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1、2.2等差数列的前n项和（第二课时）等差数列的前n项和的函数特性及最大致与最小值等差数列的前n项和公式:形式1:形式2:复习回顾一、常用数列的求和方法：(3)裂项法：设an是等差数列，公差d0新课讲授 (4)倒序相加法：用于与首末两端等距离的和相等。.将等差数列前n项和公式 看作是一个关于n的函数，这个函数有什么特点？ Sn是关于n的二次式，常数项为零。（d可以为零）则 Sn=An2+Bn令新课讲授 结论1：若数列an的前n项和为Sn=pn2+qn，(p,q为常数)是关于n的二次式，则数列an是等差数列。an是等差数列Sn=pn2+qn(p,q为常数,d=2p)当d0时,Sn是常数项为零的二次
2、函数若C0，则数列an不是等差数列。若C=0，则an为等差数列；结论2：设数列an的前n项和为 Sn=An2+Bn+C，(A,B,C是常数）当d=0时,Sn=na1不是二次函数 例1 若一个等差数列前3项和为34，最后三项和为146，且所有项的和为390，则这个数列共有_项。13 例2 已知数列an中Sn=2n2+3n，求证：an是等差数列.例1、若等差数列an前4项和是2，前9项和是6，求其前n 项和的公式。，解之得：解：设首项为a1，公差为d，则有： 设 Sn= an2 + bn，依题意得：S4=2, S9= 6,即解之得：另解：等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列an中,a1=1
3、3且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法1由S3=S11得 d=2当n=7时,Sn取最大值49.等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法2由S3=S11得d=20当n=7时,Sn取最大值49.则Sn的图象如图所示又S3=S11所以图象的对称轴为7n113Sn等差数列的前n项的最值问题例1.已知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法3由S3=S11得d=2当n=7时,Sn取最大值49. an=13+(n-1) (-2)=2n+15由得a7+a8=0等差数列的前n项的最值问题例1.已
4、知等差数列an中,a1=13且S3=S11,求n取何值时,Sn取最大值.解法4由S3=S11得当n=7时,Sn取最大值49.a4+a5+a6+a11=0而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8又d=20a70,a80解:由S3=S11得d，S3 = S11，问：这个数列的前几项的和最大？例2：已知数列an是等差数列，且a1= 21，公差d=2，求这个数列的前n项和Sn的最大值。S11最大为121的前n项项和为为 ,当n为为何值时值时 ， 最大，s22最大数列 的通项公式 an=-8n+48已知 求：例3设设等差数列求等差数列前n项的最大(小)的方法方法1:由 利用二次函数的对称轴
5、求得最值及取得最值时的n的值. 方法2:利用an的符号当a10,d0时,数列前面有若干项为正,此时所有正项的和为Sn的最大值,其n的值由an0且an+10求得.当a10时,数列前面有若干项为负,此时所有负项的和为Sn的最小值,其n的值由an 0且an+1 0求得.练习:已知数列an的通项为an=26-2n,要使此数列的前n项和最大,则n的值为( )A.12 B.13 C.12或13 D.14C当d0时,Sn是常数项为零的二次函数则 Sn=An2+Bn令小结 Sn是关于n的二次式，常数项为零。（d可以为零） 结论1：若数列an的前n项和为Sn=pn2+qn，(p,q为常数)是关于n的二次式，则数列an是等差数列。an是等差数列Sn=pn2+qn(p,q为常数,d=2p)若C0，则数列an不是等差数列。若C=0，则an为等差数列；结论2：设数列an的前n项和为 Sn=An2+Bn+C，(A,B,C是常数）小结结论:3：等差数列前n项和不一定是关于n的二次函数：（1）当d0是，sn是项数n的二次函数，且不含常数项；（2）当d=0是，sn=na1,不是项数n 的二次函数。 反之，关于n的二次函数也不一定是某等差数列的和。若C0，则数列an不是等差数列。若C=0，则an为等差数列；Sn=An2+Bn+C，
