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1、.两角差的余弦公式教学设计课题两角差的余弦公式项目内 容理论依据或设计意图教材分析教材地位与作用两角差的余弦公式是普通高中课程标准实验教科书人教A版数学4必修中的第三章的节内容,教学课时为1课时。前两章学生已经学习了任意角的三角函数和平面向量等知识,对三角函数有了一定的认识,有利于学生接受两角差的余弦公式.两角差的余弦公式是三角恒等变换这一章中的一个重要内容,只有对两角差的余弦公式有了认识,才能够以此为基础推导其他三角恒等变换公式。这是一个逻辑推理过程也是一个认识三角函数式的特征,体会三角恒等变换特点的过程.课程标准教学目标1知识与技能1通过对两角差的余弦公式的推导,使学生体会应用向量解决数学
2、问题的技能.2通过公式的灵活应用,使学生掌握两角差的余弦公式的作用.2过程与方法1利用两角差的余弦公式推导过程,使学生体会向量在代数几何方面运用的方式方法.2在公式的灵活运用过程中进一步培养学生分类讨论思想、转化和化归思想、数形结合思想.3情感态度与价值观通过引导学生主动参与、大胆猜想独立探索、激发学生学习兴趣,形成探究、证明、应用的获取知识的方式。从应用中去体会数学的严谨,形成理性思维,体会向量与两角差的余弦公式的运用价值。根据新课程标准的要求,从提高学生的数学素质和能力出发,结合学生心理发展的需求,以与人格、情感、价值观的具体要求制订.重难点重点：两角差的余弦公式的运用.难点：用两角差余弦
3、公式进行简化、计算与逆用公式等技能.数学教学不仅使学生理解知识的发生过程,更重要是培养学生对知识的应用能力.教学设计教学设计教学设计教学设计一以境激情我们已经知道由此我们能否得到的值呢？对于你们同意这个观点吗？说说理由？通过学生熟知的特殊角余弦值引入问题,引发认知冲突,引出本节课题.使学生明确数学是一门严谨的科学,激励学生探索新知.二研探论证二研探论证二研探论证活动1：教师活动提出问题：究竟该如何计算？对于求角的余弦值这种问题,我们有哪些方法？学生活动回忆三角函数定义、三角函数线以与平面向量数量积运算等相关知识.活动2:教师活动引导学生尝试用向量的方法来探究如何计算.先复习两个向量数量积的定义
4、与坐标运算公式；定义式：；坐标式：学生活动在平面直角坐标系中作单位圆,以轴非负半轴为始边作角,它们的终边与单位圆的交点分别为、,则,；试用、两点的坐标表示的余弦值。教师活动引导学生经历用向量方法探索求,结合图形,明确应选择哪几个向量,它们怎么用坐标表示？怎样利用数量积计算公式得到推导结果？学生活动计算,得到；另一方面,从定义式计算；得出结论活动3：教师活动引导学生思考,的X围,完善公式的推导.学生活动提出的任意性,而向量夹角为,学生产生疑惑：与向量之间的夹角有什么关系呢？教师活动：几何画板动态展示,引导学生结合计算机图形语言和三角函数诱导公式对公式的严密性进行论证.根据终边相同的角的性质,活动
5、4：教师活动引导学生说出两角差的余弦公式的结构特点.学生活动发现公式左边是差角的余弦,右边是单角同名三角函数值乘积之和.活动5：例题分析教师活动讲评例1.利用两角差的余弦公式求的值这是通过应用理解公式最基础的，在讲评过程中引导学生注意以下几个要点：1三角变换关注角的拆分,易于理解.2由于是具体角,拆分过程容易进行.3拆分的多样性,决定变换的多样性.学生活动求出的值.1通过诱导公式转化为；2转化为先利用求,再用同角关系求教师活动讲评例题2：已知是第三象限角,求的值.引导学生分析问题,形成如下思路：结合余弦公式,欲求的值,必先知道的值,然后利用公式即可求解.,注意角所在的象限,准确判断它们的三角函
6、数值的符号.通过设问,激发学生自觉回顾三角函数和向量的相关知识,为公式的探索提供思路.通过带有指向性的问题,使学生意识到,向量方法可能是解决问题的工具,引导学生建立向量使用的数学环境,培养学生自主探索和数形结合的能力.在教师的引导下,通过求两个已知向量的夹角问题以与三角函数定义的应用得出新的结论,使学生体会和认识严格的推导过程是获取数学结论的方法。由学生得到结论,让学生在数学课上体会成功.由于向量工具已被引入,因此将问题归结为角度问题,选用向量方法推导公式,使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程,大大降低了思考难度.另外,在公式的完善过程中,学生用对比、联系、化归的观点去分析问题、处理问题,
