第十二章 微 分 方 程高阶微分方程 一、可降阶的高阶微分方程 1高阶微分方程的定义2可降阶的高阶微分方程类型(1)(2)(3)3可降阶的高阶微分方程的解题方法流程图 可降阶的高阶微分方程，是通过引入变量进行降阶，转化为成一阶微分方程，通过判定一阶微分方程的类型，求出通解解题方法流程图如下图所示解题方法流程图逐次积分解一阶微分方程解一阶微分方程可降阶的高阶微分方程特点:不显含转化为一阶方程特点:不显含通解YesNo令令转化为一阶方程 特征根 通 解 3. 齐次方程的解题方法2）求齐次线性方程的通解 1）写出特征方程 , 并求特征根 ； 4. 非齐次方程的特解(1) 若设特解为不是特征方程的根 是特征方程的单根 是特征方程的重根 设特解为(2) 若不是特征方程的根 是特征方程的根 5. 非齐次方程的解题方法求二阶常系数非齐次线性微分方程的通解，一般分为四步： 2）求对应的齐次线性方程的通解 3）根据不同类型的自由项 ，利用待定系数法求出一个特解 4）写出原方程的通解 解题方法流程图如下图所示1）写出特征方程 , 并求特征根 ； 解题方法流程图特征方程：有实根 的类型混合型对 分别求特解令 k为特征方程含根 的重复次数代入原方程，用待定系数法确定其参数令 k为特征方程含根 的重复次数通解 YesYesYesNoNoNo求 通解No【例1】求方程 的通解。
解：由于不显含 ，令 ，则 代入原方程整理得即 因此 再积分一次，即得原方程的通解为：此解可以写成【例2】求方程 的通解解：由于不显含 ，令 ，则 代入原方程整理得即 为一阶线性微分方程 利用公式得即 积分得 解：由于不显含 ,令 ,则 代入原方程整理得所以或当时，此方程为可分离变量的方程，分离变量得：【例3】求方程 满足初始条件的特解积分得：所以即将代入得，从而分离变量得：将代入得所求方程的特解为：特解为，含在 内当 时，即积分得【例4】已知 是某个二阶线性非齐次微分方程的三个特解，求通解及方程的表达式解：因为 是对应齐次方程的两个线性无关的特解，可知特征方程有两个根，特征方程为对应齐次方程为：对应齐次方程通解为：又因为是非齐次微分方程的特解，将其代入有所求的方程为：通解为：【例5】求方程 满足初始条件 的特解 解：所给的方程是二阶常系数非齐次线性微分方程， 它的特征方程 解得两个不同的实根 故齐次方程的通解为 由于 是 型(其中 )，且不是特征方程根，所以应设特解 ，求出把它们代入原方程，得 得非齐次方程的通解为 将初始条件 代入，有解得 所求的特解为 【例6】求微分方程 的通解 解：所给的方程是二阶常系数非齐次线性微分方程， 它的特征方程为 解得两个不同的实根 故齐次方程的通解为 由于 是 型 （其中 ）且 是特征方程的单根，所以应设特解 解之，得 由此求得一个特解为比较等式两边的系数，得 求出 把它们代入原方程，得 【例7】求微分方程 的通解 解：特征方程为 ，其根为 故齐次方程的通解为 （其中 ）,因为是特征方程根，所以应设特解 由于 是型代入原方程，解之得 故特解为 于是所求通解为注：不能因为自由项只出现正弦项，而将 设为 。
此例可理解为 的系数为0 【例 8】设 具有二阶连续函数，且 已知曲线积分 与积分路径无关，求 线积分与路径无关的条 解：因为曲线积分 与路径无关，所以根据曲，得 即 可解得此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为亦即 再由 ，可得特解 【例9】 设函数 连续，且满足 ，求 解：等式两边对 求导得 两边再对 求导得 即 为二阶线性非齐次微分方程，且 可解得此二阶常系数非齐次线性微分方程的通解为再由 ，可得特解 。