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1、第六章 IIR数字滤波器的设计 本章思路：1.滤波是信号处理中最为重要的方法，数字滤波器与模拟滤波器相比有很多优势2.IIR数字滤波器的设计有两种方法：间接设计法和直接设计法3.间接设计法借助模拟滤波器的设计方法来设计数字滤波器，是本章的重点4.所以本章内容： a.滤波的基本概念 b.模拟滤波器设计 c.模拟滤波器到数字滤波器的设计方法6.1滤波的基本概念滤波就是提取输入信号中的有用频率成分，抑制无用频率成分的信号处理过程。所谓数字滤波器，是指输入、输出均为数字信号，通过数值运算处理改变输入信号所含频率成分的相对比例，或者滤除某些频率成分的数字器件或程序。所谓数字滤波器设计，就是要找出满足滤波
2、要求的系统的单位脉冲响应h(n)，或者系统的系统函数H(z).正因为数字滤波通过数值运算实现滤波，所以数字滤波器处理精度高、稳定、体积小、重量轻、灵活、不存在阻抗匹配问题，可以实现模拟滤波器无法实现的特殊滤波功能。第六章 IIR数字滤波器的设计 傅立叶分析告诉我们，任何波形的时域信号都是由不同频率的正弦信号叠加形成的。通过频域分析我们可以发现该波形是单一频率正弦波调制的双边带信号与宽带噪声干扰的叠加，双边带信号的载波频率为100 Hz，而干扰噪声的频率大于170 Hz第六章 IIR数字滤波器的设计 滤波器模拟滤波器数字滤波器经典滤波器根据滤波特性来分：低通；高通；带通；带阻 (理想滤波器是不可
3、实现的,只能在一定程度上去逼近)从单位脉冲响应长度来分：IIR-DF；FIR-DF现代滤波器寻找在某种准则下的最优解维纳滤波器，卡尔曼滤波器，自适应滤波器从对信号处理的作用来分：选频；其他第六章 IIR数字滤波器的设计 2 数字滤波器的技术指标常用的数字滤波器一般属于选频滤波器。假设数字滤波器的频率响应函数H(ej)用下式表示： H(ej)=|H(ej)|ej()式中，|H(ej)|称为幅频特性函数; ()称为相频特性函数。幅频特性表示信号通过该滤波器后各频率成分振幅衰减情况，而相频特性反映各频率成分通过滤波器后在时间上的延时情况。因此，即使两个滤波器幅频特性相同，而相频特性不同，对相同的输入
4、，滤波器输出的信号波形也是不一样的。第六章 IIR数字滤波器的设计 1. p和s分别称为通带边界频率和阻带截止频率。2. 从p到s称为过渡带，过渡带上的频响一般是单调下降的3. 通带频率范围为0|p，在通带中要求(11)|H(ej)|1，阻带频率范围为s|，在阻带中要求|H(ej)|2。第六章 IIR数字滤波器的设计 显然，p 越小, 通带波纹越小，通带逼近误差就越小； s越大, 阻带波纹越小，阻带逼近误差就越小； p与s间距越小, 过渡带就越窄。所以低通滤波器的设计指标完全由通带边界频率p 、通带最大衰减p 阻带边界频率s和阻带最小衰减s确定。(6.1.3a)(6.1.4a)第六章 IIR数
5、字滤波器的设计 片段常数特性： 对于选频型滤波器，一般对通带和阻带内的幅频响应曲线形状没有具体要求，只要求其波纹幅度小于某个常数，通常将这种要求称为“片段常数特性”。所谓片段，是指“通带”和“阻带”，常数是指“通带波纹幅度1”和“阻带波纹幅度2”，而通带最大衰减p和阻带最小衰减s是与1和2完全等价的两个常数。片段常数特性概念在选频型滤波器设计中很重要，尤其有助于理解IIR数字滤波器的双线性变换设计思想。第六章 IIR数字滤波器的设计 图所示的单调下降幅频特性，p和s别可以表示为如果将|H(ej0)|归一化为1，(6.1.3b)和(6.1.4b)式则表示为： (6.1.3b)(6.1.4b)(6
