1 - 1.2.4 从解析式看函数的性质学习目标重点难点1能说 出函数的上界、下界的含义，知道什么是有界函数，什么是无界函数；2能说出函数的最大值与最小值的定义，知道什么是函数的最大值点和最小值点；3能记住函数单调性的定义，知道什么是严格单调和严格单调区间；4知道什么是差分，能运用差分检验函数的增减性.重点：函数单调性的定义，运用差分检验函数的增减性；难点：用差分检验函数的增减性；疑点：最值与上、下界之间的关系 . 1函数的上界和下界(1) 上界和下界：设D是函数f(x) 的定义域，如果有实数B使得f(x) B对于一切xD成立，称B是函数f的一个上界，如果有实数A使得f(x) A对于一切xD成立，称A是函数f的一个下界(2) 有上界又有下界的函数叫有界函数，否则叫无界函数预习交 流 1 函数的上界或下界一定是函数的某一个函数值吗？提示：不一定函数的上界或下界可能是该函数的一个函数值，也可以不是函数的函数值例如： 函数yx2的下界是 0，且 0 是该函数的一个函数值；而函数y1x的下界也是0，但 0 不是该函数的某个函数值2函数的最大值与最小值(1) 函数的最大值定义：设D是函数f(x) 的定义域， 如果有aD， 使得不等式f(x) f(a)对一切xD成立，就说f(x) 在xa处取到最大值Mf(a) ， 称M为f(x) 的最大值，a为f(x)的最大值点( 2) 函数的最小值定义：设D是函数f(x) 的定义域， 如果有bD， 使得不等式f(x) f(b)对一切xD成立， 就说f(x) 在xb处取到最小值f(b) ，称f(b) 为f(x) 的最小值，b为f(x)的最小值点预习交流2 函数的最大值或最小值一定是函数其中的一个函数值吗？提示：一定是即最大值点或最小值点一定是函数定义域中的某个值预习交流3 函数的最大值 ( 或最小值 ) 唯一吗？最大值点( 或最小值点 ) 唯一吗？提示：最大值 ( 或最小值 ) 是唯一的，但最大值点( 或最小值点 ) 不一定是唯一的预习交流4 最大值和上界是一回事吗？提示：不是函数的最大值一定是上界，但上界不一定是函数的最大值；同理，函数的最小值一定是下界，但下界不一定是最小值3函数的单调性(1) 函数的单调性定义：设I是f(x) 定义域D的一个非空子集，如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1x2时都有f(x1) f(x2) ，那么就说f(x) 是区间I上的递增函数；如果对于I上任意两个值x1，x2，当x1x2时都有f(x1) f(x2) ，那么就说f(x) 是区间I上的递减函数(2) 如果函数yf(x) 是区间I上的递增函数或递减函数，就说f(x) 在I上严格单调，区- 2 - 间I叫作f(x) 的严格单调区间(3) 对于函数f(x) ，设h0，差式f(xh) f(x) 叫作函数在区间I上的差分差分为正的函数就是递增函数，差分为负的函数就是递减函数预习交流5 函数的单调性是函数在其整个定义域上的性质吗？提示：不是单调性是与“区间”紧密相关的概念，一个函数在定义域的不同的区间上可以有不同的单调性预习交流6 在增函数与减函数的定义中，能否把“任意两个自变量”改为“存在两个自变量”？提示：不能如图所示，虽然f( 1) f(2) ，但原函数在 1,2 上不是递增函数一、判断或证明函数的单调性证明函数f(x) x1x在(1 ， ) 上是递增函数思路分析：利用差分检验法，计算函数在(1 ， ) 上的差分f(xh) f(x)，然后判断差分的正负即得结论证明：f(xh) xh1xh，f(xh) f(x) xh1xhx1xh1xh1xhhx(xh)hx2h2xhx(xh). h0，x1，hx2h2xh0，x(xh) 0. hx2h2xhx(xh)0. 即差分f(xh) f(x) 0，f(x) x1x在(1 ， ) 上是递增函数1设 (a，b) ， (c，d) 都是函数f(x) 的递增区间，且x1(a，b) ，x2(c，d) ，x1x2，则f(x1) 与f(x2) 的大小关系是( ) Af(x1) f(x2) Bf(x1) f(x2) Cf(x1) f(x2) D不能确定答案： D 解析： 因为在函数的定义中特别强调了x1，x2两个值必须属于同一个单调区间，不是同一单调区间时不能比较函数值的大小，因此，f(x1) 与f(x2) 的大小关系无法确定，故选D2证明函数f(x) 3x在(0 ， ) 上为单调递减函数证明：f(xh) f(x) 3xh3x3hx(xh). - 3 - x0，h0，3hx(xh)0. 