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1、结 构 动 力 学第8章 连续体动力模型的离散化8.1 集中质量法及建筑物的模型化8.2 变分直接法8.3 加权残值法8.4 动力有限元法8.5 有限元法单元位移模式及插值函数的构造8.6 有限元分析中的基本要素8.7 动力有限元法的精度8.1 集中质量法及建筑物的模型化 通过把分布质量向有限点集中的直观手段,将连续体化为多自由度体系的方法称为集中质量法。这是一种物理近似,是一种古典的近似方法。 早期,集中质量法主要应用于那些物理参数分布很不均匀或相对集中的实际工程结构分析中,例如建筑物、构筑物等。这一方法的原则是把那些惯性相对大而弹性极微弱的构件看作是集中质量,而把那些惯性相对小而弹性极为显
2、著的构件看作是无质量的弹簧。后来这种方法也被推广用于均匀连续体结构中,这在后面我们还将详细叙述。 图8-1所示水塔的水平振动,由于顶部水池较重, 在略去次要因素后,就可以简化为图示的直立悬臂梁在顶端支承集中质量的单自由度体系。若要考虑水池的转动惯量效应,则为两自由度的体系。8.1 集中质量法及建筑物的模型化图8-1集中质量模型8.1 集中质量法及建筑物的模型化 图8-2a所示的均布质量的简支梁,用五个离散质点来描述其惯性特征,将两个节点间的质量均匀分布在两个节点上,可得图8-2b所示的五自由度离散集中质量模型。 上述两个例子分别对应了物理参数分布不均匀和均匀的情况。下面我们来讨论集中质量法用于
3、建筑物模型化的问题。图8-2简支梁的集中质量模型8.1 集中质量法及建筑物的模型化 建筑结构物的重量是由恒荷载和活荷载组成的。恒荷载指组成建筑物的梁、柱、楼板、墙壁、基础等构件的重量。活荷载是指建筑物内承受的人、家具、设备、器具等的重量。一般而言,不管建筑物的构造形式如何,建筑物的重量明显地集中在各个楼板层上,属于沿竖向重量参数分布明显不均匀的结构。因此,建筑物动力分析中通常把1/2层高范围内的全部重量集中到各自相应的楼板层上,这就是所谓的楼层集中质量模型(如图8-3所示)。8.1.1质量的集中化图8-3楼层集中质量模型8.1 集中质量法及建筑物的模型化 有时为了更精确地模拟建筑物的动力反应,
4、视建筑物的力学特性和分析目的的不同,也将楼层处的重量进一步在楼层平面内进行分配和集中。一般的处理方法是按平面(楼层)面积平均到柱头部。当然,对于楼层平面内重量分布明显不均匀的情况且要考虑建筑物的竖向振动时,按面积平均到柱头部的处理方式会带来较大的误差。8.1.1质量的集中化8.1 集中质量法及建筑物的模型化 以图8-4一座两跨三榀的三层框架结构为例,讨论其力学分析模型建立。这里假定地面是刚性的,仅有水平的地面运动。这里仅是讨论模型的简化方法,具体的质量、刚度、阻尼矩阵的计算可参考相应的文献。 首先假定图8-4所示的框架结构各层的几何、质量、刚度中心是重合的(沿Oz轴),即该框架结构没有扭转运动
5、,对于线弹性反应而言,沿zOx和zOy平面的反应是各自独立的。这里仅以zOx平面为例进行讨论。8.1.2力学分析模型图8-4三层框架结构模型8.1 集中质量法及建筑物的模型化1. 平面剪切型模型 由于建筑物的全部质量集中在各楼层平面上,连接楼层体系的柱子就是无质量的,此时若再假定楼层体系和梁是刚性的并忽略柱的轴向变形影响,这就是平面剪切型建筑物的模型。各层只允许有由于柱子侧向柔性引起的沿Ox方向的位移,其动力自由度化简为三个,力学模型简图如图8-5所示。8.1.2力学分析模型图8-5平面剪切型模型8.1 集中质量法及建筑物的模型化2. 平面弯剪型模型 上述剪切型模型中,若柱的轴向变形不可忽略时
