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1、资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值 哈尔滨工业大学数学系哈尔滨工业大学数学系第 八 章二次型 与 二次曲面 资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值8.4 8.4 空间中的曲面和曲线空间中的曲面和曲线F(F(x x, ,y y, ,z z)=)=0 0两个基本问题两个基本问题: :(1).(1).给出图形给出图形, ,建立方程建立方程 ; ;(2).(2).已知坐标满足的方程已知坐标满足的方程, ,研究其表示的曲面图形研究
2、其表示的曲面图形. .1.1.球面球面已知球心已知球心MM0 0 ( (x x0 0, ,y y0 0, ,z z0 0) ), ,半径半径r r , , 求球面求球面S S方程方程. .M(M(x x, ,y y, ,z z) S) S|M|M0 0 M| = M| = r r , , 即即( (x-xx-x0 0) )2 2+(+(y-yy-y0 0) )2 2+(+(z-zz-z0 0) )2 2=r r2 2 展开展开: : x x2 2+ +y y2 2+ +z z2 2 - -2 2x x0 0 x-x-2 2y y0 0y-y-2 2z z0 0z z + + x x0 02 2
3、+ +y y0 02 2+ +z z0 02 2 - -r r2 2 =0 0 图形图形方程方程球面方程球面方程特点特点: : (i)(i) 三元二次方程三元二次方程; ;(ii)(ii) 二次项二次项x x2 2、y y2 2、z z2 2系数相同系数相同; ;(iii)(iii)无混合二次项无混合二次项xyxy、yzyz、zxzx. .反过来反过来, ,具备这三个条件的方程具备这三个条件的方程, ,其图形是球面其图形是球面: :A(A( x x2 2+ +y y2 2+ +z z2 2) ) +B+B x x +C+Cy y +D+Dz z +F+F =0 0 ( (配方法配方法) )(
4、(x-xx-x0 0) )2 2+(+(y-yy-y0 0) )2 2+(+(z-zz-z0 0) )2 2=k k k k0 0 球面方程球面方程k k=0 =0 点点球面球面k k0 0 虚虚球面球面2.2.旋转曲面旋转曲面: :平面曲线平面曲线C C( (母线母线) )绕同平面定直线绕同平面定直线L L ( (准线准线) )旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面. .曲线曲线 C CCy zo绕 z 轴旋转一周得旋转曲面 SxCy zo.曲线 C绕 z 轴旋转一周得旋转曲面 S2.2.旋转曲面旋转曲面: :平面曲线平面曲线C C( (母线母线) )绕同平面定直线绕同
5、平面定直线L L ( (准线准线) )旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面. .曲线 C绕 z 轴旋转一周得旋转曲面 SCSM (x,y,z)NPy zof (y1, z1)=0.xM(x,y,z) S2.2.旋转曲面旋转曲面: :平面曲线平面曲线C C( (母线母线) )绕同平面定直线绕同平面定直线L L ( (准线准线) )旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面旋转一周所成的曲面叫做旋转曲面. .旋转曲面特点:母线 CC中轴坐标(z) 不变,另一坐标(y)变为除轴坐标外两坐标的正负算术平方根.旋转曲面名称:与母线名称对应.绕x轴绕y轴(1)-旋转椭球面反过来,方程中若有两个
6、变量以平方和形式平方和形式出现,这个方程的图形一般是旋转曲面.(2-1)双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面x0y绕 x 轴一周x0zy. .绕 x 轴一周(2-1)双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面x0zy.绕 x 轴一周(2-1)双叶旋转双曲面双叶旋转双曲面(2-2)旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面a双曲线绕 y 轴一周xyo(2-2)旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面az. .绕 y 轴一周xyo双曲线(2-2)旋转单叶双曲面旋转单叶双曲面a.z.双曲线绕 y 轴一周xyo(3)旋转抛物面旋转抛物面yo抛物线绕 z 轴一周zyox. .抛物线绕 z 轴一周z(3)旋转抛物面旋转抛物面y.oxz生活中见过这个曲面
7、吗？.抛物线绕 z 轴一周得旋转抛物面(3)旋转抛物面旋转抛物面绕y轴旋转一周又如何?卫星接收装置卫星接收装置.(4)圆锥面圆锥面直线绕 x 轴一周x yo.直线绕 x 轴一周x yoz(4)圆锥面圆锥面x yoz.直线绕 x 轴一周得旋转锥面.(4)圆锥面圆锥面3.柱面柱面: :沿一条定曲线C(准线)平行移动的直线L (母线)扫过的曲面叫做柱面.xzy0母线f ( x,y )=0z = 0准线M(x,y,z)N (x, y, 0)Sf f ( (x,yx,y) )= =0 0M(x,y,z) S(母线 z轴)柱面特点:柱面名称:与母线名称对应.含有两个变量的方程在空间表示柱面.S: f S:
8、 f ( (x,yx,y) )= =0 0f ( x,y )=0z = 0C:(1).椭圆柱面椭圆柱面zxyo当 a=b 时,为圆柱面圆柱面: :( z为母线)(2).双曲柱面双曲柱面zxy = 0yo(3).抛物柱面抛物柱面zxyo球面、旋转曲面、柱面球面、旋转曲面、柱面A(A( x x2 2+ +y y2 2+ +z z2 2) ) +B+B x x +C+Cy y +D+Dz z +F+F =0 0 x x2 2a a2 2y y2 2b b2 2z z2 2b b2 2+ + +=1 1x x2 2a a2 2y y2 2a a2 2z z2 2b b2 2+ +- -=1 1x x2
