第2章 控制系统统的数学模型2-1 微分方程2-2 传递传递 函数2-3 动态结动态结 构图图及等效变换变换2-4 信号流图图及梅逊逊公式2-5 控制系统统的传递传递 函数2-2 传递传递 函数（transfer function） 用微分方程来描述系统统比较较直观观 ，但是一旦系统统中某个参数发发生变变化或者结结构发发生变变化，就需要重新排列微分方程，不便于系统统的分析与设计设计 为为此提出传递传递 函数的概念一、传递传递 函数的定义义和概念以上一节节RLC电电路的微分方程为为例：设设初始状态为态为 零，对对上式进进行拉氏变换变换 ，得到：G(s)R(s)C(s)定义义：零初始条件下，系统输统输 出量的拉氏变换变换 与输输入量拉氏变换变换 的比值值称为该为该 系统统的传递传递 函数，用G(s)表示一般形式：设线设线 性定常系统统（元件）的微分方程是：y(t)为为系统统的输输出，r(t)为为系统输统输 入，则则零初始条件下，对对上式两边边取拉氏变换变换 ，得到系统传递统传递 函数为为：分母中s的最高阶阶次n即为为系统统的阶阶次 因为组为组 成系统统的元部件或多或少存在惯惯性，所以G(s)的分母阶阶次大于等于分子阶阶次，即 ,是有理真分式，若 ,我们们就说这说这 是物理不可实现实现 的系统统。
二、传递传递 函数的性质质 (1)传递传递 函数是一种数学模型，是对对微分方程在零初始条件下进进行拉氏变换变换 得到的； (2)传递传递 函数只适用于线线性定常系统统； (3)传递传递 函数只取决于系统统本身的结结构参数，而与输输入和初始条件等外部因素无关； (4)传递传递 函数与系统统的输输入输输出的位置有关； (5)传递传递 函数一旦确定，系统统在一定的输输入信号下的动态动态 特性就确定了三、典型环节环节 的传递传递 函数 1）比例环节环节 :其输输出量和输输入量的关系，由下面的代数方程式来表示式中 环节环节 的放大系数，为为一常数传递传递 函数为为：特点：输输出与输输入量成比例，无失真和时间时间 延迟迟实实例：电电子放大器，齿轮齿轮 ，电电阻(电电位器) 等2）惯惯性环节环节 :其输输出量和输输入量的关系，由下面的常系数非齐齐次微分方程式来表示传递传递 函数为为：式中 T 环节环节 的时间时间 常数特点：含一个储储能元件，对对突变变的输输入,其输输出不能立即发现发现 ，输输出无振荡荡实实例：RC网络络，直流伺服电动电动 机的传递传递 函数也包含这这一环节环节 3）积积分环节环节 :其输输出量和输输入量的关系，由下面的微分方程式来表示传递传递 函数为为：特点：输输出量与输输入量的积积分成正比例，当输输入消失，输输出具有记忆记忆 功能。
实实例：模拟计拟计 算机中的积积分器4）微分环节环节 ：是积积分的逆运算，其输输出量和输输入量的关系，由下式来表示传递传递 函数为为：式中 环节环节 的时间时间 常数特点：输输出量正比输输入量变变化的速度，能预预示输输入信号的变变化趋势趋势 实实例：测测速发电发电 机输输出电压电压 与输输入角度间间的传传递递函数即为为微分环节环节 图2-16 R-C网络络1）实际实际 的微分环节环节 ，如图图2-16所示，它的传递传递 函数为为：2）直流测测速发电发电 机如图图2-17图图2-17直流测测速发电发电 机5）振荡环节荡环节 ：其输输出量和输输入量的关系，由下面的二阶阶微分方程式来表示传递传递 函数为为：特点：环节环节 中有两个独立的储储能元件，并可进进行能量交换换，其输输出出现现振荡荡实实例：RLC电电路的输输出与输输入电压间电压间 的传递传递 函数1）R-L-C电电路的传递传递 函数2）弹弹簧-质质量-阻尼器系统统的传递传递 函数上述两个传递传递 函数，虽虽然它们们的阻尼比和1/T所含的具体内容各不相同，但只要满满足01，则则它们们都是振荡环节荡环节 6）延迟环节迟环节 ：其输输出量和输输入量的关系，由下式来表示传递传递 函数为为：式中 延迟时间迟时间特点：输输出量能准确复现输现输 入量，但须须延迟迟一固定的时间间时间间 隔。
