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1、 第五章 方差分析Analysis of Variance （ANOVA） 第一节 方差分析的基本原理 o一、什么是方差分析？oANOVA 由英国统计学家首创，为纪念Fisher以F命名，故方差分析又称 F 检验 （F test）。用于推断多个总体均数有无差异。什么是方差分析(一个例子)o 某水产研究所为了比较四种不同配合饲料对鱼的饲喂效果，选取了条件基本相同的鱼20尾，随机分成四组，投喂不同饲料，经一个月试验以后，各组鱼的增重结果列于下表。 种饲料对鱼的增重效果是否相同饲料鱼的增重合计平均A131.9 27.9 31.8 28.4 35.9155.931.18A224.8 25.7 26.8
2、 27.9 26.2131.426.28A322.1 23.6 27.3 24.9 25.8123.724.74A427.0 30.8 29.0 24.5 28.5139.827.96合计T=550.8什么是方差分析(例子分析)o 一个因素(factor)：饲料o 四个水平(level)：A1、A2、A3、A4o 每一个水平重复试验五次o 设1为饲料A1的平均增重，2为饲料A2的平均增重，3为饲料A3的平均增重，设4为饲料A4的平均增重，检验四种饲料对鱼的增重效果是否相同，也就是检验下面的假设H0: 1 2 3 4 HA: 1 , 2 , 3 , 4不全相等o 检验上述假设所采用的方法就是方差
3、分析二、方差分析的基本思想o 将所有测量值间的总变异按照其变异的来源分解为多个部份，然后进行比较，评价由某种因素所引起的变异是否具有统计学意义。1. 1. 自由度和平方和的分解自由度和平方和的分解2. 2. F F分布与分布与F F测验测验三、离均差平方和的分解 组间变异总变异组内变异o扣除了各种试验原因所引起的变异后的剩余变异提供了试验误差的无偏估计，作为假设测验的依据。1.离均差平方和的分解(例子分析)o 共有三种不同的变异 总变异（Total variation）：全部测量值 与总均数 间的差异； 组间变异（ between group variation ）：各组的均数 与总均数 间的
4、差异；组内变异（within group variation )：每组的每个测量值 与该组均数 的差异。o 用离均差平方和(sum of squares of deviations from mean，SS)反映变异的大小2.总变异:所有测量值之间总的变异程度o 计算公式o 矫正系数3.组间变异：各组均数与总均数的离均差平方和o 计算公式SSt反映了各组均数 的变变异程度组间变异随机误差+处理因素效应 4.组内变异o 在同一处理组内，虽然每个受试对象接受的处理相同，但测量值仍各不相同，这种变异称为组内变异，也称SSe。o 用各组内各测量值 与其所在组的均数差值的平方和来表示，反映随机误差的影响
5、。o 计算公式5.三种“变异”之间的关系o 平方和分解o 自由度分解o 导致组内数据不一致的原因随机误差o 导致组间数据不一致的原因处理因素随机误差平方和、自由度计算实例o 矫正系数o 总平方和平方和、自由度计算实例(续1)o 处理间平方和o 处理内平方和平方和、自由度计算实例(续2)o 总变异自由度o 处理间变异自由度o 处理内变异自由度o 平方和与自由度的分解归纳为下表变异来源DFSSMS处理间(组间)k-1MSt误差(组内)k(n-1)MSe总变异kn-1将上述例子推广到一般，设有k组数据，每组皆具n个观察值，则资料共有nk个观察值，其数据分组如表6.1(P99)。6.均方差,均方(me
6、an square,MS) o 变异程度除与离均差平方和的大小有关外，还与其自由度有关，由于各部分自由度不相等，因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将各部分离均差平方和除以相应自由度，其比值称为均方差，简称均方(mean square，MS)。o 组间均方和组内均方的计算公式为: 7. F分布与F检测o 组间均方与组内均方的比值称为F统计量 o F值接近于 1，说明各组样本的总体均数相等（ ），即各处理组的样本来自相同总体，无处理因素的作用，则组间变异同组内变异一样，只反映随机误差作用的大小；反之，F 值越大，拒绝H0 的理由越充分。o 数理统计的理论证明，当 H0 不成立时，F 统计量服从
7、 F 分布。F 分布曲线F 测验o在方差分析的体系中，F 测验可用于检测某项变异因素的效应或方差是否存在。所以在计算F 值时，总是将要测验的那一项变异因素的均方作分子，而以另一项变异(如误差项)作分母。单侧临界值o 在第1自由度为 、第2自由度为 的F分布曲线图下， 右方的面积为 a ,则称 为第1自由度为 、第2自由度为 的F分布概率为 a 的单侧临界值。可查表。a a0 0F FF 界值表附表4 F界值值表（方差分析用，单侧单侧 界值值）上行：P=0.05 下行：P=0.01分母自由度2分子的自由度，112345611612002162252302344052499954035625576
8、45859218.5119.0019.1619.2519.3019.3398.4999.0099.1799.2599.3099.33254.243.392.992.762.602.497.775.574.684.183.853.63均方差、F值计算实例o 将分析结果归纳在一起，列出方差分析表如下： 变异来源DFSSMSF显著F值处理间3114.2738.097.13F0.05=3.24处理内(误差)1685.405.34F0.01=5.29总变异19199.67四种饲料对鱼的增重效果方差分析表 实得实得F F F F0.010.01 P P0.010.01（不可靠的程度小于（不可靠的程度小于1