6、,各层的侧向位移就由两个部分组成,一是相应于剪切型模型的柱子侧向柔性引起的侧向位移;二是相应于柱的轴向变形产生的楼层转动(在zOx平面内)引起的侧向位移。此时,各层的动力自由度数为两个,总的动力自由度数为六个。力学模型简图见图8-6,其中,Ip1、Ip2、Ip3 是各层楼面的转动惯量,1、2、3是各楼层的转角。各楼层的剪力也相应的由两部分组成。一是剪切弹簧(柱的侧向柔性);二是楼层间的相对转动提供的弯曲弹簧。这一力学分析模型就是平面弯剪型模型。8.1.2力学分析模型图8-6平面弯剪型模型8.1 集中质量法及建筑物的模型化3. 平面杆系模型 平面剪切型模型和平面弯剪型模型都是假定了楼层体系和梁是
7、刚性的。如果进一步假定楼板在平面外的柔性相对于梁的柔性是可以忽略的,梁、柱间的节点是刚性的,且容许节点产生转动变位,此时图8-4所示的框架结构在zOx平面的力学模型就是平面杆系模型。8.1.2力学分析模型8.1 集中质量法及建筑物的模型化3. 平面杆系模型 为不失一般性,讨论楼层平面内重量按面积平均到柱头部的质量处理方式时,若假定梁、柱的轴向变形影响是不可忽略的,节点的转动惯量也予以考虑,则每一个节点相应有三个动力自由度(z、x方向的平动和绕Oy轴的转动),图8-4所示框架在zOx平面的运动共有27个自由度;若假定梁、柱的轴向变形影响可以忽略,则每一个节点相应有两个动力自由度,一个是绕Oy轴的
8、转动,另一个是沿x方向的变位,但此时同一层楼的节点沿x向的变位又是相等的,这样,每一层楼的实际动力自由度数就仅是节点数加1了,因此,这时的总动力自由度数是12个。进一步,再假定不考虑各节点的转动惯性,此时虽然仍是平面杆系模型,但结构的总动力自由度数与平面剪切型模型是相同的,为三个沿x轴的平动自由度。注意到第三种情况,体系的静力自由度数目与动力自由度数目是不相等的,与惯性相关的运动方程仅有三个,少于确定体系变形的静力自由度相应的12个平衡方程数。通常,我们在进行动力分析前要将结构模型中的静力自由度约减掉,而只保留动力自由度,从而达到减少计算量的目的,这就是所谓的静力凝聚,具体方法在前面已经介绍。
9、8.1.2力学分析模型8.1 集中质量法及建筑物的模型化4. 空间平扭模型 在讨论前面的平面模型时,先假定了框架结构各层的几何、质量、刚度中心是沿z轴重合的,体系没有扭转运动,x和y轴的运动也是互相独立的,但有时上述三个中心是不重合的,这时体系将出现平扭耦合的空间运动,问题变得复杂起来。假定楼层体系和梁是刚性的,考虑柱的轴向变形,这时每一楼层将会有六个动力自由度,三个平动,三个转动,体系共有18个动力自由度;若不考虑柱的轴向变形,这时每一楼层有三个动力自由度,两个平动(沿x、y方向),一个转动(绕Oz轴),体系共有九个动力自由度。8.1.2力学分析模型8.2 变分直接法 变分原理提供了一种将真
10、实的运动与同样条件下可能的其他运动区分开来的准则。真实的运动是指在同样的条件下(边界和约束条件)使得泛函取极值的自变函数。从变分原理出发可导出体系的控制微分方程,对连续体,它是一组偏微分方程。变分原理的直接法是一种数学上的离散化处理方法,其途径是在利用变分原理时不将泛函的极值问题转化为求解偏微分方程问题,而是给出所求函数的近似表达式,直接利用泛函极值的必要条件确定近似表达式中的待定参数。因此,通常称这种方法为“直接法”。 变分原理的一般表达式为H(u(x,y,z,t)=0(8-1)式中,H(u(x,y,z,t)是一泛函,它是依赖于在一定范围内可变的矢量函数u(x,y,z,t)的一个标量;u(x
11、,y,z,t)称为自变函数。8.2.1基本思想8.2 变分直接法8.2.1基本思想8.2 变分直接法8.2.1基本思想8.2 变分直接法 如果在泛函H中u和它的导数的最高方次为二次,则称泛函H为二次泛函。大量的工程和物理问题中的泛函都是二次泛函。对于二次泛函,可以证明由变分直接法获得的M、C、K为对称矩阵。 泛函的构造一般较为复杂,对于弹性力学问题,简单的方法是应用极小势能原理或极小余能原理。 极小势能原理表示为(U+V)=0(8-7)式(8-7)中,U为体系的内力势能,V为体系的外力势能。8.2.1基本思想8.2 变分直接法 从理论上讲,凡是可以以任意精度逼近容许函数的函数系均可以作为试函数
