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1、第6章 微分中值定理与导数的应用 6.1 微分中值定理2因为导数是函数随自变量变化的瞬时变 所以可借助导数来研究函数. 但每一点的导数仅仅是与局部有关的一点的变化性态,要用导数来研究函数的全部性态, 还需架起新的“桥梁”.化率, 6.1 微分中值定理3罗尔定理拉格朗日中值定理小结 思考题 作业柯西中值定理6.1 微分中值定理第6章 微分中值定理与导数的应用推广泰勒公式(第三节)mean value theorem 6.1 微分中值定理 6.1 微分中值定理5罗尔定理(1)(2)(3)罗尔 Rolle,(法)1652-1719 使得如,一、罗尔(Rolle)定理若函数 f (x)满足:在闭区间a
2、, b上连续;在开区间(a, b)内可导; 6.1 微分中值定理6费马引理 费马 Fermat,(法) 1601-1665 定义,如果对 有 那么证 对于有 设函数f (x)在点x0某邻域U(x0)内有 6.1 微分中值定理7费马引理有定义,如果对 有 那么 由极限的保号性 函数的驻点(Stationary point),稳定点,临界点(Critical point). 6.1 微分中值定理8证罗尔定理 若函数 f (x)满足:(3)使得所以最值不可能同时在端点取得.使有由费马引理,(1) 在闭区间a, b上连续; (2) 在开区间(a, b)内可导;费马引理有定义,如果对 有 那么 6.1
3、微分中值定理9 定理条件不全具备, 注结论不一定成立. 罗尔定理 若函数 f (x)满足:(3)使得条件(1)不满足. 条件(2)不满足. 条件(3)不满足. 定理条件只是充分的.(1) 在闭区间a, b上连续; (2) 在开区间(a, b)内可导; 6.1 微分中值定理10定理条件只是充分的.本定理可推广为:设y = f (x)在(a, b)内可导, 且则在( a , b )内至少存在一点使提示证 F(x)在a, b上满足罗尔定理 . 罗尔定理 若函数 f (x)满足:(1)(2)(3)使得注 6.1 微分中值定理11例证 (1)(2)定理的假设条件满足结论正确验证罗尔定理的正确性.罗尔定理
4、肯定了 的存在性, 一般没必要知道究竟等于什么数, 只要知道 存在即可. 6.1 微分中值定理12例证 零点定理即为方程的小于1的正实根.(1) 存在性的正实根. 6.1 微分中值定理13(2) 唯一性因为f (x) 在x0, x1之间满足罗尔定理的条件.矛盾, 故假设不真!所以为唯一实根.使得 6.1 微分中值定理14例试证方程分析注意到: 6.1 微分中值定理15证 设且 罗尔定理即试证方程 6.1 微分中值定理16注拉格朗日 Lagrange (法) 1736-1813 拉格朗日中值定理使得二、拉格朗日(Lagrange)中值定理若函数 f (x)满足:(1) 在闭区间a, b上连续;(
5、2) 在开区间(a, b)内可导, 6.1 微分中值定理17几何解释:分析定理的结论就转化为函数化为罗尔定理.在该点处的切线平行于弦AB.利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数.在曲线弧AB上至少有一点C, 6.1 微分中值定理18证 作辅助函数由此得拉格朗日中值公式且易知 g(x)在闭区间a, b上连续,微分中值定理开区间(a, b)内可导, 6.1 微分中值定理19它表明了函数在两点处的函数值的单调性及某些等式与不等式的证明.在微分学中占有极重要的地位.与导数间的关系.今后要多次用到它. 尤其可利用它研究函数 6.1 微分中值定理20证如果f (x)在某区间上可导, 常就想到微分中值定
6、理.记利用微分中值定理, 得在该区间上任意两点的函数值有何关系, 通要分析函数例 证明不等式 6.1 微分中值定理21Lagrange公式可以写成下面的各种形式: 它表达了函数增量和某点的注但是增量、导这是十分方便的.由(3)式看出,导数之间的直接关系.数是个等式关系.拉格朗日中值定理又称拉格朗日中值公式又称有限增量公式.有限增量定理. 6.1 微分中值定理22定理6.1证由条件,即在区间I中任意两点的函数值都相等, 所以,拉格朗日中值定理使得如果函数f (x)在区间 I 上的导数恒为零,那么 f (x)在区间 I 上是一个常数.在区间 I 上任取两点x1, x2若函数 f (x)满足:(1)