实实例：管道压压力、流量等物理量的控制，其数学模型就包含有延迟环节迟环节以上6种是常见见的基本典型环节环节 的数学模型1）是按数学模型的共性建立的，与系统统元件不是一一对应对应 的；2）同一元件，取不同的输输入输输出量，有不同的传递传递 函数，有不同的传递传递 函数；3）传递传递 函数都可看作典型环节环节 的组组合 建立控制系统的传递函数的步骤与建立控制系统微分方程的步骤相类似，首先确定系统和各元件的输入量和输出量，列出各组成元件的原始方程，并得到各方程的拉氏变换形式，消去中间变量，求得输出的拉氏变换与输入的拉氏变换之比，从而得到传递函数 对于电气网络（有源或无源），也可用复数阻抗的思想直接求出传递函数四、控制系统的传递函数 图2-18 具有传递 滞后的装置例： 图图中z1和z2为为复数阻抗，由图图即电电气网络传递络传递 函数的求取图2-20 R-C电路例 求图2-20所示电路的传递函数解：得 有源网络电路图2-21 有源网络1图2-22 有源网络2设Z1、Z2、Z3、Z4为复数阻抗，并略去运放的输入电流，则由图2-21得基于上述同样的假设，由图2-22得即消去上述式中的中间变量I1、I2、I3、I4和UB，得：例 求图示两个有源网络的传递函数。
1）在图2-23中，于是得2）在图2-24中，则由前例得图2-23 PI调节 器图2-24 PD调节 器2-3 动态结动态结 构图图及等效变换变换一、动态结动态结 构图图的组组成1、信号线线：有箭头头的直线线，箭头头表示信号传递传递 方向2、引出点：信号引出或测测量的位置从同一信号线线上引出的信号，数值值和性质质完全相同3、综综合点：对对两个或两个以上的信号进进行代数运算，“”表示相加，常省略，“”表示相减4、方框：表示典型环节环节 或其组组合，框内为对为对应应的传递传递 函数 ，两侧为输侧为输 入、输输出信号线线二、动态结动态结 构图图的建立L例：双T网络络1）微分方程2）拉氏变换变换 ，写成规规范的“因果”形式，结结果系数为为“1”3）绘动态结绘动态结 构图图按照变变量的传递顺传递顺 序，依次将各元件的结结构图连图连 接起来电磁力矩：电枢反电势：电枢回路：力矩平衡：例 电枢控制式直流电动机直流电动机结构图三、典型连连接方式及等效变换变换X1(s)G1(s)G2(s)X(s)Y(s)G(s)X(s)Y(s)1、串联联及等效2、并联联及等效X(s)G2(s)G1(s)Y1(s)Y2(s)Y(S)G(s)X(s)Y(s)3、反馈馈及等效G(s)H(s)E(s)R(s)Y(s)R(s)Y(s)四、等效移动规则动规则1、引出点的移动动G(S)G(S)X1X2X2X2X1X2G(S)1）前移G(S)X2X1X1G(S)1/G(S)X1X2X12）后移在移动动支路中串入所越过过的传递传递 函数的倒数方框 在移动动支路中串入所越过过的传递传递 函数方框2、综综合点的移动动在移动动支路中串入所越过过的传递传递 函数的倒数方框 在移动动支路中串入所越过过的传递传递 函数方框1）前移G(S)1/G(S)X1X2X3-G(S)X1X2X3-2）后移x2x3x1G(s)G(s)G(s)x1x2x3相邻综邻综 合点之间间可以随意调换调换 位置 3）相邻综邻综 合点移动动x1Yx2x3x1Yx2x3注意：相邻邻引出点和综综合点之间间不能互换换!相邻邻引出点之间间可以随意调换调换 位置 结构图等效变换方法 若有三种典型结构，串联，并联或反馈，则直接用公式先化简 若没有三种典型结构，且回路之间有交叉，则必须移位。