6、.1.5)(6.1.6)第六章 IIR数字滤波器的设计 当幅度下降到 时，标记=c，此时 dB，称c为3 dB通带截止频率。p、c和s统称为边界频率，它们是滤波器设计中所涉及到的很重要的参数。对其他类型的滤波器，(6.1.3b)式和(6.1.4b)式中的H(ej0)应改成 ，0为滤波器通带中心频率。第六章 IIR数字滤波器的设计 FIR滤波器不能采用间接法，常用的设计方法有窗函数法、频率采样法和切比雪夫等波纹逼近法。3 数字滤波器设计方法概述IIR滤波器设计方法有间接法和直接法间接法是借助于模拟滤波器的设计方法进行的其设计步骤是： 先设计过渡模拟滤波器得到系统函数Ha (s)，然后将Ha(s)
7、按某种方法转换成数字滤波器的系统函数H(z)。第六章 IIR数字滤波器的设计 模拟高通、带通和带阻滤波器的设计过程是： 先将希望设计的各种滤波器的技术指标转换为低通滤波器技术指标，然后设计相应的低通滤波器，最后采用频率转换法将低通滤波器转换成所希望的各种滤波器。第六章 IIR数字滤波器的设计 IIR滤波器设计方法直接法间接法零极点累试法频域幅度平方误差最小法时域直接设计法脉冲响应不变法双线性变换法第六章 IIR数字滤波器的设计 6.2 模拟滤波器的设计巴特沃斯(Butterworth)滤波器:具有单调下降的幅频特性；切比雪夫(Chebyshev)滤波器:幅频特性在通带或者阻带有等波纹特性，可以
8、提高选择性；椭圆(Ellipse)滤波器:选择性是最好的，但通带和阻带内均呈现等波纹幅频特性，相位特性的非线性也稍严重。贝塞尔(Bessel)滤波器:通带内有较好的线性相位特性；第六章 IIR数字滤波器的设计 图6.2.1 各种理想模拟滤波器幅频特性 第六章 IIR数字滤波器的设计 6.2.1 模拟低通滤波器的设计指标及逼近方法本书中，分别用ha(t)、a(s)、Ha(j)表示模拟滤波器的单位冲激响应、系统函数、频率响应函数，三者的关系如下： 可以用ha(t)、Ha(t)、Ha(j)中任一个描述模拟滤波器，也可以用线性常系数微分方程描述模拟滤波器。但是设计模拟滤波器时，设计指标一般由幅频响应函
9、数|Ha(j)|给出，而模拟滤波器设计就是根据设计指标，求系统函数Ha(s)。第六章 IIR数字滤波器的设计 损耗函数的优点是对幅频响应|Ha(j)|的取值非线性压缩，放大了小的幅度，从而可以同时观察通带和阻带频响特性的变化情况。直接画出的损耗函数曲线图正好与幅频特性曲线形状相反，所以，习惯将A()曲线称为损耗函数第六章 IIR数字滤波器的设计 第六章 IIR数字滤波器的设计 滤波器的技术指标给定后，需要设计一个系统函数Ha(s)，希望其幅度平方函数满足给定的指标。一般滤波器的单位冲激响应为实函数，因此 如果能由 p、p、 s和s求出|Ha(j)|2，那么就可以求出Ha(s)Ha(s)，由此可
10、求出所需要的Ha(s)。Ha(s)必须是因果稳定的，因此极点必须落在s平面的左半平面，相应的Ha(s)的极点必然落在右半平面。这就是由Ha(s)Ha(s)求所需要的Ha(s)的具体原则，即模拟低通滤波器的逼近方法。因此幅度平方函数在模拟滤波器的设计中起着很重要的作用。对于上面介绍的五种典型滤波器，其幅度平方函数都有确知表达式，可以直接引用。 (6.2.6)第六章 IIR数字滤波器的设计 6.2.2 巴特沃斯低通滤波器的设计1 巴特沃斯低通模拟滤波器设计原理巴特沃斯低通滤波器的幅度平方函数|Ha(j)|2用下式表示： (6.2.7)式中，N称为滤波器的阶数。当=0时，|Ha(j)|=1； =c时
11、， ，c是3 dB截止频率。在=c附近，随加大，幅度迅速下降。 第六章 IIR数字滤波器的设计 幅度特性与和N的关系如图所示。幅度下降的速度与阶数N有关，N愈大，通带愈平坦，过渡带愈窄，过渡带与阻带幅度下降的速度愈快, 总的频响特性与理想低通滤波器的误差愈小。以s替换j，将幅度平方函数|Ha(j)|2写成s的函数： (6.2.8)第六章 IIR数字滤波器的设计 (6.2.9)式中，k=0，1，2，2N-1。第六章 IIR数字滤波器的设计 1. S平面上有2N个极点等角距分布在半径为c的圆上，2. 极点对称于实轴和虚轴，虚轴上无极点，N为奇数时实轴上有极点, N为偶数时实轴上没有 极点3. 各极
