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1、前情提要v复数项级数收敛: 实部虚部分别收敛绝对收敛: 每项取模, 对应的正项级数收敛条件收敛: 不绝对收敛的情况下, 原级数收敛v幂级数收敛圆域收敛半径的求法: 类似正项级数的收敛性判断(比值判别法, 根植判别法)的过程, 然后得到的结果取倒数两个重要级数v1/(1-z), R=1v1/(1+z), R=1倒数型函数的幂级数展开3 泰勒级数v一、解析函数的泰勒展开1、定理1 2、泰勒级数的收敛半径v二、函数展开成幂级数的方法1、直接展开法：例1，例22、间接展开法：例3，例4 ，例5 ，例6，例73、常用的泰勒级数返回1、定理1(解析圆内的展开)其中：为为内以为为中心的任何一个圆圆周这这个圆
2、圆周及其内部包含于D，且展开式唯一。 z0zrcD在D内解析，设函数Proof一、解析函数的泰勒级数展开回忆：为D内一点，R为 到D的边界各点的最小距离，则则在 内可以展开成幂级幂级 数。一句话: 函数在解析圆内可展开为幂级数:所以：可以证明余项从而：上一页下一页(详细证明见书P119)“唯一性”反证法：如果能展开成另一种形式的幂级幂级 数两边边求阶导阶导 数，得：所以：返回上一页2、泰勒级数的收敛半径的泰勒级级数的收敛敛半径等于到的离最近一个奇点的距离。收敛圆敛圆 域为为：如：a，b，c为为奇点，则则收敛敛半径为为abcRz0返回由定理1 可知：若 在内有奇点, 则在1、直接展开法：求例1
3、求在处处的泰勒级级数。 解：返回二、函数展开成幂级数的方法f(z)无奇点例2 求 在 的泰勒级数。 收敛圆敛圆 域： 返回本题用间接展开法更好2、间接展开法（利用已知级数展开）例2 的另一个方法：间间接展开法返回f(z)的奇点为0, 与展开中心点z0=1的距离为1,收敛圆域|z-1|1例3 求 在 处的泰勒展开。解：返回例4 求 在 处的泰勒展开。解：返回例5 求 在 处的泰勒展开。解：收敛圆域返回1-10 xy3、常用的泰勒级数 1、 2、 3、 4、 5、 6、 返回例6 将 在 处展开成泰勒级数解：收敛半径为 4。由得：收敛圆域 ，返回例7：求 在 处的泰勒展开。解：返回作 业f(z)的
4、奇点为i, 与展开中心点z0=0的距离为1, 收敛半径R=1, 收敛圆域|z-0|14 洛朗级数v一、洛朗级数的概念 1、引例 2、定义v二、洛朗级数的收敛域1、洛朗级数的收敛域2、定理13、洛朗级数展开的方法4、例题：例1，例2、例3返回1、引例 将在内展开成的幂级幂级 数(为为奇点, 解析)(1)内展开成的幂级幂级 数(奇点, 解析）(2) 返回xy012xy01一、洛朗级数的概念2、定义及负幂负幂 次项项都收敛敛，则则称洛朗级级数收敛敛，若正幂幂次项项 (2)定义2 :为为复常数）（其中(1)定义1: 展开后有负幂次项的幂级数称为洛朗级数。返回否则称洛朗级数发散。1、洛朗级数的收敛域：（
5、1）设设正幂幂次项项的收敛敛半径为为R，则在时时收敛敛，时发时发 散，即：在令：（2）下一页设设 的收敛敛半径为为R1，则则在二、洛朗级数的收敛域注: r和R的求法对系数进行排序:归根结底: 内径r和外径R均为前一项 除以 后一项的极限（3）分三种情况讨论 当时时，没有公共部分，所以处处发处处发 散； 当时时，在内收敛敛；时时，如收敛则敛则 在圆圆周上收敛敛，需进进一步讨论讨论 。 当xyRrz0 xyRrz0返回上一页2、定理1 (解析圆环内的展开)设设在内解析，则则在圆环圆环 域内可唯一展开成洛朗级级数其中为圆环为圆环 内任一闭闭域的正向，注：一个用途：，所以返回3、 在 处展开成洛朗级数的方法例如：假设设 有三个奇点可在如下区域展开：(如z0不为为奇点，此时为时为 泰勒展开式，它为为洛朗级级数的一个特例)（3） （4） 不管 是否为为奇点，（1）（2）返回例1 将 在下列两点 展开成洛朗级数。 解：为为奇点，分为为如下三个区域：（1） 解析，可变为变为（）21返回解：（泰勒展开）返回解：返回解：返回（2）以1为为中心展开, 即展开成 的幂级幂级 数, 不参与展开012xy分为为如下两个区域：返回解：返回将所有项都写成z-1的函数解：返回作业vP14312v1(注意z-z0不参与展开操作)v3, 6 利用已知展开的函数的导数或者积分16（2, 3( )）返回
