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1、联合战术通信教研组张伟明理工大学通信工程学院数字通信原理数字通信原理1第7章 差错控制编码7.1 概述7.2 纠错编码的基本原理7.3 常用的简单编码7.4 线性分组码7.5 循环码7.6 卷积码7.7 伪随机序列 7.8 现代编码技术 27-1 概述n信源编码：为了提高数字信号的有效性而采取的编码，又称有效性编码；n信道编码：为了提高数字通信的可靠性而采取的编码，又称可靠性编码、抗干扰编码、纠错编码或差错控制编码。n信道编码原理：在原始数字信号中加入带有规律性的码元，信道译码器利用这些规律性来鉴别是否发生错误，或进行错误纠正。37-1 概述编码的本质：增加冗余度，牺牲有效性以提高可靠性。编码
2、的方法：对原信息进行变换，加入附加信息(即监督码)。例: (4,1)重复码0:00001:11114随机错误：零星分布的错误突发错误：集中出现的错误突发信道：以突发错误为主随机信道：以随机错误为主混合信道：两种错误均较明显对错误的处理方式：检错、纠错、纠检结合一、差错及信道分类5发端收端前向纠错FEC纠错码发端收端检错重发ARQ(Automatic Repeat reQuest)检错码确认信号ACK发端收端信息反馈IF信息信号信息信号发端收端混合纠错HEC检错和纠错码确认信号ACK二、差错控制的基本工作方式67-2 纠错编码的基本原理用两位编码可表示4种天气： 信息位晴00云01阴10雨11监
3、督位0110增加1位监督位，则可检测1位错误。3位编码共有8个码组，上述4种为许用码组（合法码组），其它4种为禁用码组。7（1） 码长、码重和码距n码长n：码组(码字)中码元的数目。n码重w：码组中非0码元的数目。n码距d：两个等长码组之间对应位不同的数目称为这两个码组的的汉明距离，简称码距。例如码组C1=11010，则码长n=5，码重w=3； C1=11010与码组C2=10100之间的距离为d=3。n两个二进制码组模二相加得到的新码组的重量就是这两个码组之间的距离。1.纠错码的基本概念82.分组码的纠（检）错能力与d0的关系最小码距d0：所有码组之间的最小码距，决定码的纠检错能力。（1）检
4、测e个随机错误：（2）纠正t个随机错误：（3）纠正t个同时检测e（t）个随机错误：ABd0e.AABd0tt.A Bd0ABet.AB92.分组码的纠（检）错能力与d0的关系以（n,1)重复码为例：A、B两种消息用“1”、“0”表示，编为(2,1)重复码为“11”及“00”d0为2，可检测1位错编为(3,1)重复码为“111”及“000”d0为3，用于检错时，可检出2位错用于纠错时，根据最大似然准则，可纠正1位错编为(4,1)重复码为“1111”及“0000”d0为4，用于检错时，可检出3位错用于纠错时，可纠正1位错的同时检出2位错10对纠错码的基本要求是：n纠错和检错能力尽量强；n编码效率尽
5、量高；n码长尽量短；n编码规律尽量简单。3.对纠错编码的基本要求及效用编码效率：码元中信息元所占的比例，通常用R=k/n来表示114.纠错编码的效用采用差错控制编码，即使仅能检测或纠正码组中12个错误，也可以使误码率下降几个数量级。这就表明，即使是较简单的差错控制编码也具有较大实际应用价值。码长为n的码组中恰好发生r个错码的概率为 ：当码长n7，pe=103时，则有 121.奇偶监督码(奇偶校验码）：在n1个信息元后面附加一个监督元，使得长n的码子中1的个数保持为奇数或偶数的码称为奇偶监督码。7.3 常用的简单编码偶校验码监督方程：奇校验码监督方程：d0=2，可检测1位错及其它奇数个错13码长
6、为5的偶监督码序号 码 字序号 码 字信息码元监督元信息码元监督元 0 0 0 0 00 810001 1 0 0 0 11 91 0 0 10 2 0 0 1 01101 0 1 00 3 0 0 1 10111 0 1 11 4 0 1 0 01121 1 0 00 5 0 1 0 10131 1 0 11 6 0 1 1 00141 1 1 01 7 0 1 1 11151 1 1 1014又称行列监督码或矩阵码。它同时对水平方向及垂直方向的码元实施奇偶监督。2.二维奇偶监督码1 1 0 0 1 0 1 0 0 00 1 0 0 0 0 1 1 0 10 1 1 1 1 0 0 0 0
