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1、2022届广东省揭阳市高三上学期期末数学试题一、单选题1设集合，则（）ABCD答案：D先将集合分别化简，再求其交集.解：因为，从而.故选：D.2复数满足为虚数单位，则的模为（）ABC1D答案：C先做除法运算求出复数，再根据复数模的计算公式求其模.解：由得，从而3袋中有大小和形状都相同的3个白球和2个黑球，现从袋中不放回地依次抽取两个球，则在第一次取到白球的条件下，第二次也取到白球的概率是（）ABCD答案：C记第次取得白球为事件，直接根据条件概率计算公式即可得结果.解：记第次取得白球为事件，故选：C.4每年的毕业季都是高校毕业生求职和公司招聘最忙碌的时候，甲乙两家公司今年分别提供了2个和3个不同
2、的职位，一共收到了100份简历，具体数据如下：公司文史男文史女理工男理工女甲10102010乙1520105分析毕业生的选择意愿与性别的关联关系时，已知对应的的观测值；分析毕业生的选择意愿与专业关联的的观测值，则下列说法正确的是（）A有的把握认为毕业生的选择意愿与专业相关联B毕业生在选择甲乙公司时，选择意愿与专业的关联比与性别的关联性更大一些C理科专业的学生更倾向于选择乙公司D女性毕业生更倾向于选择甲公司答案：B根据题中的数据表及独立性检验的知识即可判断.解：解：与专业关联的的观测值，明显大于，明显小于，所以有的把握认为毕业生的选择意愿与专业相关联，所以不正确；因为，故正确；根据题中的数据表列
3、出专业与甲乙公司的关联表可知，理科专业的学生更倾向于选择甲公司，列出性别与甲乙公司的关联表可知，女性毕业生更倾向于选择乙公司，所以C，D均不正确.故选：B.5已知函数，则该函数的增区间为（）ABCD答案：C利用整体代换法和复合函数的单调性求函数的增区间.解：令，解得，所以函数的增区间是.故选：C.6已知圆柱的轴截面为正方形，其外接球为球，则圆柱的表面积与球的表面积之比为（）ABCD不能确定答案：A利用圆柱的轴截面信息求出圆柱的底面半径与高的关系，再结合圆柱与外接球的关系求得对应的比例关系.解：因为圆柱的轴截面为正方形，设圆柱底面圆的半径为，其高，其外接球的半径，则圆柱的表面积，球的表面积，则圆
4、柱的表面积与球的表面积之比为，故选：.7已知过抛物线的焦点的直线交于两点（点在点的右边），为原点.若的重心的横坐标为10，则的值为（）A144B72C60D48答案：D根据抛物线方程求出抛物线的焦点为，再利用三角形的重心公式可得点的横坐标所满足的关系，结合焦点弦长与点的坐标关系，即可求得的值.解：因为抛物线，所以抛物线的焦点为，设点的坐标分别为，因为若的重心的横坐标为10，所以，可得.又直线过抛物线的焦点，根据抛物线的几何性质，得.故选：D.8已知函数，过点可作两条直线与函数相切，则下列结论正确的是（）ABC的最大值为2D答案：B根据题意，利用导数的几何意义、韦达定理，结合特殊值法即可求解.解
5、：设切点为，又，则切线的斜率又 ，即有，整理得，由于过点可作两条直线与函数相切所以关于的方程有两个不同的正根，设为，则，得 ，故B正确，A错误，对于C，取，则，所以的最大值不可能为2，故C错误，对于D，取，则，故D错误.故选：B.二、多选题9已知二项式的展开式中各项的系数和为64，则下列说法正确的是（）A展开式中的常数项为1BC展开式中二项式系数最大的项是第四项D展开式中的指数均为偶数答案：BCD利用赋值法计算的值，再利用展开的通项公式对选项进行分析获得答案.解：令代入二项式可得各项的系数和为，即可得正确；对于，设展开式的通项为，当为常数项时，则有，则可得.代入二项式，可得展开式的常数项为，故
6、错误；对于，因为，可得展开式中二项式系数最大的项仅有一项为第四项，故正确；对于，该展开式的通项为，可得展开式中的指数均为偶数.故D成立.故选：BCD.10已知函数，实数满足不等式，则（）ABCD答案：AC先判断函数的奇偶性及单调性结合不等式可得所满足的关系式，再利用指数函数、对数函数和幂函数的单调性以及特殊值法逐项判断.解：因为，所以为奇函数，因为，所以上单调递增，由，得，所以，即，因为在R上是增函数，所以，故A正确；因为在上是增函数，所以，故C正确；因为在R上是增函数，所以，故D错误；令，可验证B错误.故选：AC11已知向量，且，则下列说法正确的是（）ABCD的最大值为2答案：BC先根据向量
7、加法，可直接求出.对选项，直接求出向量和的模，然后验证即可；对选项，直接求出余弦值；对选项，直接求出正弦值；对选项，直接求出向量的模.解：根据向量的加法可得：根据诱导公式及同角三角函数的关系，且，解得：对选项，则有：，故选项错误；对选项，则有：，故选项正确；对选项，则有：，故选项正确；对选项， ，则有：故有：，故选项错误.故选：12如图所示，已知正方体的棱长为分别是的中点，是线段上的动点，则下列说法正确的是（）A平面截正方体所得的截面可以是四边形五边形或六边形B当点与两点不重合时，平面截正方体所得的截面是五边形C是锐角三角形D面积的最大值是答案：BD在不同的平面内构造平行线，将平面进行扩展，发