比较点只能向相邻比较点方向移位，引出点只能向相邻引出点方向移位且移位后，常常伴随着与相邻综合点或相邻引出点交换位置，以解交叉 由内回路向外回路一层层简化 注意：相邻引出点和综合点之间不能互换!例 结结构图简图简 化：电电枢控制直流电动电动 机例2：x-y记录仪结构图如下：求例：试简试简 化系统结统结 构图图，并求系统传递统传递 函数例：试简试简 化系统结统结 构图图，并求系统传递统传递 函数方法1:引出点后移例：试简试简 化系统结统结 构图图，并求系统传递统传递 函数例：试简试简 化系统结统结 构图图，并求系统传递统传递 函数方法2:引出点前移 2.4 控制系统的结构图及其等效变换 （1）系统结构图的导出微分方程 （2）结构图等效化简课程回顾x1x4x3x2abc12-4 信号流图图及梅逊逊公式一、信流图图的基本概念 支路： 表示变变量之间间的传输传输 关系 节节点： 表示系统统中的变变量 信号流图图是一种描述系统统中各信号传递传递 关系的数学图图形只适用于线线性系统统其优优点在于流图图增益公式实实用性信号流图图由节节点和支路组组成信流图图的基本术语术语1、源点：只有流出支路的节节点。
对应对应 于系统统的输输入信号，或称为输为输 入节节点2、陷点：只有输输入支路的节节点对应对应 于系统统的输输出信号，或称为输为输 出节节点3、混合节节点：既有输输入支点也有输输出支点的节节点输入节点（源点）输出节点（陷点）输入节点（源点）信流图图的基本术语术语4、通路：从某一节节点开始沿支路箭头头方向到另一节节点（或同一节节点）构成的路径5、回路：如果通路的终终点就是起点，并且与任何其他节节点相交不多于一次6、回路增益：回路中各支路增益的乘积积7、前向通路：从源点开始并终终止于陷点，且与其他节节点相交不多于一次的通道该该通路各支路增益乘积积称为为前向通路增益8、不接触回路：各回路之间间没有任何公共节节点反之称为为接触回路 二、信号流图图的绘绘制1、由结结构图绘图绘 制信流图图结构图 信号流图输入信号 源节点 输出信号 陷节点 比较点，引出点 混合节点 环节 支路 环节传递函数 支路增益 基本步骤：在结构图的信号线上，标出各变量对应节点名称若比较点之后又有引出点，只需设一个节点所有输入为源点，输出为陷点，可以通过引入单位增益支路实现将各节点按原来顺序排列；连接各支路，注意支路增益符号1）信号流图 结构图控制系统结构图系统信号流图2、由方程组绘组绘 制信流图图首先按照节节点的次序绘绘出各节节点，然后根据各方程式绘绘制各支路。
当所有方程式的信号流图图绘绘制完毕毕后，即得系统统的信号流图图三、梅森（Mason）增益公式 例：由流图利用梅森公式 例：由结构图求流图，再利用梅森公式 例：由结构图直接利用梅森公式四个单独回路，两个回路互不接触e1abcdfghC(s)R(s)C(s) R(s)=1afbgch ehgf+afchabcded (1bg)前向通路两条信号流图例 1 求C(s)/R(s)例 2 求C(s)/R(s)例 3 求C(s)/R(s)Mason 公式（4）例 4 求传递函数 C(s)/R(s) 控制系统结构图例 4 求C(s)/R(s)Mason 公式（5）例 5 求传递函数 C(s)/R(s) 控制系统结构图例 5 求C(s)/R(s)25 控制系统统的传递传递 函数一、系统统的开环传递环传递 函数定义为义为 把主反馈馈通道断开，得到的传递传递 函数Y(s)二、输输入作用下系统统的闭环传递闭环传递 函数三、扰动扰动 作用下系统统的闭环传递闭环传递 函数四、系统统的总输总输 出Y(s)五、误误差传递传递 函数输输入作用下的误误差传递传递 函数扰动扰动 作用下的误误差传递传递 函数六、系统统的总误总误 差Y(s)例 求 C(s)/R(s), C(s)/N(s)L1L2= (G1H1)(-G 2 H2 )L1= G1H1L2= G2H2L3= G1G2H3G1(s)G3(s)H1(s)G2(s)H3(s)H2(s)R(s)C(s)N(s)E(S)C(s)=1- G1H1+ G2H2+ G1G2H3-G1H1G2 H2G3G2+G1G2。