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1、 将二重积分定义中的积分区域推广到空间区域,被积函数推广到三元函数, 就得到三重积分的定义.9.3 三重积分及其计算 一、三重积分的概念 三重积分的物理背景以(x, y, z)为体密度函数的空间物体的质量. 首先, 将闭区域 任意分成 n个小闭区域v1, v2, , vn, 其中vi 表示第 i 个小闭区域, 也表示它的体积, 在每个vi上任取一点(i, i, i ), 作乘积(i, i, i )vi ( i=1, 2, , n), 并作和如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时, 该和式的极限存在, 则称此极限为空间物体的质量M, 即 当然, 在三维空间定义的函数u=f(x, y, z)的
2、“几何”意义是四维空间的“曲面”, 我们可以想象, 但无论如何也无法画出其“图形”, 因此我们不再讨论其几何意义. 下面我们给出三重积分的定义: 定义: 设f(x, y, z)是空间有界闭区域 上的有界函数, 将闭区域 任意分成n个小闭区域v1, v2, , vn, 其中vi 表示第 i 个小闭区域, 也表示它的体积, 在每个vi上任取一点(i, i, i ), 作乘积 f(i, i, i )vi ( i=1, 2, , n), 并作和如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时, 该和式的极限存在, 则称此极限为函数f(x, y, z)在闭区域 上的三重积分, 并记为 即其中dv 称为体积元素
3、, 其它术语与二重积分相同.同样有: 闭区域上的连续函数一定可积. (x, y)z=z1(x, y)z=z2(x, y)先单后重: 设闭区域 在xoy面的投影为闭区域Dxy . 在闭区域Dxy内任取一点(x, y), 作垂直于xoy面的直线穿过闭区域 .穿入 时的下边界曲面方程:z=z1(x, y)穿出 时的上边界曲面方程:z=z2(x, y)先将x, y看作定值, f(x, y, z)看作z的函数, 则积分 为闭区域Dxy上的函数, 可以理解为压缩在平面薄片Dxy 上的密度函数. 也称为先一后二，（ 先z次y后x ）注意用完全类似的方法可把三重积分化成其它次序下的三次积分。化三次积分的步骤投
4、影，得平面区域穿越法定限，穿入点下限，穿出点上限对于二重积分，我们已经介绍过化为累次积分的方法oxyzDxy例1: 将三重积分 化成三次积分, 其中 为长方体, 各边界面平行于坐标面. 解: 将 投影到xoy面得Dxy ,它是一个矩形: c y d, a x b,在Dxy内任取一点(x, y)作平行于z 轴的直线, 交边界曲面于两点, 其竖坐标为l 和m(l m).abcd(x,y)ml例2: 计算平面x+y+z=1所围成的区域. Dxyxyzo其中 是三个坐标面与 解: 画出 在xoy面上的投影区域 Dxy: 0 y 1x, 0 x 1,平行于z 轴直线穿过的下曲面为z=0, 上曲面为z=1
5、xy, 有 0 z 1xy. x+y+z=1x+y=1zxy 除了上面介绍的先单后重法(切条法)外, 利用先重后单法或称截面法也可将三重积分化成三次积分. 先重后单, 就是先求关于某两个变量的二重积分再求关于另一个变量的定积分. 先重后单: D(z)xyzoc1c2 设积分区域 介于两平行平面z=c1, z=c2(c1c2)之间, 用任一平行且介于此两平面的平面去截 , 得区域D(z), c1zc2. 则 易见, 若二重积分容易计算时, 特别是被积函数f(x, y, z)与x, y无关时, 则二重积分的结果就是D(z)的面积, 因此, 用截面法较为方便. 即得三重积分值. (4) 最后计算单积
6、分 (3) 计算二重积分 的函数F(z); 其结果为 z 截面法的一般步骤: (1) 把积分区域 向某轴(例如 z 轴)投影, 得投影区间c1, c2; (2) 对zc1, c2用过 z 轴且平行xoy面的平面去截, 得截面D(z); 例5: 计算 解: 易见介于z = c 和 z = c 之间, 而 zyxo或故例6: 计算 解一: 先重后单. 介于z = 0 和 z = 1之间, D(z): x2 + y2 z. 解二: 先单后重. 将 投影到xoy面得投影区域: Dxy: x2 + y2 1. 平行于z 轴的直线穿过 的下曲面为z=x2+y2, 上曲面为z=1, 因此有 x2+y2 z