9、%1%）平均值之间的多重比较不拒绝H0，表示拒绝总体均数相等的证据不足 分析终止。拒绝H0，接受H1, 表示总体均数不全相等哪两两均数之间相等？哪两两均数之间不等？ 需要进一步作多重比较。多重比较方法o 统计上把多个平均数两两间的相互比较称为多重比较(multiple comparisons)o 多重比较的方法甚多，常用的有：1. 1. 最小显著差数法最小显著差数法（1 1）q q 法法（2 2）新复极差法）新复极差法2. 2. 最小显著极差法最小显著极差法1. 最小显著差数法o最小显著差数法(least significant differrence，简称LSD 法)o标准误o各样本间平均数
10、的抽样误差的大小，即精确度的高低。与原总体的标准差成正比，与样本容量n的平方根成反比。LSD计算实例处理 平均数 -24.74 -26.28 -27.96A131.186.44*4.90* 3.22*A427.963.22*1.68A226.281.54A324.744种饲料对鱼增重的差异显著性(列梯形表法)由附表3，=16时，t0.05=2.120,t 0.01=2.921处理鱼增重平均数差异显著性0.050.01A131.18A427.96A226.28A324.744种饲料对鱼增重平均数比较(LSD法)abbccAABBB（标记字母法）2.最小显著极差法o 定义：把平均数的差数看成平均数
11、的极差，根据极差范围内在显著水平上依秩次距k 的不同而采用的不同的检验尺度叫最小显著极差，记LSR,k。o 秩次距：极差范围内所包含的处理数。o 一般，有k 个平均数相互比较，就有k-1 种秩次距，即k，k-1，k-2 ,2,因而需求得k-1个最小显著极差LSR,k ，分别作为判断具有相应秩次距的平均数的极差是否显著的标准。（1） q 法oq 测验方法是将k个平均数由大到小排列后，根据所比较的两个处理平均数的差数是几个平均数间的极差分别确定最小显著极差LSR值的。例 试以q法测验4种饲料对鱼增重平均数之间的差异显著性。查附表5，得到当DF=16时，p=2,3,4的q值 =1.033oLSR值P
12、q 0.05q 0.01LSR0.05LSR0.0123.004.133.104.2733.654.793.774.9544.055.194.185.36处理鱼增重平均数差异显著性0.050.01A131.18aAA427.96 b ABA226.28 b ABA324.74 b B不同药剂处理水稻苗高平均数比较(q法)（2）新复极差法o新复极差法，又称最短显著极差法(shortest significant range，SSR法)，与q 法相似。计算LSR值查的是SSR值(附表6)而不是q 表。oLSR值（附表6）PSSR 0.05SSR 0.01LSR0.05LSR0.0123.004.1
13、33.104.2733.154.343.254.4843.234.453.344.60处理鱼增重平均数差异显著性0.050.01A131.18aAA427.96 b ABA226.28 b BA324.74 b B不同药剂处理水稻苗高平均数比较(q法)4. 多重比较方法的选择o1.试验事先确定比较的标准，凡是与对照相比较，或与预定要比较的对象比较，一般可选用最小显著差数法；o2.根据否定一个正确的H0和接受一个不正确的H0 的相对重要性来决定。o 可靠性来讲 LSD LSR qo 当秩次距k=2时，取等号；秩次距k3时，取小于号。方差分析的基本步骤：（1）分解平方和与自由度；（2）F测验；（3
14、）平均数的多重比较。第二节 单因素方差分析o 例：以A、B、C、D4中药剂处理水稻种子，其中A为对照，每处理各得4个苗高观察值(cm)，其结果如下表。问4种药剂对水稻苗高的影响是否相同？药剂 苗高观察值 总和 平均 A 18 21 20 13 72 18 B 20 24 26 22 92 23 C 10 15 17 14 56 14 D 28 27 29 32 116 29解:o H0: ，即4种药剂处理总体体均数相等 o HA：4种药剂处理总体均数不全相等1.建立检验假设2.平方和分解3.自由度分解4.均方和F值5.差异分析变异来源 DF SS MS F值 显著F值药剂处理间 3 504 1
15、68.00 20.56* 药剂处理内 12 98 8.17总变异 15 602水稻药剂处理苗高方差分析o 结论：在显著性水平0.01下，不同药剂对水稻苗高是具有不同效应的。5.多重比较(采用LSD法)处理 平均数 -14 -18 -23D2915*11*6*B239*5*C184A144种药剂对水稻苗高的差异显著性查附表3：t0.05=2.179t0.01=3.055 （v=12）第三节 双因素方差分析o 一、组合内无重复观察值的两因素方差分析o 例:有一个小麦品比试验，共有 A、B、C、D、E、F、G、H 8个品种（k=8），其中A是标准品种，采用随机地块设计，3个地块（n=3），每个地块计
16、产面积25cm2，其产量结果列于下表，试作分析。一个例子(续1) 地块 品种 A 10.9 9.1 12.2 32.2 10.7 B 10.8 12.3 14.0 37.7 12.4 C 11.1 12.5 10.5 34.1 11.4 D 9.1 10.7 10.1 29.9 10.0 E 11.8 13.9 16.8 42.5 14.2 F 10.1 10.6 11.8 32.5 10.8 G 10.0 11.5 14.1 35.6 11.9 H 9.3 10.4 14.4 34.1 11.4 83.1 91.0 103.9 10.4 11.4 13.0小麦品比试验(随机地块)的产量结果(kg)1.平方和和自由度的剖分o 平方和剖分o 自由度剖分2.平方和计算3.自由度计算4.均方和F值计算=13.78/1.64=8.40=4.87/1.64=2.97=27.56/2=13.78=34.08/7=4.87=22.97/14=1.64实际计算(续3)变异来源 DF SS MS F值 显著F值地块间 2 27.56 13.78 8.40* 品种间 7 34.08 4.87 2.97*误