8、现其与正方体各个面上的交线，从而获得截面的形状，当点与点重合时，点到直线的距离取到最大值，的面积取到最大值，求得此时三角形的面积即可得出答案.解：解：如图，当点与两点不重合时，将线段向两端延长，分别交的延长线于点，连接分别交于两点，连接，此时截面为五边形MPSNR，故B正确；当点与点A或点重合时，截面为四边形，不可能为六边形，故A不正确；考虑，当点与点重合时，此时因为，故为钝角，所以C错误；当点与点重合时，点到直线的距离取到最大值，的面积取到最大值，此时，则边上的高为，面积为，即最大值为，故D正确.故选：BD.三、填空题13已知函数，该函数在处的切线方程为_.答案：利用导数的几何意义求得切线的
9、斜率，从而获得切线方程.解：对函数求导可得，把代入可得，则切线方程的斜率.又因为，所以切点为，从而可得切线方程为.故答案为：.14在等差数列中，分别是方程的两个根，则_.答案：8利用等差数列的性质以及韦达定理得，利用等差数列的性质可得答案.解：根据韦达定理可得，由等差数列的性质可得，从而可得.故答案为：815如图所示，已知是双曲线右支上任意一点，双曲线在点处的切线分别与两条渐近线交于两点，则_.答案：1根据切线方程及渐近线方程计算出关于点的表达式，再利用向量的数量积的坐标运算求解.解：如下图所示，设双曲线渐近线上的点，点，当时，过点的切线方程为，当时，设过点的切线方程为，即，代入双曲线方程化简
10、为，则且，因为，所以，所以，在点处的切线方程为，当也符合；且点A，B又在切线l上， 故答案为：1四、双空题16如图所示，在等腰直角中，为的中点，分别为线段上的动点，且.（1）当时，则的值为_.（2）的最大值为_.答案： 第一个空：过点作于点，在Rt中，可求出，从而在中，根据余弦定理即可求出答案；第二空需要选择恰当的角度表示出的值，再利用三角恒等变换以及三角函数的性质求解出最值.解：当时，过点作于点，在Rt中，在中，由余弦定理，得.（2）设，则，过点分别作的垂线于两点，则，在与中，所以，所以当时，.故答案为：；.五、解答题17在各项均为正数的等比数列中，.(1)求数列的通项公式；(2)，求数列的
11、前项和.答案：(1)(2)（1）由条件可得，从而可解得，得到答案.（2）由（1）可得，则利用裂项相消法可得答案.(1)设数列的公比为，依题意可得解得或，又因为数列的各项均为正数，所以.从而可求得，所以，.(2)，【点睛】18在中，角所对的边分别为，且.(1)求角；(2)若，且的面积为，且，求和的值.答案：(1)(2)（1）将已知条件利用正弦定理边化角，然后根据诱导公式、两角和的正弦公式化简即可得答案；（2）由余弦定理及三角形的面积公式列出方程组求解即可得答案.(1)解：在中，因为，所以由正弦定理可得，又，所以，即，(2)解：由余弦定理及三角形面积公式得，即，因为，所以解得.19如图，在四棱锥中
12、，底面为梯形，平面平面为棱上的点，且.(1)求证：平面；(2)若，二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.答案：(1)证明见解析(2)（1）设点为的一个三等分点，且，可证得四边形是平行四边形，由线面平行的判定定理即可证得结果.（2）方法一：过点作的垂线，垂足为，连接,可证得平面，则为直线与平面所成角，计算即可得出结果.方法二：以的中点为原点，为轴，过点在平面内作的垂线为轴，为轴建立空间直角坐标系，可知平面的一个法向量为通过数量积计算即可求得结果.(1)设点为的一个三等分点，且，连接，如图所示.，且又，且，从而可得，且.综上可知四边形是平行四边形.平面平面，平面(2)因为平面平面，平面平面，且平面
13、，从而可得平面.又由平面，所以，从而可得为二面角的平面角.由题意可得，由，即有为等边三角形.方法一：几何法如图，过点作的垂线，垂足为，连接.平面平面，平面平面，且平面，从而可得平面.故为直线与平面所成角.根据第（1）问的可知，所以，故.因为为等边三角形，所以的高为，根据三角形的相似关系可得，所以在Rt中，可得所以直线与平面所成角的正弦值为方法二：向量法如图，以的中点为原点，为轴，过点在平面内作的垂线为轴，为轴建立空间直角坐标系.则有.则有.平面的一个法向量为可得.直线与平面所成角的正弦值为.20在高考结束后，省考试院会根据所有考生的成绩划分出特控线和本科线.考生们可以将自己的成绩与划线的对比作为高考志愿填报的决策依据.每一个学科的评价都有一个标准进行判断.以数学学科为例，在一次考试中，将考生的成绩由高到低排列，分为一二三档，前定为一档，前到前定为二档，后定为三档.在一次全市的模拟考试中，考生数学成绩的频率分布直方图如图所示，根据直方图的信息可知第三档的分数段为.(1)求成绩位于时所对应的频率，并估计第二档和第一档的分数段；(2)在历年的统计中发现，数学成绩为一档的考生其总分过特控线的概率为，数学成绩为二档的考生其总分过特控线的概率为，数学成绩为三档的考生其总分过特控线
