2.7探索勾股定理 (一) 1.已知一个直角三角形斜边长是5，一直角边长是3，则此直角三角形的面积是_6_. 2.如图，在 ABC 中， CDAB 于点 D，E 是 AC 的中点 .若 AD6， DE5，则 CD_8_. (第 2 题) (第 3 题) (第 4 题) (第 5 题) 3.如图是由 4 个边长为 1 的正方形构成的“ 田字格 ” .只用没有刻度的直尺在这个“ 田字格 ”中最多可以作出长度为5的线段 _8_条 . 4.如图，在Rt ABC 中， ACB90 ， AB4，分别以AC，BC 为直径作半圆，面积分别记为S1，S2，则 S1S2的值等于 _2 _. 5.如图，在长方形ABCD 中， AB3，BC5，在 CD 上取一点 E，连结 BE，将 BCE沿 BE 折叠，使点C 恰好落在 AD 边上的点F 处，则 CE 的长为53. 6.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形 .若正方形A，B，C，D 的边长分别为3，5，2，3，则最大正方形E 的面积是 (C) A.13 B.26 C.47 D.94 (第 6 题) (第 8 题) 7.在 ABC 中， C 90 ，BCa， ACb，AB c. (1)若 a5，b 12，求 c. (2)若 b0.7，c2.5，求 a. (3)若 ab3 4，c25，求 b. 【解】(1) C90 ，a5，b 12，c2a2b252122169. c0， c13. (2) C90 ，b 0.7，c2.5，a2c2b22.520.725.76. a0， a 2.4. (3)ab 34，设 a3x，b4x. C90 ， a2b2c2. (3x)2(4x)2 252， x225. x0， x5， b4 520. 8.如图，在 ABC 中， ABAC，E，F 分别是边AB，AC 的中点，点D 在边 BC 上.若DEDF， AD2，BC6，求四边形AEDF 的周长 . 【解】ABAC， E，F 分别是边AB，AC 的中点， AEAF12AB. 又 DEDF，ADAD， AED AFD (SSS ). EAD FAD. ADBC，且 D 是 BC 的中点 . 在 RtABD 中， E 是斜边 AB 的中点，DEAE.同理， DFAF. 四边形 AEDF 的周长是2AB. BC6， BD3. 又 AD2， ABBD2AD213. 四边形 AEDF 的周长是2 13. 9.如图，在 ABC 和ADE 中， BAC DAE 90 ，ABAC， ADAE，C，D，E三点在同一条直线上，连结BD，BE.有以下四个结论：BDCE； BDCE； ACE DBC45 ； BE22(AD2AB2).其中正确结论的个数是_3_. (第 9 题) 【解】 BAC DAE90 ， BAC CAD DAE CAD ，即 BAD CAE. 在BAD 和 CAE 中，ABAC，BAD CAE，ADAE， BAD CAE(SAS ). ABD ACE，BDCE，故正确 . ABC 为等腰直角三角形， ABC ACB45 ， ABD DBC45 ， ACE DBC45 ，故正确 . DBC DCB DBC ACE ACB90 . BDC90 . BDCE，故正确 . BDCE， BE2BD2DE2. ADE 为等腰直角三角形，AEAD，即 DE22AD2. BE2 BD2DE2BD22AD2. 而 BD22 AB2，故错误 . 10.在ABC 中， AB 13 cm， AC20 cm，BC 边上的高为12 cm，求 ABC 的面积 . 【解】当 B 为锐角时 (如解图 ), 在 RtABD 中，BDAB2AD21321225(cm). 在 RtADC 中，CDAC2AD2202122 16(cm). BCBDCD5 1621(cm). SABC12BC AD12 21 12126(cm2). (第 10 题解 ) 当 B 为钝角时 (如解图 ), 同理， BCCDBD16511(cm). SABC12BC AD12 11 1266(cm2). ABC 的面积为 126 cm2或 66 cm2 . 11.如图，在 ABC 中， ABAC4，P 为 BC 边上任意一点 . (1)求证： AP2PB PC16. (2)若 BC 边上有 100个不同的点 (不与点 B， C重合 )P1， P2， ， P100， 设 miAPi2PiB PiC(i1，2，100).求 m1m2m100的值 . (第 11 题) 【解】(1)过点 A 作 ADBC 于点 D. ABAC，AD BC，BDCD， ADB ADC90 ，AP2 PB PCAP2(PDBD)(CDPD)AP2CD2PD2. AP2 PD2AD2，AP2 PB PCAD2CD2AC216. (2)由(1)知 miAPi2PiB PiC16，m1m2m10016，m1m2m10016 100 1600. 12.如图， AOB30 ，点 M，N 分别在边OA，OB 上，且 OM1，ON3，点 P，Q分别在边 OB，OA 上，求 MPPN 的最小值 . (第 12 题 ) 【解】如解图，作点M 关于 OB 的对称点M1，作点 N 关于 OA 的对称点N1，连结M1N1分别交 OA，OB 于点 Q，P，此时 MPPQ QN 的值最小 . (第 12 题解 ) 由对称的性质，知M1PMP，N1QNQ，MPPNM1N1. 连结 ON1，OM1，则 M1OP POM N1OM30 ， N1OM190 . 又 ON1ON3，OM1OM1，M1N1OM12ON1210，即 MPPQ QN 的最小值为10. 。
