环电流磁场的数值积分法与解析解比较分析环电流的磁场是电磁场理论中的一个典型问题,手工计算十分复杂,一般教材只计算轴线上的磁感应强度.有的文献[1]讨论了圆电流平面上的磁场分布.有些文献讨论了圆电流磁场的分布规律[2,3,4].他们为环电流的磁场的研究做了大量艰苦的工作.不过,这些计算太复杂,也没有精准的图像.本文重新推导了直角坐标系中磁感应强度的积分公式,将公式无量纲化,利用MATLAB的矩阵进行数值积分,画出了精细的场强分布曲面和磁感应分布线,分析了磁感应强度的分布规律.本文提出了直角坐标系中磁感应强度的解析式,通过作图验证了数值解和解析式的正确性.1、环电流的磁场假设圆环的半径为a,通有电流I.如图1所示,同时建立三维直角坐标系Oxyz和球坐标系Orθφ,将环平面置于Oxy平面.由于磁场具有轴对称性,为了便于计算,就将场点P取在Oxz平面上,其直角坐标为(x,0,z),球坐标为(r,θ,0).图1电流元的磁感应强度在圆环取一电流元Idl,根据毕奥-萨伐尔定律,电流元在P点产生的磁感应强度为dB=μ04πIdl×RR3dB=μ04πΙdl×RR3(1)其中R是电流元到场点的矢径.从原点到电流元的矢径为a=a(icosφ+jsinφ),从原点到场点的矢径为r=xi+zk=r(isinθ+kcosθ),因此,电流元Idl到场点的矢径为R=r-a=i(rsinθ-acosφ)-jasinφ+krcosθ,由此可得距离R(r,θ,φ)=a2+r2−2arsinθcosφ−−−−−−−−−−−−−−−−−−−√R(r,θ,φ)=a2+r2-2arsinθcosφ(2)由于电流元Idl沿着圆的逆时针切线方向,与矢径a垂直,而弧元为ds=adφ=|dl|,所以电流元为Idl=Ids[icos(φ+π/2)+jsin(φ+π/2)]=Iadφ(-isinφ+jcosφ),叉积为,磁感应强度的分量为dBx=μ0Ia4πrcosθcosφdφR3 dBy=μ0Ia4πrcosθsinφdφR3 dBz=μ0Ia4π(a−rsinθcosφ)dφR3dBx=μ0Ιa4πrcosθcosφdφR3 dBy=μ0Ιa4πrcosθsinφdφR3 dBz=μ0Ιa4π(a-rsinθcosφ)dφR3其中变量φ的定义域为[-π,π],由于By的被积函数是φ的奇函数,所以By在对称区间[-π,π]中积分的结果为零.这是因为变量φ对应的半圆环[-π,0]和半圆环[0,π]在P点产生场强的y分量方向相反的缘故.场强在球坐标系中的两个分量为Bx和Bz都是Orθ平面中极径r和极角θ的二元函数.当θ=0时,可得这是轴线上的磁感应强度,与电磁学教材中的公式相同.当r=0时,可得Bz=Bz(0,0)=μ0I2aBz=Bz(0,0)=μ0Ι2a,这是环心处的磁感应强度,用B0表示.当θ=π/2时,可得Bx=Bx(r,π/2)=0(7)Bz=Bz(r,π/2)=μ0Ia4πBz=Bz(r,π/2)=μ0Ιa4π∫−ππ∫-ππ(a−rcosφ)dφ(a2+r2−2arcosφ)3/2 (8)(a-rcosφ)dφ(a2+r2-2arcosφ)3/2 (8)这是环平面上的磁感应强度.由于x=rsinθ,z=rcosθ,r=x2+z2−−−−−−√x=rsinθ,z=rcosθ,r=x2+z2,式(3)和(4)可以化为直角坐标公式:这时,Bx和Bz都化为Oxz平面中坐标x和z的二元函数.合场强大小为B=B2x+B2z−−−−−−−√B=Bx2+Bz2,方向由角度确定α=arctanBzBx.α=arctanBzBx.2、磁感应强度公式的无量纲化将感应强度公式无量纲化是为了便于数值计算.