即差分f(xh) f(x) 0，故f(x) 3x在(0 ， ) 上为单调递减函数证明函数单调性的步骤是：(1) 作差分f(xh) f(x) ；(2) 变形整理； (3)判断差分的符号；(4) 下结论二、求函数的单调区间作出函数f(x) |2x1| 的图象，并写出其单调区间思路分析：首先要将函数的解析式中的绝对值符号去掉，分两段分别画出图象，然后结合图象的上升与下降写出单调区间解： 当x12时，f(x)=2x1；当x12时，f(x)= 2x+1，所以f(x) 的图象是两条射线( 如图 ) 故f(x) 的单调递增区间是12，单调递减区间是12，. 作出函数yx|x| 1 的图象并写出其单调区间解：由题可知yx21，x0，x21，x0，作出函数的图象如图所示，所以原函数在( ， ) 上为单调递增函数利用函数的图象确定函数的单调区间，具体的做法是，先化简函数的解析式，然后再画出它的草图，最后根据函数定义域与草图的位置，状态，确定函数的单调区间书写函数的单调区间时，区间端点的开或闭没有严格的规定，习惯上，若函数在区间端点处有定义，则写成闭区间，若函数在区间端点处无定义，则必须写成开区间三、函数单调性的应用已知函数f(x) 是定义在 1,1 上的递增函数，且f(x2)f(1 x) ，求x的取值范围思路分析：充分利用原函数的单调性及其定义域，建立关于x的不等关系求解x的取值范围- 4 - 解： 因为f(x)是定义在 1,1 上的递增函数，且f(x2) f(1 x) ，所以有1x21，11x1，x21x，解得1x3，0 x2，x32，即x的取值范围是1x32. 1若函数f(x) mx在(0 ， ) 上为单调递减函数，则m的取值范围是 _答案：m0 解析：f(xh) f(x) mxh mxmhx(xh)，h0，x0，又f(x) 在(0， ) 上单调递减mhx(xh)0，m0. 2若函数yx22ax2 在1 ， ) 上为递增函数，求实数a的取值范围解： 由题可知原函数为y (xa)22a2，其开口向上，且对称轴为xa，若使得原函数在 1 ，) 为递增函数，则只需对称轴xa在直线x1 的左侧或与其重合，即满足a1即可，所以实数a的取值范围是a1.单调性的应用主要体现在求解参数的取值范围、解不等式以及求解最值等题型上，解题时往往注意采用数形结合的方法求解已知函数在某个区间上的单调性求解x的取值范围时，要求自变量首先应在定义域内，这是一个及其容易出现错误的地方，然后在此基础上利用函数的单调性，将函数值的大小关系转化为自变量的大小关系求解求函数y2x1在区间 2,6上的最大值和最小值思路分析：先研究函数在区间2,6上的单调性，然后根据单调性求最值解： 因为f(xh) f(x)2xh12x1 2h(xh1)(x1). x2,6 ，h0，xh 10，x10. (xh1)(x1) 0. 故函数y2x1在区间 2,6上是递减函数，因此函数y2x1在区间 2,6的两个端点处取得最大值与最小值，即 在x 2 时取得最大值 2，在x6 时取得最小值25. 求函数f(x)x2x在2,4上的最值解： f(xh) f(x) xh 2xhx2xx2hx2xx22xhx2hx(xh)2hx(xh)，又h0，x 2，2hx(xh)0. 故f(x) 在2,4上单调递增- 5 - 于是f(x) 在2,4上的最大值是f(4) 12，最小值是f(2) 0. 利用函数的单调性求最值时，首先要证明或判断函数的单调性，若f(x)在a，b 上单调递增则f(x) 在a，b 上的最小值为f(a) ，最大值为f(b) ；若f(x) 在a，b 上单调递减，则最小值为f(b) ，最大值为f(a) 1函数yx2的单调递增区间为( ) A( ， 0 B0 ，)C(0 ， ) D ( ，)答案： A 解析： 由图象可知，yx2的单调递增区间是( ， 0 ，选 A2设一次函数f(x) (2a1)xb是 R上的递减函数，则有( ) Aa12 Ba12Ca12 Da12答案： B 解析：f(xh) f(x) (2a 1)(xh) b (2a1)xb (2a1)h，依题意 (2a1)h0，而h0，2a10，即a12，选 B3若函数f(x) 在区间I上是单调递增函数，则对任意的x1，x2I(x1x2) ，必有 ( ) A(x1x2)f(x1) f(x2) 0 B(x1x2)f(x1) f(x2) 0 C(x1x2)f(x1) f(x2) 0D(x1x2)f(x1) f(x2) 0答案： B 解析： 由于f(x) 在I上单调递增，所以当x1x2时有f(x1) f(x2) ；当x1x2时有f(x1)f(x2) ，因此必有 (x1x2)f(x1) f(x2) 0，选 B4 若f(x) 是 R上的单调递减函数， 且f(x1) f(x2) ，则x1与x2的大小关系是_答案：x1x2解析： 由定义知当f(x1) f(x2) 时一定有x1x2. 5证明：f(x) 2x5 在 R上是单调递减函数证明：f(xh) f(x) 2(xh) 5 ( 2x5) 2h0，即f(xh) f(x) 0. 故f(x) 在 R上是单调递减函数。
