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1、14.2 微积分基本公式 问题的提出积分上限函数及其导数牛顿 莱布尼茨公式小结 思考题 作业 (v(t)和s(t)的关系)fundamental formula of calculus 第4章 定积分与不定积分2 通过定积分的物理意义,例变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为(v(t)和s(t)的关系)设某物体作直线运动, 已知速度v = v(t)求物体在这段时间内所经过的路程.是时间间隔T1,T2上t 的一个连续函数,一、问题的提出其中分的有效、简便的方法.找到一个计算定积 4.2 微积分基本公式所以为了叙述上的方便, 引入原函数的概念.3定义4.2例原函数的定义如果在区间I上,则称F
2、(x)为f (x)在I上的一原函数.个或由知是原函数.也是的原函数, 其中C为任意常数. 4.2 微积分基本公式5定积分:积分上限函数 注一定要分清函数的如果上限 x 在区间a, b上任意变动,每一个取定的 x 值,则对于定积分有一个对应值,所以它在a, b上定义了一个函数,设f (x)在a, b中可积, 则对任一点与自变量x积分变量t.二、积分上限函数及其导数记为变上限定积分 4.2 微积分基本公式6 这个函数的几何意义 下面讨论这个函数的可导性.是如图红色部分的面积函数. 4.2 微积分基本公式7考研数学一至四, 选择题, 4分 如图, 连续函数 y = f (x)在区间 上的图形分别是直
3、径为1的上、下半圆周, 在区间 上的图形分别是直径为2的下、上半圆周. 则下列结论正确的是 4.2 微积分基本公式82009年考研数学一,二,三, 选择题, 4分 设函数 y = f (x)在区间 上的图形为则函数 的图形为 4.2 微积分基本公式92009年考研数学一,二,三, 选择题, 4分 设函数 y = f (x)在区间 上的图形为则函数 的图形为此题为定积分的应用知识考核, 由y = f (x)的图形可见,其图像与x轴, y轴及所围图形面积的代数和为所求函数F(x).从而可得出几个方面的特征: 4.2 微积分基本公式10证定理4.3 (原函数存在定理)因为从而则积分上限函数是a, b
4、上的可导函数, 且对上限的导数等于被积函数在上限处的值. 即 4.2 微积分基本公式11积分中值定理故则同理可证则同理可证积分区间可加性 4.2 微积分基本公式12 定理4.3指出:和积分联结为一个有机的整体(2) 连续函数 f (x)一定有原函数,就是f (x)的一个原函数.(1) 积分运算和微分运算的关系, 它把微分所以它是微积分学基本定理.函数 微积分, 4.2 微积分基本公式13推论 4.2 微积分基本公式14例 解例 解 4.2 微积分基本公式15例 解 4.2 微积分基本公式16例解这是 型不定式,分析应用洛必达法则 4.2 微积分基本公式172009年考研数学(二), 填空, 4
5、分 曲线 解在点(0,0)处的切线方程为所以, 曲线在点(0,0)处的切线方程为: 4.2 微积分基本公式18考研数学(二), 填空, 4分 设函数 解 4.2 微积分基本公式19考研数学二 解答题, 10分 设 f (x)在区间 且满足 其中f -1 的是 f 的反函数, 求f (x). 上的单调、可导函数, 解 两边对x求导, 得 4分 即 6分 4.2 微积分基本公式20考研数学二 解答题, 10分 设 f (x)在区间 且满足 其中f -1 的是 f 的反函数, 求f (x). 上的单调、可导函数, 8分 故 由题设知, 因此, 10分 积分 4.2 微积分基本公式21例 解求极限 考
6、研数学(三) , 5分 用法则用法则 4.2 微积分基本公式22证例证明函数为单调增加函数. 4.2 微积分基本公式23为单调增加函数.故 4.2 微积分基本公式24证 令为单调增加函数.证明:只有一个解.例所以原方程只有一个解.或 4.2 微积分基本公式25定理4.5（牛顿-莱布尼茨公式）证牛顿(英) 16421727 莱布尼茨(德) 16461716如果F(x)是连续函数 f (x)在区间a, b上的一个原函数, 则都是 f (x)在因为F (x)及a, b上的原函数, 故有C是待定常数,即有三、牛顿莱布尼茨公式 4.2 微积分基本公式26牛顿(Newton)莱布尼茨(Leibniz)公式
7、微积分基本公式特别, 4.2 微积分基本公式27微积分基本公式表明注求定积分问题转化为求原函数的问题.一个连续函数在区间a, b上的定积分等于它的任意一个原函数在区间a, b上的增量.仍成立. 4.2 微积分基本公式28例 原式解 面积例 解平面图形的面积.所围成的 4.2 微积分基本公式29例 解注如被积函数是分段函数, 再用牛莱公式.积分,应分段分成几个 4.2 微积分基本公式30例 解 由图形可知 4.2 微积分基本公式所以31解 4.2 微积分基本公式32例解如被积函数有绝对值,注再用去掉后,N-L公式.应分区间将绝对值 4.2 微积分基本公式332009年考研数学三, 选择题, 4分
8、 使不等式 成立的x的范围是解答 原问题可转化为求成立时x的取值范围, 4.2 微积分基本公式34例则(A) F(x)在x = 0点不连续.(B) F(x)在内连续,在x = 0点不可导.(C) F(x)在内可导,且满足(D) F(x)在内可导,但不一定满足考研数学(四)选择题,4分 4.2 微积分基本公式35例 已知函数求积分上限的函数解分段函数错! 4.2 微积分基本公式36已知函数求积分上限的函数正确做法 4.2 微积分基本公式37例 解此极限实为一积分和的极限.定积分是代数和的推广,无穷小的无限项的代数和.即它表示每项为用定积分求极限时,需将(1)式中的两个任意量 用特殊的值处理. 4
9、.2 微积分基本公式38解 原式= 4.2 微积分基本公式39考研数学(二)填空3分 填空题解 原式 4.2 微积分基本公式40 微积分基本公式:积分上限函数(变上限积分): 积分上限函数的导数: 牛顿莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系.四、小结注意其推论. 4.2 微积分基本公式原函数的概念:称F(x)为f (x)在I上的一个原函数.41思考题1问:对吗?错!分析其中的x对积分过程是常数,而积分结果是x的函数.若被积函数是积分上限(或下限)的函数中注意的变量 x 及积分变量 t 的函数时, 应注意 x与t 的区别.对 x求导时, 绝不能用积分上限(或下限)的变量x替换积分变量. 4.2 微积分基本公式42思考题1问:对吗?故正确解答 因为 4.2 微积分基本公式43思考题2已知两曲线在点处的切线相同,写出此切线方程, 并求极限解故所求切线方程为考研数学(一)7分 4.2 微积分基本公式44作业习题4.2 (98页) 4.2 微积分基本公式
