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1、高二数学圆锥曲线：抛物线知识点整理和总结专题九抛物线一.基本概念1.抛物线的定义：平面内与一个定点的距离和一条定直线的距离相等的点的轨迹。其中：定点为抛物线的焦点，定直线叫做准线。2.抛物线的标准方程、图象及几何性质：p0标准方程l焦点在x轴上，开口向右y2焦点在x轴上，开口向左y2px2焦点在y轴上，开口向上x2焦点在y轴上，开口向下x22px2py2pyyPxOFPylxFOlyPFOy轴lyOFx图形xPO(0,0)顶点对称轴焦点离心率准线二例题分析【例1】（河西区2011高考一模）已知双曲xa22x轴F(p2,0)F(p2,0)F(0,p2)F(0,p2)e1xp2xp2yp2yp2y
2、b221a0,b0的一个顶点与抛物线y20x的焦点重合，该双曲线的离心率为252，则该双曲线的渐近线斜率为（）A2B43C12D34【例2】（南开区2011年高三一模）若抛物线y2px的焦点与双曲线焦重合，则p的值为（）A3B-3C6D-62x26y231的左【变式1】（河北区2011年高三三模）已知抛物线y245x的焦点和双曲线xa22yb221(a0,b0)的一个焦点重合，且双曲线的离心率e52，则双曲线的方程为（）A【变式2】（2011年第三次六校联考）.已知双曲线xa22x216y291Bx29y2161Cx2y241Dx24y291yb221的离心率为2，它的一个焦点与抛物线y28x
3、的焦点相同，那么双曲线的渐近线方程为-【例3】.（2011年天津一中高三第五次月考）已知抛物线y22pxp0的焦点F为双xa22曲线yb221a0,b0的一个焦点，经过两曲线交点的直线恰好过点F，则该双曲线的离心率为（）A2B【例4】（2011年天津文）已知双曲线xa2221C3Dyb221(a0,b0)的左顶点与抛物线y2px(p0)的焦点的距离为4，且双曲线的一条渐近线与抛物线的准线的准线的交点2坐标为（-2，-1），则双曲线的焦距为（）A23B25C43D45【例5】（2010年天津文）已知双曲线xa22yb221(a0,b0)的一条渐近线方程是y3x，它的一个焦点与抛物线y216x的焦
4、点相同。则双曲线的方程为。【变式1】（2010年天津理）已知双曲线xa22yb221(a0,b0)的一条渐近线方程是y=3x,它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双曲线的方程为（）（Ax236y21081（Bx29y2271（C）x2108y2361（D）x227y291【变式2】（2011陕西理）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物线的方程是。【例6】（2012年福建）已知双曲线x24yb221的右焦点与抛物线y212x的焦点重合，则该双曲线的焦点到渐近线的距离为_.【变式1】（2012年安徽）过抛物线y4x的焦点F的直线交抛物线于A、B两点，O为坐标原点，若AF3，则三角形A
5、OB的面积为_.【例7】（2011辽宁理）已知F是抛物线y2=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，AFBF=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（）A34B1C54D【变式1】（2012年天津理）已知抛物线的参数方程为x2pty2pt2（t为参数，p0）,焦点为F，准线为l，过抛物线上一点M作l的垂线，垂足为E.若|EF|=|MF|，点M的横坐标是3，则p=_.【变式2】（2011山东文）设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、FM为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是（）A(0，2)【变式3】（2012年四川）已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在
6、坐标原点，并且经过点M2,y0，若点M到抛物线焦点距离为3，则OM长度_.B0，2C(2，+)D2，+)扩展阅读：抛物线题及知识点总结一、抛物线的定义及其应用例1设P是抛物线y24x上的一个动点(1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值例2、(2011山东高考)设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A(0,2)B0,2C(2，)D2，)二、抛物线的标准方程和几何性质例3、抛物线y2px(p0)的焦点为F，准线为l，经过F
7、的直线与抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AKl，垂足为K，若|BC|2|BF|，且|AF|4，则AKF的面积是()A4B33C43D8悟一法1.求抛物线的标准方程常采用待定系数法，未知数只有p，可利用题中已知条件确定p的值注意到抛物线方程有四种标准形式，因此求抛物线方程时，需先定位，再定量2.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征例4过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3则此抛物线的方程为()39Ay2xBy29xCy2xDy23x三、抛