7、使他们在建立公式的过程中发展逻辑推理能力和对知识的迁移应用.培养学生用自己的语言描述公式特征的表达能力。加深对公式的印象,掌握公式特点,为下一步公式的应用做好铺垫.学生到此刻,能够利用本课新发现的两角差的余弦公式解决这个问题,呼应前面,同时让学生获得了成果的数学体验.通过正、余弦之间的转化；非特殊角与特殊角之间的转化,进一步巩固公式的应用,渗透化归的数学思想.对题目进行解析,使学生形成解决这类问题的基本思路.在讲评例题的过程中注重在表述规X性上作出点评和要求,提高学生的数学表达能力.三反馈练习活动6：课堂练习学生活动教师活动对学生的证明过程进行点评,使学生认识到该诱导公式是两角差余弦公式的特殊
8、情形.学生活动学生上台演板,运用公式解决以下问题：教师活动对学生的计算过程的每一步进行点评,是学生认识到两角差余弦公式使用时注意利用特殊角的正弦值余弦值.学生活动先请一位同学在黑板上演示,然后再向全体同学讲解：教师活动找几份具有代表性的解答投影,让同学们点评.学生活动学生认真审题,求解问题教师活动对学生表述的步骤是否规X作出必要的点评和要求。引导学生一定要弄清角的X围,准确判断三角函数值的符号.使学生独立完成证明,培养学生独立思考的数学思维品质和对数学知识前后联系,建立数学知识网络的能力.学生上台演板,是本节课教学的重要一环, 能充分调动学生学习数学的实践活动能力,使教师了解学生学习情况,是激
9、发学生学习兴趣的有效途径.通过问题的设计,注重培养学生分类讨论的数学思想,在解题的过程中培养学生思维的严密性和逻辑的条理性,同时注重对学生的表述规X性的指导.引导学生认识到要使用两角差余弦公式,应该运用同角三角函数关系对四个数据作出准备,培养学生 举一反三的解决数学问题的能力.四变式训练活动7：变式训练学生活动应用本课所学的公式进行以下计算：教师活动点评,不仅要会公式的正用而且要注意公式的逆用和变形应用.学生活动应用公式计算：教师活动引导学生比较已知的角与所求的角之间的关系,注意构造角以与研究角的X围.在练习中加深对公式结构和功能的认识,使学生熟练、灵活运用公式；掌握三角式变换的特点,培养学生
10、公式的逆用能力.引导学生独立思考,得出,从而具备使用两角差余弦公式的条件,培养学生解决数学问题的化归思想.五 应用评价课堂小结：通过本节课的学习你有哪些收获？1、探索并证明了两角差的余弦公, 经历了,猜想 探究证明 ,利用向量法得出了：在证明公式的过程中,我们利用了向量这一简洁有效的工具,在后面的学习中我们会继续感受它的便利.2、所涉与的数学思想与方法:猜想、化归与转化、数形结合、分类讨论.布置作业：1.必做：P137,2,3,43.课下思考：你能用,推导出吗？让学生在课堂小结中进行自我评价,回顾当堂所学,交流学习体会.注意公式特征,正用,逆用和角的拼凑！在探究问题时,结合所学知识,要大胆猜想
11、,细心证明！通过例题、练习、课堂小结、作业等对学生在三维目标方面进一步评价,反思教学,改进方法.板书设计：两角差的余弦公式投影屏幕板演区域教学设计说明一、教材地位与其作用恒等变换在数学中扮演着重要的角色,它的主要作用是化简.在数学中通过恒等变换,可以把复杂的关系用简单的形式表示出来.三角恒等变换在后续学习中具有重要的作用.而以本节课为起始课的第三章内容需要学习三角函数运算中蕴涵的恒等关系.由于和、差、倍之间存在的联系,和角、差角、倍角的三角函数之间必然存在紧密的内在联系,因而需要推出一个公式作为基础。由于三角恒等变换的内容与三角函数没有直接的关系,因此现行的课改教材人教版安排学生学完三角函数后
12、,先学习了平面向量,因此选择了运用向量方法推导公式作为建立其它公式的基础,使得公式的得出成为一个纯粹的代数运算过程,降低了思考难度。本节课的作用承前启后,非常重要。二、学情分析与教学目标学生在前两章已经学习了同角三角函数的基本关系、诱导公式与平面向量,为探究两角差的余弦公式建立了良好的基础。但学生的逻辑推理能力有限,要发现并证明公式C有一定的难度,教师可引导学生通过合作交流,体会向量法的作用,探索两角差的余弦公式。由于学生初次使用恒等变换去推理解答问题,分析问题的能力和逻辑推理的能力都有所欠缺,并且面对新问题如何运用已学知识和方法去解决存有困惑.但同时学生在学习新的一章知识时又都会充满好奇心,这对教学是非常有利的。根据学生的认知结构和心理特点,我制定了本课的学习目标如下：1知识与技能1通过对两角差的余弦公式的推导,使学生体会应用向量解决数学问题的技能。2通过公式的灵活应用,使学生掌握两角差的余弦公式的作用。2过程与方法1利用两角差的余弦公式推导过程,使学生体会向量在代数几何方面运用的方