7、11 0 0 1 1 1 0 0 0 01 0 1 0 1 0 1 0 1 0001011 1 0 0 0 1 1 1 1 00L5，m10的行列监督码15突发错误：逐行传输时，能检测长度b m+1=11的突发错误;逐列传输时,能检测长度bL+1=6的突发错误；2.二维奇偶监督码1 1 0 0 1 0 1 0 0 00 1 0 0 0 0 1 1 0 10 1 1 1 1 0 0 0 0 11 0 0 1 1 1 0 0 0 01 0 1 0 1 0 1 0 1 0001011 1 0 0 0 1 1 1 1 00随机错误：所有1、2、3及其它奇数个错；大部分偶数个错； 不能检矩形4个顶点的偶
8、数个错163.恒比码：数字码 字012345678901101010111100110110110100011110101111000111010011又称等重码或定1码，码字中1和0的位数保持恒定比例。我国电传通信采用3：2数字保护码，也称为5中取3恒比码。3：2数字保护码能够检测所有奇数个错误及部分偶数个错误；不能检测 “1”错为“0”与“0”错为“1”成对出现的错码。 实际使用经验表明，它能使差错减至原来的十分之一左右。177.4 线性分组码（系统）分组码的结构 187.4 线性分组码7.4.1 线性分组码的特点码字用 表示，监督码元与信息码元之间的关系可用如下线性方程组表示(以（7，3
9、）分组码为例)： 线性分组码的封闭性：码字集中任意两个码字对应位模2加后得到的组合仍然是该码字集中的一个码字。 因此，线性分组码的最小码距必等于码字集中非全0码字的最小重量。（7，3）码的码字表序号 码 字信息元监督元00 0 00 0 0 010 0 11 1 0 120 1 00 1 1 130 1 11 0 1 041 0 01 1 1 051 0 10 0 1 161 1 01 0 0 171 1 10 1 0 0197.4.2 线性分组码的编码简记为：监督方程组改写为：此（7，3）分组码的监督矩阵：207.4.2 线性分组码的编码217.4.2 线性分组码的编码线性分组码的监督矩阵H
10、由r行n列组成，r=n-k，且这r行是线性无关的。监督矩阵具有形式： ，其中 为 的单位矩阵。P是 的矩阵。从而可通过以下矩阵运算由信息元求监督元： 或227.4.2 线性分组码的编码线性分组码的典型生成矩阵为: ,其中 是 的单位矩阵。所以有由典型生成矩阵生成的码是系统码: 如 时，通过生成矩阵求得的码字为 :237.4.2 线性分组码的编码例：已知（7，3）线性分组码监督矩阵为求：（1）监督元与信息元之间的关系式；（2）生成矩阵；（3）此码的全部码字；（4）此码的码距 及纠、检错能力；（5）此码的编码效率。247.4.2 线性分组码的编码解：4个监督元和3个信息元之间的关系为 序号码 字信
11、息元监督元00 0 00 0 0 010 0 11 1 1 020 1 01 1 0 130 1 10 0 1 141 0 00 1 1 151 0 11 0 0 161 1 01 0 1 071 1 10 1 0 0生成矩阵 除全零码字以外的7个码字的重量最小值即为此（7，3）分组码的最小码距。最小码距 如：257.4.2 线性分组码的编码例：重复码是最简单的一类线性分组码。（n，1）重复码总共只有2个码字，一个全0码字，另一个是全1码字。如（5，1）重复码的两个码字分别为“00000”和“11111”。试求出（5，1）重复码的监督矩阵和生成矩阵。解：267.4.3 线性分组码的译码S是1行
12、r列矩阵，它与错误图样有对应关系，而与发送码字无关。故能确定传输中是否发生了错误及错误的位置。发送码字：接收码字：发送码字和接收码字之差：错误图样：码字与监督矩阵约束关系：若传输发生错误时：伴随式：277.4.3 线性分组码的译码以前面所列举的（7，3）码为例：1求出错误图样E与伴随式S之间的关系。错1位的7种错误图样所对应的伴随式，刚好对应 中的7行。 编 号 错码位置ES 110000001110 201000000111 300100001101 400010001000 500001000100 600000100010 700000010001伴随式和错误图样的对应关系:287.4.