8、物线的综合问题例5(2011江西高考)已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x10)上，M点到抛物线C的焦点F的1距离为2，直线l：yxb与抛物线C交于A，B两点2(1)求抛物线C的方程；(2)若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程练习题1已知抛物线x2ay的焦点恰好为双曲线y2x22的上焦点，则a等于()A1B4C8D162抛物线y4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A157BC.16163(2011辽宁高考)已知F是物线yx的焦点，A，B是该物线上的两点，|AF|BF|3，则线段AB的中点到y轴的距离为()
9、3B1C.7D.44已知抛物线y2px，以过焦点的弦为直径的圆与抛物线准线的位置关系是()A相离B相交C相切D不确定5(2012宜宾检测)已知F为抛物线y28x的焦点，过F且斜率为1的直线交抛物线于()A42A、B两点，则|FA|FB|的值等于D16B8C826在y2x2上有一点P，它到A(1,3)的距离与它到焦点的距离之和最小，则点P的坐标是()A(2,1)C(2,1)B(1,2)D(1,2)7设抛物线y28x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PAl，A为垂足如果直线AF的斜率为3，那么|PF|()A43B8C83D168(2011陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x2，则抛物
10、线的方程是()Ay28xBy28xCy24xDy24x9(2012永州模拟)以抛物线x216y的焦点为圆心，且与抛物线的准线相切的圆的方程为_10已知抛物线的顶点在原点，对称轴为y轴，抛物线上一点Q(3，m)到焦点的距离是5，则抛物线的方程为_11已知抛物线y4x与直线2xy40相交于A、B两点，抛物线的焦点为F，那么|FA|FB|_.12过抛物线y24x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1x26，那么|AB|等于_13根据下列条件求抛物线的标准方程：(1)抛物线的焦点是双曲线16x29y2144的左顶点；(2)过点P(2，4)14已知点A(1,0)，B(1，1
11、)，抛物线C：y24x，O为坐标原点，过点A的动直线l交抛物线C于M，P两点，直线MB交抛物线C于另一点Q.若向量OM与OP的夹角为，求POM的面积一、抛物线的定义及其应用例1设P是抛物线y24x上的一个动点(1)求点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值；(2)若B(3,2)，求|PB|PF|的最小值自主解答(1)如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x1.由抛物线的定义知：点P到直线x1的距离等于点P到焦点F的距离于是，问题转化为：在曲线上求一点P，使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小显然，连结AF交曲线于P点，则所求的最小值为|AF|，
12、即为5.(2)如图，自点B作BQ垂直准线于Q，交抛物线于点P1，则|P1Q|P1F|.则有|PB|PF|P1B|P1Q|BQ|4.即|PB|PF|的最小值为4.例2、(2011山东高考)设M(x0，y0)为抛物线C：x28y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、|FM|为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A(0,2)B0,2C(2，)D2，)解析：圆心到抛物线准线的距离为p，即p4，根据已知只要|FM|4即可根据抛物线定|FM|y02由y024，解得y02，故y0的取值范围是(2，)二、抛物线的标准方程和几何性质例3、抛物线y22px(p0)的焦点为F，准线为l，经过F的直
13、线与抛物线交于A、B两点，交准线于C点，点A在x轴上方，AKl，垂足为K，若|BC|2|BF|，且|AF|4，则AKF的面积是()A4B33C43D8设点A(x1，y1)，其中y10.由点B作抛物线的准线的垂线，垂足为B1.则有|BF|BB1|；又|CB|2|FB|，因此有|CB|2|BB1|，cosCBB1CBB1.即直线AB与x轴的夹角为.|BB1|1，|BC|p又|AF|AK|x14，因此y14sin23，2311因此AKF的面积等于|AK|y142343.22悟一法1.求抛物线的标准方程常采用待定系数法，未知数只有p，可利用题中已知条件确定p的值注意到抛物线方程有四种标准形式，因此求抛
14、物线方程时，需先定位，再定量2.涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征例4过抛物线y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若|BC|2|BF|，且|AF|3则此抛物线的方程为()3Ay2xBy29xCy2xDy23x解析：分别过点A、B作AA1、BB1垂直于l，且垂足分别为A1、B1，由已知条件|BC|2|BF|得|BC|2|BB1|，BCB130，又|AA1|AF|3，|AC|2|AA1|6，|CF|AC|AF|633，F为线段AC的中点故13点F到准线的距离为p|AA1|，故抛物线的方程为y23x.22三、抛物线的综合问题例5(2011江西高考)已知过抛物线y22px(p0)的焦点，斜率为22的直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1所以p4，从而抛物线方程是y28x.(2)由p4,4x25pxp20可简化为
