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1、主讲教师: 王升瑞高等数学 第二十四讲1第四节两类问题: 在收敛域内和函数求 和展 开本节内容:一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数 函数展开成幂级数 第十二章 2一、泰勒 ( Taylor ) 级数 其中( 在 x 与 x0 之间)称为拉格朗日余项 .则在若函数的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 ,该邻域内有 :3定理1 .各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要条件是 f (x) 的泰勒公式中的余项满足:证明:令设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 内具有5定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂
2、级数, 则这种展开式是唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.证: 设 f (x) 所展成的幂级数为则显然结论成立 .6二、函数展开成幂级数 1. 直接展开法由泰勒级数理论可知, 第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ;第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ; 第三步 判别在收敛区间(R, R) 内是否为0. 骤如下 :展开方法直接展开法 利用泰勒公式间接展开法 利用已知其级数展开式的函数展开7例1. 将函数展开成 x 的幂级数. 解: 其收敛半径为 对任何有限数 x , 其余项满足故( 在0与x 之间)故得级数 8例2. 将展开成 x 的幂级数.解: 得级数:其收敛半
3、径为 对任何有限数 x , 其余项满足9类似可推出:(P281 ) 10例3. 将函数展开成 x 的幂级数, 其中m为任意常数 .(P 283)解: 易求出 于是得 级数由于级数在开区间 (1, 1) 内收敛. 因此对任意常数 m, 11推导则为避免研究余项 , 设此级数的和函数为12例3 附注 P28413称为二项展开式 .说明：(1) 在 x1 处的收敛性与 m 有关 .(2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式 就是代数学中的二项式定理.由此得 14对应的二项展开式分别为 (P285)152. 间接展开法利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 例1 将函数展
4、开成 x 的幂级数.解: 因为把 x 换成, 得将所给函数展开成 幂级数. 16例217例3. 将展成 x1 的幂级数. 解: 18例4将下列函数展开成 x 的幂级数解:x1 时, 此级数条件收敛,因此 19例5. 将函数展开成 x 的幂级数.解: 从 0 到 x 积分, 得定义且连续, 区间为利用此题可得上式右端的幂级数在 x 1 收敛 ,所以展开式对 x 1 也是成立的,于是收敛20例6. 将展开为 x 的幂级数.解:因此21例7. 将展成解: 的幂级数. 22例823内容小结1. 函数的幂级数展开法(1) 直接展开法 利用泰勒公式 ;(2) 间接展开法 利用幂级数的性质及已知展开2. 常用函数的幂级数展开式(以后可直接引用)式的函数 .24当 m = 1 时25思考与练习 函数处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰勒级数” 有何不同 ?提示: 后者必需证明前者无此要求.26 P285 2 (3) , (5) , (6) ; 3 (2) ; 5 ; 6 作业27
