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1、本文格式为Word版，下载可任意编辑概率论与数理统计知识点概率论知识点整理及习题答案 第一章 随机事情与概率 1对立事情与互不相容事情有何联系与识别？ 它们的联系与识别是： （1）两事情对立（互逆），必定互不相容（互斥），但互不相容未必对立。 （2）互不相容的概念适用于多个事情，但对立的概念仅适用于两个事情。 （3）两个事情互不相容只表示两个事情不能同时发生，即至多只能发生其中一个，但可以都不发生。而两个事情对立那么说明它们有且仅有一个发生，即断定了至少有一个发生。更加地，=A、AU= 、AI=。 2两事情相互独立与两事情互不相容有何联系与识别？ 两事情相互独立与两事情互不相容没有必然的联系。
2、我们所说的两个事情A、B相互独立，其实质是事情A是否发生不影响事情B发生的概率。而说两个事情A、B互不相容，那么是指事情A发生必然导致事情B不发生，或事情B发生必然导致事情A不发生，即AB=，这就是说事情A是否发生对事情B发生的概率有影响。 3随机事情与样本空间、样本点有何联系？ 所谓样本空间是指：随机试验的全体根本事情组成的集合，常用 来记。其中根本事情也称为样本点。而随机事情可看作是有样本空间中具有某种特性的样本点组成的集合。通常称这类事情为复合事情；只有一个样本点组成的集合称为根本事情。在每次试验中，确定发生的事情叫做必然事情，记作 。而确定不发生的事情叫做不成能事情，记作。为了以后议论
3、问题便当，通常将必然事情和不成能事情看成是特殊的随机事情。这是由于事情的性质 随着试验条件的变化而变化，即：无论是必然事情、随机事情还是不成能事情，都是相对“确定条件”而言的。条件发生变化，事情的性质也发生变化。例如：抛掷两颗骰子，“展现的点数之和为3点”及“展现的点数之和大于33点”，那么是不成能事情了；而“展现的点数之和大于3点”那么是必然事情了。而样本空间中的样本点是由试验目的所确定的。例如： （1）=3，4，5，L，18。 （2）将一颗骰子连续抛掷三次，查看六点展现的次数，其样本空间为 =0，1，2，3。 在（1）、（2）中同是将一颗骰子连续抛掷三次，由于试验目的不同，其样本空间也就不
4、一样。 4频率与概率有何联系与识别？ 事情A的概率是指事情A在一次试验中发生的可能性大小，其严格的定义为： 概率的公理化定义：设E为随机试验， 为它的样本空间，对E中的每一个事情A都赋予一个实数，记为P(A)，且得志 （1）非负性：0P(A)1； （2）模范性：P( )=1； （3）可加性：若A1,A2,L,An,L两两互不相容，有P(UAi)=P(Ai)。 i=1i=1 那么称P(A)为事情A的概率。 而事情A的频率是指事情A在n次重复试验中展现的次数n(A)与总的试验次数n之比，即n(A)为n次试验中A展现的频率。因此当试验次数n为n 有限数时，频率只能在确定程度上反映了事情A确定条件下做
5、重复试验，其结果可能是不一样的，所以不能用频率代替概率。 不过由大数定律保证，频率总能稳定在某个固定数P(A)周边，并且 fn(A) n P(A)，即频率总有稳定值。该稳定值P(A)称为事情A的概率。 有此得到概率的统计性定义： 在不变条件下做大量重复试验，称在重复试验中事情A发生的频率的稳定值p为事情A的概率，记为P(A)。 概率P(A)的性质如下： （1）P()=0。 （2）若A1,A2,L,An两两互不相容，那么P(UAi)=P(Ai)。 i=1i=1nn （3）若A的对立事情记为，那么P(A)=1 P()。 （4）若A B，那么P(B A)=P(B) P(A)，且P(A)P(B)。 （
6、5）P(AUB)=P(A)+P(B) P(AB)。 此性质可推广到任意有限个事情A1,A2,L,An，即 P(A1UA2UA3)=P(A1)+P(A2)+P(A3) P(A1A2) P(A1A3) P(A2A3)+P(A1A2A3)。 P(UAi)=P(Ai) P(AiAj)+ i=1i=1ijnnnijknP(AiAjAk)+L+( 1)n 1P(A1LAn)。 纯熟掌管概率的诸条性质，有利于简化繁杂事情的概率计算，尤其要擅长利用性质3，把繁杂事情的概率计算转化为计算逆事情的概率。 5条件概率与无条件概率有何识别与联系？ 无论是无条件概率还是条件概率都必需得志公理化定义。由条件概率定 $P(
