《2019届北师大版高三数学(理)复习学案：学案46利用向量方法求空间角(含答案)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2019届北师大版高三数学(理)复习学案：学案46利用向量方法求空间角(含答案)（16页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、学案 46 利用向量方法求空间角导学目标： 1. 掌握各种空间角的定义，弄清它们各自的取值范围.2. 掌握异面直线所成的角，二面角的平面角，直线与平面所成的角的联系和区别.3. 体会求空间角中的转化思想、数形结合思想，熟练掌握平移方法、射影方法等 .4. 灵活地运用各种方法求空间角自主梳理1两条异面直线的夹角(1) 定义：设a，b 是两条异面直线，在直线a 上任取一点作直线a b，则 a与 a 的夹角叫做a 与 b 的夹角(2) 范围：两异面直线夹角 的取值范围是_ (3) 向量求法：设直线a，b 的方向向量为a，b，其夹角为，则有 cos _. 2直线与平面的夹角(1) 定义：直线和平面的夹
2、角，是指直线与它在这个平面内的射影的夹角(2) 范围：直线和平面夹角 的取值范围是_ (3) 向量求法：设直线l 的方向向量为a，平面的法向量为u，直线与平面所成的角为，a 与 u 的夹角为，则有 sin _或 cos sin . 3二面角(1) 二面角的取值范围是_(2) 二面角的向量求法：若 AB 、CD分别是二面角l 的两个面内与棱l 垂直的异面直线，则二面角的大小就是向量AB与CD的夹角 ( 如图 ) 设 n1，n2分别是二面角l 的两个面 ， 的法向量，则向量n1与 n2的夹角 ( 或其补角 ) 的大小就是二面角的平面角的大小( 如图 ) 自我检测1已知两平面的法向量分别为m (0,
3、1,0)，n(0,1,1)，则两平面所成的二面角为( ) A45 B135C45或 135 D902若直线l1，l2的方向向量分别为a(2,4 ， 4) ，b( 6,9,6)，则 ( ) Al1l2Bl1l2Cl1与 l2相交但不垂直D以上均不正确3若直线l 的方向向量与平面 的法向量的夹角等于120，则直线l 与平面 所成的角等于( ) A120 B60C30 D以上均错4(2018 湛江月考 ) 二面角的棱上有A、B两点，直线AC 、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于 AB.已知 AB 4，AC 6，BD 8，CD 217，则该二面角的大小为( ) A150 B45 C60 D
4、1205(2018 铁岭模拟 ) 已知直线AB 、CD 是异面直线， ACCD ，BD CD ，且 AB2，CD 1，则异面直线AB与 CD夹角的大小为( ) A30 B45 C60 D75探究点一利用向量法求异面直线所成的角例 1已知直三棱柱ABC A1B1C1， ACB 90， CA CB CC1，D 为 B1C1的中点，求异面直线BD和 A1C 所成角的余弦值变式迁移1 如图所示，在棱长为a 的正方体ABCD A1B1C1D1中，求异面直线BA1和 AC所成的角探究点二利用向量法求直线与平面所成的角例 2(2018 新乡月考 ) 如图，已知两个正方形ABCD和 DCEF不在同一平面内，M
5、 ，N 分别为 AB ，DF的中点若平面 ABCD 平面 DCEF ，求直线MN与平面 DCEF所成角的正弦值变式迁移2 如图所示，在几何体ABCDE 中， ABC是等腰直角三角形，ABC 90， BE和 CD都垂直于平面ABC ，且BE AB2，CD 1，点 F是 AE的中点求AB与平面 BDF所成角的正弦值探究点三利用向量法求二面角例 3如图， ABCD是直角梯形，BAD 90， SA 平面 ABCD ，SABC BA 1，AD 12，求面 SCD 与面 SBA所成角的余弦值大小变式迁移3 (2018 沧州月考 ) 如图，在三棱锥SABC中，侧面SAB与侧面SAC均为等边三角形，BAC 9