12、点之间的角距为第六章 IIR数字滤波器的设计 第六章 IIR数字滤波器的设计 (6.2.11) 令p=+j=s/c，=/c，称为归一化频率， p称为归一化复变量，这样巴特沃斯滤波器的归一化低通原型系统函数为 (6.2.12)第六章 IIR数字滤波器的设计 式中，pk=sk/c, 为归一化极点，用下式表示： (6.2.13)显然, 这样，只要根据技术指标求出阶数N，按照(6.2.13)式求出N个极点，再按照(6.2.12)式得到归一化低通原型系统函数Ga(p)，如果给定c，再去归一化，即将p=s/c代入Ga(p)中(或由(6.2.14)式求出sk=cpk)，便得到期望设计的系统函数Ha(s)。(
13、6.2.14)第六章 IIR数字滤波器的设计 将极点表示式(6.2.13)代入(6.2.12)式，得到Ga(p)的分母是p的N阶多项式，用下式表示： （6.2.15）归一化原型系统函数Ga(p)的系数bk，k=0，1，N1，以及极点pk，可以由表6.2.1得到。另外，表中还给出了Ga(p)的因式分解形式中的各系数，这样只要求出阶数N，查表可得到Ga(p)及各极点, 而且可以选择级联型和直接型结构的系统函数表示形式，避免了因式分解运算工作。第六章 IIR数字滤波器的设计 表6.2.1 巴特沃斯归一化低通滤波器参数 第六章 IIR数字滤波器的设计 第六章 IIR数字滤波器的设计 1) 计算阶数N和
14、3 dB截止频率c的公式并考虑巴特沃斯滤波器的单调下降特性(边界频率点若满足指标，则其他频率点必然满足要求。)以及H(j0)=1，可以得到 由于巴特沃斯滤波器的幅度平方函数为 第六章 IIR数字滤波器的设计 因此 上式两边取指数得到：第六章 IIR数字滤波器的设计 两式相除消去c, 得到只有一个未知量N的方程：令 则 第六章 IIR数字滤波器的设计 用上式求出的N可能有小数部分，应取大于或等于N的最小整数。关于3 dB截止频率c，如果技术指标中没有给出，可以按照(6.2.16)式或(6.2.17)式求出。由(6.2.16)式得到： (6.2.19) 由(6.2.17)式得到：(6.2.20)第
15、六章 IIR数字滤波器的设计 请注意，如果采用(6.2.19)式确定c，则通带指标刚好满足要求，阻带指标有富余； 如果采用(6.2.20)式确定c，则阻带指标刚好满足要求，通带指标有富余。总结以上，低通巴特沃斯滤波器的设计步骤如下： (1) 根据技术指标p、 p、s和s，用(6.2.18)式求出滤波器的阶数N。(2) 按照(6.2.13)式，求出归一化极点pk，将pk代入(6.2.12)式，得到归一化低通原型系统函数Ga(p)。也可以根据阶数N直接查表得到pk和Ga(p)。 第六章 IIR数字滤波器的设计 (3) 将Ga(p)去归一化。将p=s/c代入Ga(p)，得到实际的滤波器系统函数这里c
16、为3 dB截止频率，如果技术指标没有给出c，可以按照(6.2.19)式或(6.2.20)式求出。【例6.2.1】 已知通带截止频率fp=5 kHz，通带最大衰减 p=2 dB，阻带截止频率fs=12 kHz，阻带最小衰减 s=30 dB，按照以上技术指标设计巴特沃斯低通滤波器。第六章 IIR数字滤波器的设计 解 (1) 确定阶数N。取N=5第六章 IIR数字滤波器的设计 (2) 按照(6.2.13)式，其极点为按照(6.2.12)式，归一化低通原型系统函数为上式分母可以展开成五阶多项式，或者将共轭极点放在一起，形成因式分解式。这里不如直接查表6.2.1简单，由N=5直接查表得到： 第六章 IIR数字滤波器的设计 极点：0.3090j0.9511， 0.8090j0.5878, 1.0000归一化低通原型系统函数为式中, b0=1.0000，b1=3.2361，b2=5.2361，b3=5.2361，b4=3.2361分母因式分解形式为以上公式中的数据均取小数点后四位。第六章 IIR数字滤波器的设计 (3) 为将Ga(p)去归一化，先求3 dB截止频率c。按照(6.2.19)式，得到：