7、AB)/P(B)P(B)0，那么称P(A|B)=义（若A、B为样本空间 中的两个事情， 为事情B发生的条件下事情A发生的条件概率。）可以看出P(A|B)是在事情“B发生”的条件（新条件）下事情A发生的概率，它与无条件概率（普遍概率）P(A)的识别，就在于后者发生的条件，还是原来的条件（概率公理化定义中的条件）。这里所谓“无条件”是指“无新条件”，原来的条件并非可无。 无条件概率P(A)是在原来的样本空间中计算事情A发生的概率，而条件概率P(A|B)可看作事情B发生后，在缩小的样本空间中计算事情A发生的概率。因此求条件概率的一般方法如下： （1）事情B发生后，在缩小的样本空间中计算事情A发生的概
8、率P(A|B)； （2）在样本空间中先计算P(AB)、P(B)，再按定义计算P(A|B)。 当两个事情A、B相互独立时（事情A是否发生不影响事情B发生的概率），有P(AB)=P(A)P(B)，此时P(A|B)=P(A)，即在事情A、B相互独立条件下无条件概率与条件概率是一样的。 6如何使用全概率公式和Bayes公式? 全概率公式与Bayes公式应用起来较为繁杂，但应用对比广泛。在分析应用全概率公式过程中，它把事情A的概率（不太好求）分解成几个对比轻易计算的事情概率之和，形似繁琐，实那么简朴。其关键是探索一组两两互不相容事情A1，A2，L，An，使要研究的事情A UAi，即 i=1n A=AA1
9、UAA2ULUAAn，从而使问题转化为求一组两两互不相容的简朴事情AA1，AA2，L，AAn的概率，然后用一次加法公式及乘法公式即可。或者把Ai看成A发生的理由，A是结果。而P(Ai)及P(A|Ai)（i=1，2，L，n）是较轻易求得的，于是可有“理由”求“结果”。P(Ai)=1往往成为是否找对i=1n A1，A2，L，An的检验方法。如何找A1，A2，L，An要概括问题概括分析，现提出两点供参考： （1）A1，A2，L，An可看成导致事情A发生的一组理由，若事情A表示次品，那么A1，A2，L，An必表示n个（台）工厂（车间、机器）生产了次品；若事情A表示某种疾病，那么必是n种病因A1，A2，
10、L，An导致A发生。这些A1，A2，L，An的概率已知或轻易求出，且在A1，A2，L，An发生的条件下A 发生的条件概率已知或轻易求出，便可用全概率公式求A的概率。 （2）A1，A2，L，An是导致事情B发生的理由，各种理由的概率P(Ai)称为先验概率，一般由实际或阅历给出。而P(Ai|B)是试验之后，找某种理由发生的可能性，它是后验概率，常用Bayes公式求之。因此Bayes公式有时称为后验概率公式，它实际上是条件概率。是在已知结果发生的条件下，求导 当P(A)、P(A1)及P(A|A1)致结果的某种理由的可能性大小。譬如求P(A1|A)， 较轻易求得时，就用Bayes公式，它是有“结果”
11、求“理由”。 7n个事情相互独立与n个事情两两独立有什么联系与识别？ 由n个事情相互独立与n个事情两两独立的定义可知，后者是前者的条件，由前者可以推出后者，即相互独立 两两独立，反之不真。例如：设有四张卡片分别标以数字1，2，3，4。今任取一张，设事情A为取到1或2，事情B为取到1或3，事情C为取到1或4，那么事情A、B、C两两独立，但不相互独立。 事实上，若设Ai表示取到标以数字i（i=1,2,3,4）的卡片，那么P(Ai)=。因此，P(A)=P(A1UA2)=P(A1)+P(A2)=1， 214 同理，P(B)=P(C)=，而P(AB)=P(A1UA2)I(A1UA3)=P(A1)=1=P(A)P(B)， 412 同理，P(AC)=11=P(A)P(C)， P(BC)=P(B)P(C)， 44 1P(A)P(B)P(C)， 4所以事情A、B、C两两独立。而 P(ABC)=P(A1UA2)I(A1UA3)I(A1UA4)=P(A1)= 所以事情A、B、C不相互独立。 8