12、。试函数的选择是一个很重要的方面,已有许多文献专门论述,在这里不再详细叙述。归纳起来,作为试函数的一般条件为:连续性;无关性;正交性;完备性。其中,条件、保证了解的收敛性,是充分条件;条件可以简化计算并保证数值解的稳定。8.2.2试函数的选择及其分类8.2 变分直接法 不同的试函数选取对应不同的离散化方法。试函数的构造目前大致有解析函数、分片多项式插值、半解析函数、样条函数等几类,它们分别对应于Ritz法、有限元法、半解析法、样条函数法。Ritz法和有限元法是最为常用的两种方法。Ritz法也称为假设模态法,它的精度取决于假设模态(试函数)的构造形式,对于复杂结构,要构造全域的假设模态是很困难的
13、。对于比较规则的区域,假设模态较易选取,Ritz法有它的优势。对于不规则的复杂结构,经常将它分为有限个规则区域的组合,对每一规则区域应用Ritz法,然后在边界上施加连续和平衡条件进行综合,这就是通常的动态子结构方法,在后面我们还将进行专题讨论,这里不予详述。有限元法的优点是可以适应任意不规则的复杂结构,它的试函数是由分片多项式插值组成,对同类单元,它的分析是一样的,易于计算机编程。因此,有限元法获得了最深入的研究和广泛的应用。下面我们还将专门讨论有限元法。8.2.2试函数的选择及其分类8.3 加权残值法8.3 加权残值法8.3 加权残值法8.3 加权残值法8.3.1第一种形式的加权残值法8.3
14、 加权残值法 显然,将式(8-13)代入式(8-19)后可导出n个以qi(t)为未知量的常微分方程,n为自由度数。 式(8-19)为标准的加权残值法格式,通过选择不同的权函数可导出有限差分法、力矩法、配点法、伽辽金法等。特别值得指出的是,当试函数和权函数选择同样形式时,由式(8-19)导出的矩阵具有对称性,这种特性是十分重要的,这一方法称为伽辽金法。8.3.1第一种形式的加权残值法8.3 加权残值法8.3.2第二种形式的加权残值法8.3 加权残值法8.3.2第二种形式的加权残值法8.3 加权残值法8.3.2第二种形式的加权残值法8.4 动力有限元法 有限元法是目前应用最为广泛的一种离散化数值方
15、法,其基本思想是人为地将连续体结构划分为有限个单元,规定每个单元所共有的一组变形形式,称之为单元位移模式或插值函数。然后,以单元各节点的位移作为描述结构变形的广义坐标。这样,整个连续体结构的位移曲线就可由这些广义坐标和插值函数表示出,再由前面介绍的变分原理直接法或伽辽金法就可以列出以节点位移为广义坐标的离散体结构的有限元运动方程。一旦各节点的位移确定,则可以通过单元位移模式求出单元内部的位移值,进而求得应变和应力。因此,从实质上讲,有限元法是变分直接法或加权残值法中的一种特殊形式。选择这样一种函数的主要优点在于: (1) 因为同类单元位移模式是相同的,故计算程序十分简单。 (2) 因为每个节点
16、位移仅影响其邻近的单元,所以这个方法所得的方程大部分是非耦合的,因此易于计算机数值求解。 (3) 广义坐标具有明确的物理意义,这是不同于一般广义坐标法的地方,直接给出了节点的位移或力。8.4.1有限元离散化 8.4 动力有限元法 (4) 解的精度可以通过在结构离散化时增加有限单元的数目来提高。 (5) 分片多项式插值试函数的收敛性有保证。 上面是完全从数学上阐述了有限元法的实质。但实际上有限元法最初是从物理近似上提出来的。在杆系结构的静力分析中,我们十分自然地把一个杆件看作离散后的一个单元。连续体力学有限元法与杆系结构力学有限元法的解题思想方法是一致的。它们都是将原结构分成有限个单元结构,这些单元的集合就近似代表原来的结构。如果能合理地求得各单元的物理特性,也就可以近似地求出这个组合结构的物理特性。因此,有限元法的关键是对单元力学特性的分析。一旦单元力学特性确定,则由各单元在节点处的变形连续和受力平衡条件,即可以列出原结构的近似运动方程。利用变分直接法或伽辽金法推导有限元公式仅是一种数学解释。下面我们将以杆系结构为例来具体阐述有限元法。8.4.1有限元离散化 8.4 动力有限元法8.4