9、 2a a2 2y y2 2b b2 2z z2 2b b2 2- - -=1 1x x2 2 + + y y2 2 = = 2 2pzpzx x2 2 + + y y2 2 = = k k2 2 z z2 2x x2 2a a2 2y y2 2b b2 2+ +=1 1x x2 2a a2 2y y2 2b b2 2- -=1 1y y2 2 = = 2 2pxpx二二. .空间曲线空间曲线: : 一般式方程一般式方程: :F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0 参数式方程参数式方程: :x= x( t )y= y( t )z= z( t ) t T如:x2 + y2 =1x + y +
10、z =31. 1. 方程方程: :P 同时, 又在平行于 z轴的方向 等速地上升。 其轨迹就是 圆柱螺线。 圆柱面yz0 xa x = y =z =acos tbtM(x,y,z)asin ttM螺线从点P Q当 t 从 0 2，叫螺距N.Q（移动及转动都是 等速进行，所以 z与t成正比。)点P在圆柱面上等速地 绕z轴旋转； 螺旋线螺旋线2. 2. 空间曲线空间曲线C C在平面在平面 上的上的投影投影: :以空间曲线以空间曲线C C为准线为准线, ,母线垂直于母线垂直于 的的柱面柱面与与 的的交线交线. .F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0在在xOy面上的投影面上的投影: :(1). (
11、1). 求求F(x,y,z)=0G(x,y,z)=0( (消去消去z)f f ( (x,yx,y) )= =0 0 ( (柱面)f (x,y)=0z = 0(2). (2). x= x( t )y= y( t )z= z( t )在在xOy面上的投影为面上的投影为x= x( t )y= y( t )z= 0例1:x2 + y2 + z2 =1x2 + y2 -x =0求曲线求曲线C:C:在在xOy , zOx 坐标面上的投影面上的投影. .(z0) ,x2 + y2 + z2 =1x2 + y2 -x =0解:往往zOx 面上投影面上投影: :( (消去消去y)x2 + y2 -x =0 在在
12、xOy面上的投影为面上的投影为x2 + y2 + z2 =1x2 + y2 -x =0z2 + x =1z =0y =0 1.解yxzo得交线L：由图例z =0.1yxzo解L.得交线L：.投影柱面由图例例2: x = y =z =acos tbtasin t求螺旋线求螺旋线C:C:在在坐标面上的投影面上的投影. .往往xOy 面上投影面上投影: :解: x = y =z =acos t0asin t往往yOz 面上投影面上投影: : y =z =x =asin tbt0往往zOx 面上投影面上投影: : x =z =y =acos tbt0资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是
13、时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值8.5 8.5 二二 次次 曲曲 面面一一. .二次方程的二次方程的化简化简和和分类分类A Ax x2 2+B+By y2 2+C+Cz z2 2+2D+2Dxyxy+2E+2Eyzyz+2F+2Fzxzx+G+Gx x+H+Hy y+L+Lz z +M+M=0 0 1.1.化简化简: :(1).(1).用用正交变换正交变换去掉混合二次项去掉混合二次项, ,得得 1 1 x x1 12 2+ + 2 2 y y1 12 2+ + 3 3 z z1 12 2+G+G1 1x x1 1+H+H1 1y y1 1+L+L1 1z
14、 z1 1 +M+M1 1=0 0 (2).(2).用用平移变换平移变换( (配方法配方法) )尽量去掉一次项尽量去掉一次项. .例3:f f( (x x, ,y y, ,z z) )= =6 6x x2 2-2-2y y2 2+6+6z z2 2+4+4xzxz+8+8x x-4-4y y-8-8z z -2=-2=0 . 0 . 判断下面二次曲面为何种二次曲面判断下面二次曲面为何种二次曲面 解: 6 0 2 6 0 2 0 -2 0 0 -2 0 2 0 6 2 0 6 A A= = , , =8 =8 , , 4 4 , , -2 -2 , ,- -P P=(P=(P1 1, ,P P2
15、 2, ,P P3 3)=)= 2 2 2 2 2 2 2 2 0 0 2 2 2 2 2 2 2 2, , 0 0 0 0 0 0 1 1(1).(1).即即: :x x = = x x1 1 + + y y1 12 22 2z z = = x x1 1 - - y y1 12 22 2y y = = z z1 1取取x xy yz zx x1 1y y1 1z z1 1=P=P, ,f f( (x x, ,y y, ,z z) )= =6 6x x2 2-2-2y y2 2+6+6z z2 2+4+4xzxz+8+8x x-4-4y y-8-8z z -2=-2=0 . 0 . 取取: :
16、x x = = x x1 1 + + y y1 12 22 2z z = = x x1 1 - - y y1 12 22 2y y = = z z1 18 8 x x1 12 2+ +4 4 y y1 12 2-2-2 z z1 12 2+8+8 2 2y y1 1-4-4z z1 1 -2-2=0 0 (2). (2). ( (配方配方) )8 8 x x1 12 2+ +4 4 ( ( y y1 1 + + 2 2) ) 2 2-2-2( ( z z1 1+1+1) ) 2 2= = 8 8 取平移取平移变换变换x x2 2y y2 2z z2 2x x1 1y y1 1 + + 2 2z z1 1 +1+1= =, ,8 8 x x2 22 2+ +4 4 y y2 22 2-2-2 z z2 22 2= = 8 8即即 x x2 22 2+ - =1+ - =1y y2 22 22 2z z2 22 24 4单叶双曲面单叶双曲面. .资金是运动的价值，资金的价值是随时间变化而变化的，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这部分资金就是原有资金的时间价值2.2.简化后的三元二
