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1、*1 1第第12.312.3节节 对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分一、对坐标的曲面积分的概念与性质.二、对坐标的曲面积分的计算方法.三、两类曲面积分之间的关系.*2 2复习复习 对面积的曲面积分对面积的曲面积分一、对面积的曲面积分的概念与性质yxozS二、 对面积的曲面积分的计算法*3 3一.对坐标的曲面积分的概念与性质曲面的侧: 通过曲面上法向量的指向,（上侧）有向曲面: 取定了法向量设是有向曲面, 在上取小曲面在面上投影区域的面积为类似可定义在面定出曲面的侧.或选定了侧的曲面。（下侧）设在面上的投影为规定为上各点处法向量与 轴正向之夹角，面及且有相同的符号。上的投影*4 4*5 5（2）为
2、曲面,为变量.流速*6 6定义任取点作乘积记若极限存在,记作即类似,在有向光滑曲面上有界。设函数任意分割将小块成也表其面积）。（面上投影为在并作和式则称此极限值为函数在有向曲面上对坐标的曲面积分.*7 7注:1. 坐标的曲面积分3. 则4.5. 对（也称第二类曲面积分）存在.2.如果记作则在有向曲面上连续时,当为分片光滑有向曲面,若为封闭曲面, 若表示与相反侧的曲面,用*8 8二.对坐标的曲面积分的计算方法区域为在上连续.则上侧取正,类似,前侧取正,右侧取正,定理由方程给出,设有向曲面在面上的投影在上有一阶连续偏导,下侧取负.后侧取负.左侧取负.*9 9外侧,解取上侧;取下侧;取前侧;取后侧;取右侧;取左侧.同理,例1. 计算是长方体的整个表面的分成六部分:将有向曲面原式*1010例2. 计算其中是球面外侧在解取上侧;取下侧.的部分.画草图.*1111例3.计算 其中为锥面及平面所围区域的边界曲面的外侧.解取上侧;取外侧.（由对称性）*1212*1313三.两类曲面积分之间的关系设有向曲面上法向量的方向余弦为：若取上侧，若取下侧，*1414例4. 计算取下侧。（由对称性）解*1515*1616例5.其中为连续函数,是平面在第四卦限部分解原式上侧。1-11*1717例6. 把对坐标得曲面积分部分的上侧.解化成对面积的曲面积分.是抛物面在面上方