6、0， O为BC中点(1) 证明： SO 平面 ABC ；(2) 求二面角ASC B的余弦值探究点四向量法的综合应用例 4如图所示，在三棱锥ABCD中，侧面ABD 、ACD是全等的直角三角形，AD是公共的斜边，且AD 3，BDCD 1，另一个侧面ABC是正三角形(1) 求证： AD BC ；(2) 求二面角BAC D的余弦值；(3) 在线段 AC上是否存在一点E，使 ED与面 BCD成 30角？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由变式迁移4 (2018 山东 ) 在如图所示的几何体中，四边形 ABCD为平行四边形， ACB 90，EA 平面 ABCD ，EFAB，FG BC ，EG AC
7、，AB 2EF. (1) 若 M是线段 AD的中点，求证：GM 平面 ABFE ； (2)若 AC BC2AE，求二面角ABF C的大小1求两异面直线a、b 的夹角 ，需求出它们的方向向量a， b 的夹角，则cos |cos a，b|. 2求直线l 与平面 所成的角. 可先求出平面 的法向量n 与直线 l 的方向向量a 的夹角则sin |cos n，a|. 3求二面角l 的大小 ，可先求出两个平面的法向量n1，n2所成的角则 n1，n2或 n1，n2 ( 满分： 75 分) 一、选择题 ( 每小题 5分，共 25 分) 1(2018 成都月考 ) 在正方体ABCD A1B1C1D1中， M是
8、AB的中点，则sin DB1，CM的值等于 ( ) A.12B.21015C.23D.11152长方体 ABCD A1B1C1D1中，AB AA12，AD 1，E为 CC1的中点，则异面直线BC1与 AE所成角的余弦值为( ) A.1010B.3010C.21510D.310103 已知正四棱锥S ABCD 的侧棱长与底面边长都相等，E是 SB的中点，则 AE 、 SD所成的角的余弦值为( ) A.13B.23C.33D.234. 如图所示，在长方体ABCD A1B1C1D1中，已知B1C，C1D与上底面A1B1C1D1所成的角分别为60和 45，则异面直线 B1C和 C1D所成的余弦值为(
9、) A.26B.63C.36D.645(2018 兰州月考 )P 是二面角AB 棱上的一点， 分别在 、 平面上引射线PM 、PN，如果 BPM BPN 45， MPN 60，那么二面角 AB 的大小为 ( ) A60 B70 C80 D90二、填空题 ( 每小题 4分，共 12 分) 6(2018 郑州模拟 ) 已知正四棱锥PABCD的棱长都相等，侧棱PB 、PD的中点分别为M 、 N，则截面AMN与底面 ABCD 所成的二面角的余弦值是_7 如图，PA 平面 ABC ， ACB 90且 PA AC BCa， 则异面直线PB与 AC所成角的正切值等于_8如图，已知正三棱柱ABC A1B1C1
10、的所有棱长都相等，D 是 A1C1的中点，则直线AD与平面 B1DC所成角的正弦值为 _三、解答题 ( 共 38 分) 9(12 分)(2018 烟台模拟 ) 如图所示， AF、DE 分别是 O 、 O1的直径， AD 与两圆所在的平面均垂直，AD 8.BC 是 O 的直径， AB AC 6，OE AD. (1) 求二面角BAD F 的大小；(2) 求直线 BD与 EF所成的角的余弦值10(12 分)(2018 大纲全国 ) 如图，四棱锥S ABCD 中， AB CD ，BC CD ，侧面 SAB为等边三角形，AB BC 2，CD SD1. (1) 证明： SD 平面 SAB ；(2) 求 A
11、B与平面 SBC所成角的正弦值11(14 分)(2018 湖北 ) 如图， 已知正三棱柱ABC A1B1C1各棱长都是4，E是 BC的中点， 动点 F 在侧棱 CC1上，且不与点C重合(1) 当 CF1 时，求证： EFA1C；(2) 设二面角CAFE的大小为，求 tan 的最小值学案 46 利用向量方法求空间角自主梳理1(2)0，2(3)|cos | ab|a| |b |2(2)0，2(3)|cos | 3.(1)0， 自我检测1C 2.B 3.C 4.C 5.C 课堂活动区例 1解题导引(1) 求异面直线所成的角，用向量法比较简单，若用基向量法求解，则必须选好空间的一组基向量，若用坐标求解