13、3 线性分组码的译码2计算接收码字的伴随式，然后查上面表得错误图样。 如接收码字为B1100111，则其伴随式为： 查上面表得错误图样E1000000 ，可见接收码字中b6有错误。3用错误图样纠正接收码字中的错误。 297.4.3 线性分组码的译码例：已知（7,3）线性分组码监督矩阵为（1）检验“1100111”是否为码字；（2）当译码器接收到“1100111”时，求译码器的输出。 纠正后的码字： 译码器输出：前3位信息码元“100”。307.4.4 汉明码31n(1)加多少位监督元可满足要求，最经济？n(2)r位监督元如何加？有没有一般规则？n以r=3为例编码器k位信息元n位码字k位信息元n
14、-k=r位监督元取“”号最经济：在纠1位错情况下冗余最小31a4错a3错无错a2错a1错a6错a5错a0错s2s1s0111110101011100000010001r=3n=7, k=4信道编码器?4位信息元7位发送码组对应标识译码器7位接收码组7.4.4 汉明码32a4错a3错无错a2错a1错a6错a5错a0错s2s1s0111110101011100000010001r=3n=7, k=4S2=a6+a5+a4+a2S1=a6+a5+a3+a1S0=a6+a4+a3+a0a6+a5+a4+a20a6+a5+a3+a10a6+a4+a3+a00a2a6+a5+a4a1a6+a5+a3a0a
15、6+a4+a31、列出所有差错情况；2、确定一一对应标识；3、找出监督码元与信息码元关系；S2=a6+a5+a4+a2S1=a6+a5+a3+a1S0=a6+a4+a3+a07.4.4 汉明码333434序号码字序号码字信息元监督元信息元监督元00000000810001111000101191001100200101011010100103001111011101100140100110121100001501011011311010106011001114111010070111000151111111编码效率：(7,4)汉明码所有16个码字347.4.4 汉明码汉明码：一种高效率的纠单个
16、错误的线性分组码。其特点是最小码距，码长n与监督元个数r满足关系式。所以有（7，4）、（15，11）、（31，26）等汉明码。1（7，4）汉明码的编码监督元与信息元之间的关系：从而：357.4.4 汉明码编码由汉明码监督矩阵：可得：从而：367.4.4 汉明码编码由，可得汉明码16个码字： 序 号 码 字 序 号 码 字 信 息 元 监 督 元 信 息 元 监 督 元 00 0 0 0 0 0 0 81 0 0 0 1 1 1 10 0 0 1 0 1 1 91 0 0 1 1 0 0 20 0 1 0 1 0 1 101 0 1 0 0 1 0 30 0 1 1 1 1 0 111 0 1 1 0 0 1 40 1 0 0 1 1 0 121 1 0 0 0 0 1 50 1 0 1 1 0 1 131 1 0 1 0 1 0 60 1 1 0 0 1 1 141 1 1 0 1 0 0 70 1 1 1 0 0 0 151 1 1 1 1 1 1377.4.4 汉明码译码2汉明码的译码：码长为7的码字中至少加入3位监督元才能纠单个错误，（7，4）汉明码在7位码字中只有3位监督元，因
