：因为,且,所以所以椭圆C的方程为命题意图本题考查了椭圆方程、直线与圆的位置关系以及应用参数法求最值等问题.问题的设置由浅入深,符合学生的思维能力的生成过程,问题的设置也兼顾考查了应用代数的思想解决几何问题的能力.点评圆锥曲线问题是每年的必考题型,其试题的难度会有所增加,但是其试题一般都是有梯度的,且此类问题的设置时基于对基础知识、基本能力的考查基础上能力的拔高.求解此类问题往往要应用到代数的方法和思想来求解
7、,故此在平时的学习中要注意对圆锥曲线的标准方程、参数关系、基本方法、基本题型的掌握和熟练.4.XX卷理17已知中心在坐标原点的椭圆经过点,且点为其右焦点。求椭圆的方程；是否存在平行于的直线,使得直线与椭圆有公共点,且直线与的距离等于4？若存在,求出直线的方程；若不存在,说明理由。命题意图本小题主要考查直线、椭圆等基础知识,考查运算求解能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想。解析1依题意,可设椭圆C的方程为,且可知左焦点为F-2,0,从而有,解得,又,所以,故椭圆C的方程为。2假设存在符合题意的直线,其方程为,由得,因为直线与椭圆有公共点,所以有,解得,另一方面,由
8、直线OA与的距离4可得：,从而,由于,所以符合题意的直线不存在。5.XX卷18在平面直角坐标系中,如图,已知椭圆的左右顶点为A,B,右焦点为F,设过点T的直线TA,TB与椭圆分别交于点M,其中m0,设动点P满足,求点P的轨迹设,求点T的坐标设,求证：直线MN必过x轴上的一定点其坐标与m无关解析 本小题主要考查求简单曲线的方程,考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。1设点Px,y,则：F2,0、B3,0、A-3,0。由,得化简得。故所求点P的轨迹为直线。2将分别代入椭圆方程,以及得：M2,、N,直线MTA方程为：,即,直线NTB 方程为：,即。联立方程组
9、,解得：,所以点T的坐标为。3点T的坐标为直线MTA方程为：,即,直线NTB 方程为：,即。分别与椭圆联立方程组,同时考虑到,解得：、。方法一当时,直线MN方程为：令,解得：。此时必过点D1,0；当时,直线MN方程为：,与x轴交点为D1,0。所以直线MN必过x轴上的一定点D1,0。方法二若,则由及,得,此时直线MN的方程为,过点D1,0。若,则,直线MD的斜率,直线ND的斜率,得,所以直线MN过D点。因此,直线MN必过轴上的点1,0。6.XX卷理21设椭圆：,抛物线：. 若经过的两个焦点,求的离心率； 设,又为与不在轴上的两个交点,若的垂心为,且的重心在上,求椭圆和抛物线的方程解析考查椭圆和抛
10、物线的定义、基本量,通过交点三角形来确认方程。1由已知椭圆焦点在抛物线上,可得：,由。由题设可知M、N关于y轴对称,设,由的垂心为B,有。 由点在抛物线上,解得：故,得重心坐标. 由重心在抛物线上得：,又因为M、N在椭圆上得：,椭圆方程为,抛物线方程为。7.XX卷文21已知抛物线：经过椭圆：的两个焦点. 求椭圆的离心率； 设,又为与不在轴上的两个交点,若的重心在抛物线上,求和的方程.解：1因为抛物线经过椭圆的两个焦点,所以,即,由得椭圆的离心率.2由1可知,椭圆的方程为：联立抛物线的方程得：,解得：或舍去,所以,即,所以的重心坐标为.因为重心在上,所以,得.所以.所以抛物线的方程为：,椭圆的方
11、程为：.8.XX卷理20设椭圆C：的左焦点为F,过点F的直线与椭圆C相交于A,B两点,直线l的倾斜角为60o,.求椭圆C的离心率；如果|AB|=,求椭圆C的方程.解析：9.XX卷文20设,分别为椭圆的左右焦点,过的直线与椭圆相交于,两点,直线的倾斜角为,到直线的距离为。求椭圆的焦距；如果,求椭圆的方程。解：设焦距为,由已知可得到直线l的距离所以椭圆的焦距为4.设直线的方程为联立解得因为即得故椭圆的方程为10.全国新卷理20设分别是椭圆的左、右焦点,过斜率为1的直线与相交于两点,且成等差数列。1求的离心率；2 设点满足,求的方程解：I由椭圆定义知,又,得的方程为,其中。设,则A、B两点坐标满足方
12、程组 化简的则因为直线AB斜率为1,所以得故所以E的离心率II设AB的中点为,由I知,。由,得, 即得,从而 故椭圆E的方程为。11.全国新卷文20设,分别是椭圆E：+=10b1的左、右焦点,过的直线与E相交于A、B两点,且,成等差数列。求若直线的斜率为1,求b的值。解：1由椭圆定义知又2L的方程式为y=x+c,其中设,则A,B 两点坐标满足方程组化简得 则因为直线AB的斜率为1,所以即 .则 解得. 12XX卷理21如图,已知椭圆的离心率为,以该椭圆上的点和椭圆的左右焦点F1、F2为顶点的三角形的周长为。一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点,设P为该双曲线上异于顶点的任一点,直线PF1和PF2与
13、椭圆的焦点分别为A、B和C、D。求椭圆和双曲线的标准方程设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2,证明：k1k2=1 是否存在常数,使得|AB|+|CD|=|AB|CD|恒成立？若存在,求的值,若不存在,请说明理由。解析由题意知,椭圆离心率为,得,又,所以可解得,所以,所以椭圆的标准方程为；所以椭圆的焦点坐标为,0,因为双曲线为等轴双曲线,且顶点是该椭圆的焦点,所以该双曲线的标准方程为。设点P,则=,=,所以=,又点P,在双曲线上,所以有,即,所以=1。假设存在常数,使得恒成立,则由知,所以设直线AB的方程为,则直线CD的方程为,由方程组消y得：,设,则由韦达定理得：所以|AB|=,同理可得|CD|=,又因为,所以有=+=,所以存在常数,使得恒成立。命题意图本题考查了椭圆的定义、离心率、椭圆与双曲线的标准方程、直线与圆锥曲线的位置关系,是一道综合性的试题,考查了学生综合运用知识解决问题的能力。其中问题3是一个开放性问题,考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力,标准答案本小题主要考查椭圆、双曲线的基本概念和基本性质。考查直线和椭圆的位置关系,考查坐标化、定值和存在性问题,考查数行结合思想和探求问题的能力。解设椭圆的半焦距为c,由题意知：,2a+2c=4所以a=2,c=2,又=,因此b=2。故 椭圆的标准方程为由