12、，则一定要将每个点的坐标写正确(2) 用异面直线方向向量求两异面直线夹角时，应注意异面直线所成角的范围是0，2解如图所示，以C为原点，直线CA 、CB 、CC1分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系设 CA CB CC12，则 A1(2,0,2)，C(0,0,0)，B(0,2,0)，D(0,1,2)， BD(0 ， 1,2) ，A1C( 2,0 ， 2)， cosBD，A1CBDA1C|BD|A1C|105. 异面直线BD与 A1C所成角的余弦值为105. 变式迁移1 解BA1BABB1，ACAB BC， BA1AC(BABB1) (ABBC) BAABBABCBB1ABBB1B
13、C. AB BC ，BB1AB ，BB1BC ， BABC0，BB1 AB0，BB1BC0，BAAB a2， BA1AC a2. 又 BA1AC|BA1| | AC| cos BA1，AC ， cosBA1，ACa22a2a12. BA1，AC120.异面直线BA1与 AC所成的角为60.例 2解题导引在用向量法求直线OP与 所成的角 (O) 时， 一般有两种途径： 一是直接求OP， OP ，其中 OP 为斜线OP在平面 内的射影；二是通过求n，OP进而转化求解，其中n 为平面 的法向量解设正方形ABCD ，DCEF的边长为2，以 D为坐标原点，分别以射线DC ，DF，DA为 x，y，z 轴正
14、半轴建立空间直角坐标系如图则 M(1,0,2) ， N(0,1,0)，可得 MN( 1,1 ， 2) 又 DA(0,0,2)为平面 DCEF的法向量，可得 cosMN，DAMN DA|MN|DA|63. 所以 MN 与平面 DCEF所成角的正弦值为|cos MN，DA| 63. 变式迁移2 解以点 B 为原点， BA 、BC 、BE所在的直线分别为x，y，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则B(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，D(0,2,1)，E(0,0,2)，F(1,0,1) BD(0,2,1)，DF(1 ， 2,0) 设平面 BDF的一个法向量为n(2 ，a，b) ，
15、 nDF， nBD，n DF0，n BD0.即，a， 2，0，a，2，0.解得 a1，b 2. n(2,1 ， 2) 设 AB与平面 BDF所成的角为，则法向量n 与BA的夹角为2 ， cos2 BAn|BA|n|，0， 1，2323，即 sin 23，故 AB与平面 BDF所成角的正弦值为23. 例 3解题导引图中面 SCD与面 SBA所成的二面角没有明显的公共棱，考虑到易于建系，从而借助平面的法向量来求解解建系如图，则A(0,0,0)，D12，0，0 ，C(1,1,0)，B(0，1,0) ，S(0,0,1)， AS(0,0,1)，SC(1,1 ， 1) ，SD12，0， 1 ，AB(0,1
16、,0)， AD12，0，0 . ADAS0，ADAB 0. AD是面 SAB的法向量，设平面SCD的法向量为n (x ，y，z) ，则有 nSC 0 且 n SD0. 即xy z0，12x z0.令 z1，则 x2，y 1. n(2， 1,1) cosn，ADnAD|n|AD|21261263. 故面 SCD与面 SBA所成的二面角的余弦值为63. 变式迁移3 (1) 证明由题设 AB AC SB SC SA. 连接 OA ， ABC为等腰直角三角形，所以 OA OB OC 22SA，且 AO BC. 又 SBC为等腰三角形，故 SO BC ，且 SO 22SA.从而 OA2SO2SA2，所以 SOA为直角三角形，SO AO. 又 AO BC O，所以 SO 平面 ABC. (2) 解以 O为坐标原点，射线OB 、 OA 、OS分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴的正半轴，建立如图的空间直角坐标系Oxyz，如右图设 B(1,0,0)，则 C(1,0,0)，A(0,1,0)，S(0,0,1)SC的中点 M 12， 0，12，MO12，0，12，MA12， 1，12，SC( 1,0 ， 1)
