《幂级数简介讲义资料》由会员分享，可在线阅读，更多相关《幂级数简介讲义资料（39页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、上一页下一页返回首页3.6 幂级数 一、函数项级数的概念 二、幂级数和幂级数的收敛区间三、幂级数的性质 四、小结 湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页一、函数项级数的概念 定义3.6.1 给定一个定义在区间I 上的函数列 则由这函数列构成的表达式称为定义在区间I上的(函数项)无穷级数 简称(函数项)级数，记为 湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页对于区间 I 内的一定点 若常数项级数 收敛点 级数收敛点的全体称为它的收敛域. 级数发散点的全体称为它的发散域湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页上一页下一页返回首页则在收敛域上有湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返
2、回首页二、幂级数和幂级数的收敛区间形如的函数项级数称为幂级数,其中数列称为幂级数的系数 .（3.6.1）湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页（3.6.2）例如, 幂级数即是此种情形.引例3.6.1 考察幂级数的敛散性湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页解 发散；级数，收敛 湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页 定理3.6.1（阿贝尔（Abel）定理） 若幂级数则对满足不等式幂级数都绝对收敛.反之, 若当的一切 x , 该幂级数也发散 . 时该幂级数发散 , 则对满足不处收敛，的一切 x等式湘潭大学数学与计算科学学院上一
3、页下一页返回首页证 设收敛,则必有于是存在常数 M 0, 使当 时, 收敛,敛, 故原幂级数绝对收敛 .也收湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页反之, 若当时该幂级数发散 ,假设有一点所以若当满足且使级数收敛 ,故假设不真. 幂级数也发散 . 发散 , 则对一切满足不等式则也应收敛,与所设矛盾,由前面的证明可知级数在点时幂级数的 x , 原湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页由Abel 定理可以看出, 中心的区间. 的收敛域是以原点为发 散发 散收 敛收敛 发散湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页时 幂级数发散；当 可能收敛也可能发散发 散发 散收 敛收敛 发散开
4、区 (R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页定理3.6.2 则 证 湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页(1) 若 0,则根据比值判别法可知:当原级数收敛;当原级数发散.即时,即时,因此级数的收敛半径(2) 若则根据比值判别法可知,级数绝对收敛 , 对任意 x 原因此湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页(3) 若则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,因此 的收敛半径为说明:据此定理湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页解因为所以收敛半径为 湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页从而收敛域为 解 因为
5、湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页解 因为所以收敛半径为 0.湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页解 级数缺少奇次幂的项，不能直接用公式求解. 可根据比值判别法来求解， 因为 湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页因为发散； 级数成为 湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页三 、幂级数的性质 湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页（1）（加法运算） （3）乘法运算 湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页其中以上结论可用部分和的极限证明 .说明: 两个幂级数相除所得幂级数的收敛半径可能比原来两个幂级数的收敛半径小得多.例如湘潭大学数学与计算科
6、学学院上一页下一页返回首页它们的收敛半径均为但是其收敛半径只是 湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页解由于湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页故该级数由例1的结果可知， 湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径 逐项求导后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径 湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页解: 由例2可知级数的收敛半径 R+.例7 求幂级数则故有故得的和函数 .因此得设湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页例8 求级数的和函数解 易求出幂级数的收敛半
7、径为 1， x1 时级数发散,故时，湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页解 设例9 求幂级数的和函数.设由例8可知：而湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页例7. 求级数的和函数解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , 及收敛 , 机动 目录 上页 下页 返回 结束 湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页因此由和函数的连续性得:而及机动 目录 上页 下页 返回 结束 湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页内容小结1. 求幂级数收敛域的方法1) 对标准型幂级数先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 .2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)求收敛半径时直接用比值
8、法或根值法,也可通过换元化为标准型再求 .湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页2) 在收敛区间内幂级数的和函数连续;3) 幂级数在收敛区间内可逐项求导和求积分.湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页思考题 幂级数逐项求导后, 收敛半径不变, 那么它的收敛域是否也不变?不一定!它们的收敛域各是例如湘潭大学数学与计算科学学院上一页下一页返回首页阿贝尔(1802 1829)挪威数学家, 近代数学发展的先驱者. 他在22岁时就解决了用根式解5 次方程的不可能性问题 , 他还研究了更广的一 并称之为阿贝尔群. 在级数研究中, 他得 到了一些判敛准则及幂级数求和定理. 论的奠基人之一, 他的一系列工作为椭圆函数研究开拓了道路. 数学家们工作150年. 类代数方程, 他是椭圆函数C. 埃尔米特曾说: 阿贝尔留下的思想可供 后人发现这是一类交换群,湘潭大学数学与计算科学学院