取半径a为长度单位,取B0=μ0I/2a为磁感应强度单位,则轴线上的无量纲磁感应强度为B∗z(r∗,0)=Bz(r,0)B0=1(1+r*2)3/2Bz*(r*,0)=Bz(r,0)B0=1(1+r*2)3/2(11)其中,r*=r/a.环平面上的无量纲磁感应强度为B∗z(r∗,π2)=Bz(r,π/2)B0=12πBz*(r*,π2)=Bz(r,π/2)B0=12π∫−ππ∫-ππ(1−r∗cosφ)dφ(1+r*2−2r∗cosφ)3/2 (12)(1-r*cosφ)dφ(1+r*2-2r*cosφ)3/2 (12)在Oxz平面上的无量纲的磁感应强度为其中x*=x/a,z*=z/a.无量纲的合场强大小为B∗=B*2x+B*2z−−−−−−−−√B*=Bx*2+Bz*2,方向为α=arctanB∗zB∗x.α=arctanBz*Bx*.应用MATLAB的meshgrid函数,可将被积函数化为关于x、z和φ的三维矩阵,x是矩阵的第一维:行,z是矩阵的第二维:列,φ称为矩阵的第三维:页.根据公式计算被积函数的三维矩阵,利用梯形法求和函数trpaz和角度φ的间隔,即可对被积函数中的φ进行数值积分,将三维矩阵降为二维矩阵,从而求出Oxz平面内任何一点磁感应强度两个分量的值,进而计算合场强和角度的值.3、磁场的可视化根据磁感应强度的数值,利用MATLAB的surf指令,可以画出磁感应强度的曲面.利用流线指令streamline可以画出磁感应线[5].1)环电流磁感应强度的z分量Bz的曲面如图2所示,Bz是x和z的偶函数.当x=0时,在轴线圆心上的Bz最大;当z=0时,在环平面内圆心上Bz最小.因而Bz在圆心是一个“鞍点”.点(±a,0)是奇点,表示环所在的位置.在环的内外两侧,Bz方向相反,因而发生跃变,形成“高峰”和“低谷”.Bz(r,0)和Bz(r,π/2)线分布在曲面上.图2环电流磁感应强度的z分量分布面2)磁感应强度的x分量Bx的曲面如图3所示,Bx是x的偶函数,是z的奇函数.在环的上下两侧,Bx方向相反,因而发生跃变,形成“高峰”和“低谷”.Bx(r,0)和Bx(r,π/2)线分布在水平面上.图3环电流磁感应强度的x分量分布面3)合磁感应强度B的曲面如图4所示,中心处的B主要由轴向分量Bz决定,因而形成“鞍”状.由于点(±a,0)是奇点,因而附近的B很大,形成两个很高的“犄角”.B(r,0)=Bz(r,0)和B(r,π/2)=|Bz(r,π/2)|线分布在曲面上.图4环电流合磁感应强度的分布面4)合场强B的方向角α的曲面如图5所示,在x=0的轴线上,α=90°.在第一象限,方向角随极角的增加而增加;在第二象限,方向角仍然随极角增加而增加,但会发生从180°到-180°的跃变,结合磁感应线可知:跃变发生在曲线dz/dx=0处.在第三象限和第四象限的方向角也能作同样分析.图5环电流合磁感应强度方向的分布面图6环电流的磁感应线5)环电流的磁感应线如图6所示.磁感应线是闭合的,都绕着环电流.在x=0的轴线上,磁感应强度只有z分量;在z=0的环平面上,磁感应强度也只有z分量.环内的磁感应强度比环外要强,圆环附近的磁感应强度更强.4、磁感应强度的解析解文献[2]和[4]都推导了磁感应强度解析解,前者利用矢势,后者则利用毕奥-萨伐尔定律.两者都利用了两类完全椭圆积分.不过,两篇文献中的解析式都是在柱坐标系中建立的Bρ(ρ,z)=μ0I2πzρ(ρ+a)2+z2√[a2+ρ2+z2(ρ−a)2+z2E(k)−K(k)] (15)Bz(ρ,z)=μ0I2π1(ρ+a)2+z2√[a2−ρ2−z2(ρ−a)2+z2E(k)+K(k)] (16)Bρ(ρ,z)=μ0Ι2πzρ(ρ+a)2+z2[a2+ρ2+z2(ρ-a)2+z2E(k)-Κ(k)] (15)Bz(ρ,z)=μ0Ι2π1(ρ+a)2+z2[a2-ρ2-z2(ρ-a)2+z2E(k)+Κ(k)] (16)其中用MATLAB在柱坐标系中画曲面和磁感应线有点繁琐,而在直角坐标系中比较简便.