16-2 平面简谐波 波动方程 波动方程：描述介质中各质点的位移随时间的变化关系 平面简谐波传播时，介质中各质点都作同一频率的简谐波动，在任一时刻，各点的振动相位一般不同，它们的位移也不相同据波阵面的定义可知，任一时刻在同一波阵面上的各点有相同的相位，它们离开各自的平衡位置有相同的位移平面简谐波1.平面简谐波的波动表式 平面简谐行波，在无吸收的均匀无限介质中沿x 轴的正方向传播，波速为u 取任意一条波线为x 轴，取O 作为x 轴的原点O点处质点的振动表式为平面简谐波的波动表式 考察波线上任意点P，P点振动的相位将落后于O点若振动从O 传到P所需的时间为t，在时刻t，P点处质点的位移就是O 点处质点在t t 时刻的位移，从相位来说，P 点将落后于O点，其相位差为 t P点处质点在时刻t 的位移为： 因 波线上任一点的质点任一瞬时的位移由上式给出，此即所求的沿x 轴方向前进的平面简谐波的波动方程 利用关系式 和 ，得其中平面简谐波的波动表式波动表式的意义： 上式代表x1 处质点在其平衡位置附近以角频率 作简谐运动即x 一定令x=x1，则质点位移y 仅是时间t 的函数t 一定令t=t1，则质点位移y 仅是x 的函数。
平面简谐波的波动表式即 以y为纵坐标、x 为横坐标，得到一条余弦曲线，它是t1时刻波线上各个质点偏离各自平衡位置的位移所构成的波形曲线(波形图)平面简谐波的波动表式沿波线方向，任意两点x1、x2的简谐运动相位差为：x、t 都变化实线：t1 时刻波形；虚线：t2 时刻波形x=u t波的传播平面简谐波的波动表式当t=t1时，当t= t1+t时， 在t1和t1+t时刻，对应的位移用x(1) 和x(2)表示，则 平面简谐波的波动表式 令x(2)=x(1)+ut，得 在t 时间内,整个波形向波的传播方向移动了x=x(2)-x(1)=ut，波速u 是整个波形向前传播的速度波速u 有时也称相速度平面简谐波的波动表式 沿x 轴负方向传播的平面简谐波的表达式O 点简谐运动方程：y x oP 点的运动方程为：平面简谐波的波动表式2.波动方程 对 求x 、t 的二阶偏导数,得到 任何物理量y ，若它与时间、坐标间的关系满足上式，则这一物理量就按波的形式传播平面波的波动微分方程 在三维空间中的一切波动过程，只要介质无吸收且各向同性，都适合下式：波动方程 代表振动位移球面波的波动方程：球面波的余弦表式如下： 振幅 3. 波动方程的推导设固体细长棒的截面为S、密度为 体积元ab，其原长为x，体积为V=Sx。
a 处胁强b 处胁强波动方程的推导体积元所受合力： 体积元质量为S x ，其振速为v，据牛顿第二定律，得因协变杨氏模量利用 ，牛顿第二定律变为： 将 求导后代入微分方程后可知，当 时等式成立 细长棒中传播的纵波的波速为按照偏微分方程理论，方程的一般解为 ：波动方程的推导例题16-3 频率为=12.5kHz的平面余弦纵波沿细长的金属棒传播，棒的杨氏模量为Y =1.91011N/m2，棒的密度 =7.6103kg/m3如以棒上某点取为坐标原点，已知原点处质点振动的振幅为A =0.1mm，试求:(1)原点处质点的振动表式，(2)波动表式，(3)离原点10cm处质点的振动表式，(4)离原点20cm和30cm两点处质点振动的相位差，(5)在原点振动0.0021s时的波形解 棒中的波速 波长 波动方程的推导周期(1)原点处质点的振动表式y0=Acos t=0.110-3cos(212.5103t)m=0.110-3cos25103t m (2)波动表式式中x 以m计，t 以s 计 (3)离原点10cm处质点的振动表式 波动方程的推导可见此点的振动相位比原点落后，相位差为 ，或落后 ，即210-5s。
(4)该两点间的距离 ，相应的相位差为 (5)t =0.0021s时的波形为 式中x以m计 波动方程的推导例题16-4 一横波沿一弦线传播设已知t =0时的波形曲线如下图中的虚线所示弦上张力为3.6N，线密度为25g/m，求(1)振幅，(2)波长，(3)波速，(4)波的周期，(5)弦上任一质点的最大速率，(6)图中a、b两点的相位差，(7)3T/4时的波形曲线 t =0波动方程的推导解 由波形曲线图可看出：(3)由波速公式计算出(2) =40cm；(1) A=0.5cm；(4)波的周期 波动方程的推导(5)质点的最大速率 (6)a、b两点相隔半个波长，b点处质点比a点处质点的相位落后 (7)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰M1和M2已分别右移 而到达 和 处 t=3T/4波动方程的推导(5)质点的最大速率 (6)a、b两点相隔半个波长，b点处质点比a点处质点的相位落后 (7)3T/4时的波形如下图中实线所示，波峰M1和M2已分别右移 而到达 和 处 t=3T/4波动方程的推导。