7、1. (用极坐标, 用对称性) 所以, 所以, 此例介绍的是一种计算三重积分的方法, 这种方法也具有一定的普遍性, 这就是我们将要介绍的柱坐标系下的计算法.三、在柱坐标系下的计算法 设M(x, y, z)为空间内一点, 并设点M在xoy面上的投影P的极坐标为r, , 则这样的三个数r, , z 就叫点M的柱面坐标. 规定: 0r+, 0 2, z+.直角坐标与柱面坐标的变换公式: 三重积分在柱坐标系和球坐标系下的计算 zx0yzMrS Sz r =常数 圆 柱 面 z =常数 垂直z轴的平面 动点M(r, , z) 柱面坐标系的坐标面 zx0yzMrS SP P r =常数 圆 柱 面 z =
8、常数 垂直z轴的平面动点M(r, , z) 柱面坐标系的坐标面 =常数 过z轴的半平面 xz y0drrrddz平面z柱面坐标下的体积元素 元素区域由六个坐标面围成:半平面及+d ; 半径为r及r+dr的圆柱面; 平面z及z+dz;xz y0drrrddz底面积:rdrd dz平面z+dz.柱面坐标下的体积元素 元素区域由六个坐标面围成:半平面及+d ; 半径为r及r+dr的圆柱面; 平面z及z+dz;xz y0drrrddz底面积: rdrddz.dv柱面坐标下的体积元素 元素区域由六个坐标面围成:半平面及+d ; 半径为r及r+dr的圆柱面; 平面z及z+dz;所以: dv = rdrdd
9、z. 所以 然后再把它化为三次积分来计算. 积分次序一般是先z次r后 . 积分限是根据 z, r, 在积分区域中的变化范围来确定.解: 积分区域 为一圆锥面与平面z=1围成. 将积分区域 投影到xoy面得Dxy: x2 + y2 1. 例1:计算三重积分: 圆锥面 柱面坐标方程为z=r. 则积分限为: 0 2, 0r 1, r z 1. 注: 若空间区域为以坐标轴为轴的圆柱体, 圆锥体或旋转体时, 通常总是考虑使用柱坐标来计算.所以 例2: 计算三重积分 面 z=1, z=2 和圆锥面 围成的区域. 其中 是由平 解: 确定变量 z, r, 的变化范围. r, 的范围容易定出: 0 2, 0r
10、 2.z 呢? 当0 r 1时, 1 z 2;当1 r 2时, r z 2. 作图! 由图可以看出: 所以, 四、在球坐标系下的计算法 设M(x, y, z)为空间内一点, 则点M可用三个有次序的数r, , 来确定, 其中 r 为原点O与点M间的距离, 为有向线段OM与 z 轴正向的夹角, 为从 z 轴正向来看自 x 轴按逆时针方向转到有向线段OP 的夹角, 这里P 为点M在 xoy 面上的投影, 这样的三个数 r, , 就叫做点M的球面坐标.x=OAy=OBz=OC OM=r. =OMsin cos =OMsin sin =OMcos=OPcos =OPsin 所以 规定: 0 r 0) 所
11、围的立体. 解一: 用球坐标. 平面 z=a x2+y2=z2 解二: 用柱坐标. x2+y2=z2 z=r, 所以, : r z a, 0 r a, 0 2 . 例4: 求曲面x2+y2+z22a2与 立体体积. 所围成的 解: 由锥面和球面围成. 采用球面坐标. 由x2+y2+z2=2a2 r = 由三重积分的性质知: 所求立体的体积V为: 注: 若积分区域为球体, 球壳或其一部分被积函数呈x2+y2+z2的形式,而用球坐标后积分区域的球坐标方程比较简单, 通常采用球坐标补充: 利用对称性简化三重积分计算 使用对称性时应注意: 1.积分区域关于坐标面的对称性;2.被积函数在积分区域上关于三
12、个坐标轴的奇偶性. 一般地, 当积分区域 关于xoy平面对称, 且被积函数f(x, y, z)是关于 z 的奇函数, 即f(x, y, z)= f(x, y, z),则三重积分为零; 若被积函数f(x, y, z)是关于 z 的偶函数,即f(x, y, z)=f(x, y, z), 则三重积分为 在xoy平面上方的半个闭区域上的三重积分的两倍.“你对称, 我奇偶”. 六、小结:三重积分换元法: 柱面坐标, 球面坐标. (1) 柱面坐标的体积元素: dv = rdrddz;(2) 球面坐标的体积元素: dv = r2sindrdd ; (3) 对称性简化运算.思考题: 若 为R3中关于xoz面对称的有界闭区域, f(x, y, z)为 上的连续函数, 则当f(x, y, z)关于 为奇函数时, 当f(x, y, z)关于 为偶函数时, 其中1为 在xoz面右侧的部分. yy思考与练习1. 设计算提示: 利用对称性2. 设由锥面和球面所围成 , 计算提示:利用对称性用球坐标 其中为由计算三重积分所围解: 在柱面坐标系下及平面柱面成半圆柱体.3.4. 计算三重积分解: 在柱面坐标系下所围成 .与平面其中由抛物面原式 =y2=xxyzo.5.y2=xxyzo.5.z = 0y=0 xyzo。0y xy2=x.D5.