7、 在闭区间a, b上连续; (2) 在开区间(a, b)内可导,由拉氏定理, 有 6.1 微分中值定理23例证由定理6.1自证说明欲证只需证在 I上且使因为所以又因为所以 6.1 微分中值定理24例证由上式得设由 关键 f (x)在0, x上满足拉氏定理的条件, 所以 因为 所以 6.1 微分中值定理25柯西 Cauchy (法)1789-1859柯西中值定理(1)(2)使得三、柯西(Cauchy)中值定理广义微分中值定理 若函数 f (x)及F(x)满足:在闭区间a, b上连续;在开区间(a, b)内可导, 6.1 微分中值定理26这两个错!柯西定理的下述证法对吗?不一定相同柯西中值定理使得
8、(1) 在闭区间a, b上连续;(2) 在开区间(a, b)内可导,若函数f (x)及F(x)满足:因为所以 6.1 微分中值定理27 前面对拉格朗日中值定理的证明, 构造了 现在对两个给定的函数 f (x)、F(x), 构造即可证明柯西定理.辅助函数辅助函数 分析 上式写成 用类比法 6.1 微分中值定理28柯西定理的几何意义注意弦的斜率柯西中值定理使得切线斜率(1) 在闭区间a, b上连续;(2) 在开区间(a, b)内可导,若函数f (x)及F(x)满足: 6.1 微分中值定理29例证分析结论可变形为即f (x), F(x)在0,1上满足柯西中值定理条件, 设函数f (x)在0,1上连续
9、, 在(0,1)内可导,证明: 6.1 微分中值定理30罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理 罗尔(Rolle)定理、拉格朗日(Lagrange)中值定理、柯西(Cauchy)中值定理之间的关系:推广推广 这三个定理的条件都是充分条件,换句话说, 满足条件,不满足条件, 定理可能成立, 不是必要条件.而成立;不成立.定理也可能 6.1 微分中值定理31应用三个中值定理常解决下列问题(1) 验证定理的正确性;(2) 证明方程根的存在性;(3) 引入辅助函数证明等式;(4) 证明不等式;(5) 综合运用中值定理(几次运用). 关键 逆向思维,找辅助函数 6.1 微分中值定理32例分析 将结论交叉相
10、乘得辅助函数F(x)试证明: 6.1 微分中值定理33证 设辅助函数因此F(x)满足Rolle定理的条件. 6.1 微分中值定理34即得证毕. 6.1 微分中值定理35 分析即证要证证明:对任意的实数k,设f (x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 且 6.1 微分中值定理36证即证明:对任意的实数k,设f (x)在a, b上连续, 在(a, b)内可导, 且由Rolle定理 6.1 微分中值定理37考研数学(三), 8分试证必存在设函数 f (x)在0, 3上连续,在(0, 3)内可导,证因为 f (x)在0, 3上连续,且在0, 2上必有最大值M和最小值m,于是故由介值定理知,至
11、少存在一点使所以f (x)在0, 2上连续,因为且 f (x)在c, 3上连续,在(c, 3)内可导, 所以由Rolle定理知, 必存在 6.1 微分中值定理38考研数学(一,二)11分试证: 存在设函数 f (x), g(x)在a, b上连续, 在(a, b)内证设f (x), g(x)在(a, b)内最大值M分别在取得.由零点定理, 至少介于使得具有二阶导数且存在相等的最大值,令则2分3分6分因此由罗尔定理, 存在使得9分再由罗尔定理, 存在使得11分即 6.1 微分中值定理39(1) 证明拉格朗日中值定理: 若函数 f (x)在考研数学(一、二、三)11分a, b上连续, 在(a, b)
12、内可导, 则存在(2) 证明: 证 (1) 取由题意知F(x)在a, b上连续,在(a, b)内可导, 且 6.1 微分中值定理40由Rolle定理,即 6.1 微分中值定理41考研数学(一、二、三)11分(2) 证明: 证 (2) 对于任意的函数 f (x)在0, t上由右导数定义及拉格朗日中上连续, 在(0, t)内可导, 值定理所以 6.1 微分中值定理42四、小结 常利用逆向思维, 构造辅助函数运注意利用拉格朗日中值定理证明不等式的步骤.三个微分中值定理成立的条件;各微分中值定理的关系; 证明存在某点, 使得函数在该点的导数满用罗尔定理. 拉格朗日中值定理的各种形式, 其关系;足一个方程. 6.1 微分中值定理43思考题考研数学一, 3分 6.1 微分中值定理44作业习题6.1(202页)