注意到:柱坐标系中的极轴ρ就是直角坐标系中的x正轴.柱坐标系与球坐标系的变换为ρ=rsinθ,(0≤θ≤π).如果将Orθ当作极坐标平面,那么,极轴就是z轴,θ就是极角,r就是极径.在直角坐标的Oxz平面中,当x>0时,rsinθ=x;当x<0时,rsinθ=-x.因此rsinθ=|x|.磁感应强度的两个分量的解析解分别是:Bx(x,z)=μ0I2πzx(|x|+a)2+z2√⋅ [a2+x2+z2(|x|−a)2+z2E(k)−K(k)]= μ0I4πkzx|ax|√[2−k22(1−k2)E(k)−K(k)] (17)Bz(x,z)=μ0I2π1(|x|+a)2+z2√⋅ [a2−x2−z2(|x|−a)2+z2E(k)+K(k)]= μ0I4πka|x|√[K(k)−2|x|−(a+|x|)k22|x|(1−k2)E(k)] (18)Bx(x,z)=μ0Ι2πzx(|x|+a)2+z2⋅ [a2+x2+z2(|x|-a)2+z2E(k)-Κ(k)]= μ0Ι4πkzx|ax|[2-k22(1-k2)E(k)-Κ(k)] (17)Bz(x,z)=μ0Ι2π1(|x|+a)2+z2⋅ [a2-x2-z2(|x|-a)2+z2E(k)+Κ(k)]= μ0Ι4πka|x|[Κ(k)-2|x|-(a+|x|)k22|x|(1-k2)E(k)] (18)其中k2=4a|x|(|x|+a)2+z2.k2=4a|x|(|x|+a)2+z2.除了式(15)分母中一个单独的ρ要换成x之外,将式(15)和(16)中的ρ换为|x|,即得直角坐标的磁感应强度公式.将Bx(x,z)和Bz(x,z)的解析解无量纲化,即可画出曲面.Bx和Bz的解析解与数值解的曲面完全重合,验证了解析解和数值解的正确性(图略).5、结束语本文全面解决了环电流磁场的计算和可视化的问题,因而有一些独创之处.1)建立了直角坐标系中环电流的磁感应强度的定积分公式.2)巧妙地将公式无量纲化,以便做纯数值计算.3)用MATLAB做数值积分是一件十分简单的事情,但是很多人不会用.对于没有解析解和难于求出解析解的定积分,数值积分法是一种简单可靠的方法.即使定积分有解析解,也可以用数值积分检验解析解的正确性.这种数值积分方法可以用于解决环电荷的电场强度的计算和作图问题,还可以用于解决亥姆霍兹线圈和通电螺线管的磁感应强度的计算和作图问题.4)画出了彩色场强分布图和磁感应线图,说明磁感应强度的分布规律.5)推导了直角坐标系中环电流的磁感应强度的解析解.6)掌握程序设计方法是提出问题和解决问题的重要手段,我国高等教育应该加强师生程序设计方面的训练.如果我们教师和科技工作既精通专业,又精通程序设计,将大大提高我们科学研究水平.参考文献：[1]彭中汉,蔡领.圆电流平面上的磁场分布[J].大学物理,1983,5(11):12-16.[2]向裕民.圆环电流磁场的普遍分布[J].大学物理,1999,18(1):14-17.[3]李海,张玉颖.圆环线电流的磁感应强度[J].大学物理,1999,18(6):20-22.[4]朱平.圆电流空间磁场分布[J].大学物理,2005,24(9):13-17.[5]周群益,等.MATLAB可视化大学物理学[M].北京:北京清华大学出版社,2011:49-52.周群益,莫云飞,侯兆阳,周丽丽.环电流磁场的数值积分法与解析解的比较和可视化[J].大学物理,2020,39(08):3-6+30.基金:国家自然科学基金(11747123);湖南。