板块五.用空间向量解柱体问题（1）典例分析【例1】 如图，在直三棱柱中，，，点与分别为线段和的中点，点与分别为线段和上的动点．若，则线段长度的最小值是（ ）A． B． C． D．【例2】 如图，四棱柱中，平面，底面是边长为的正方形，侧棱．⑴ 求证：平面；⑵ 求直线与平面所成角的正弦值；⑶ 求二面角的余弦值．【例3】 如图，在正三棱柱中，，点是的中点，点在上，且．⑴证明：平面平面；⑵求直线和平面所成角的正弦值．【例4】 如图，在直四棱柱中，底面为等腰梯形，，，，，，，分别是棱、、的中点．⑴证明：直线平面；⑵求二面角的余弦值．【例5】 已知正三棱柱，底面边长，，点、分别是边，的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．⑴求证：．⑵若为的中点，试用基向量、、表示向量；⑶求异面直线与所成角的余弦值．【例6】 如图，直三棱柱中，，，，侧棱，侧面的两条对角线交点为，的中点为．⑴求证：平面；⑵求面与面所成二面角的大小．【例7】 如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱，是延长线上一点，且．⑴求证：直线平面；⑵求二面角的大小；⑶求三棱锥的体积．【例8】 如图，直三棱柱，底面中，，，棱，分别是的中点， ⑴求的长；⑵求与的夹角的余弦值；⑶求证：．【例9】 如图，正三棱柱所有棱长都是，是棱的中点，是棱的中点，交于点．⑴ 求证：平面；⑵ 求二面角的大小（用反三角函数表示）；⑶ 求点到平面的距离．【例10】 如图，已知正三棱柱的侧棱长和底面边长均为1，是底面边上的中点，是侧棱上的点，且．⑴ 求证：面；（或若为的中点，求证：平面．⑵ 若二面角的平面角的余弦值为，求的值；⑶ 在第⑵的前提下，求点到平面的距离．【例11】 直三棱柱中，．求证：．【例12】 直四棱柱的底面为平行四边形，其中，，，为中点，是棱上的动点．⑴求异面直线与所成角的正切值；⑵当时，证明；⑶当的长为多少时，二面角的大小为？【例13】 如图，圆柱内有一个三棱柱，三棱柱的底面为圆柱底面的内接三角形，且是圆直径．⑴ 证明：平面平面；⑵ 设，在圆柱内随机选取一点，记该点取自于三棱柱内的概率为．（i）当点在圆周上运动时，求的最大值；（ii）记平面与平面所成的角为，当取最大值时，求的值．。
