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1、贵州省遵义市启洪中学2020年高二数学理测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设随机变量XB（10，0.8），则D（2X+1）等于（）A1.6B3.2C6.4D12.8参考答案：C【考点】CN：二项分布与n次独立重复试验的模型【分析】根据设随机变量XB（10，0.8），看出变量符合二项分布，看出成功概率，根据二项分布的方差公式做出变量的方差，根据D（2X+1）=22DX，得到结果【解答】解：设随机变量XB（10，0.8），DX=100.8（10.8）=1.6，D（2X+1）=221.6=6.4故选C2. 已知不
2、等式组表示的平面区域为，若直线与平面区域 有公共点，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 参考答案：A3. 曲线在点处的切线方程是（ ）（A） （B） (C) (D) 参考答案：A略4. 已知随机变量服从正态分布N（3，2），若P（2）=0.3，则P（24）的值等于（）A0.5B0.2C0.3D0.4参考答案：D【考点】CP：正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义【分析】根据正态分布的对称性及概率之和为1即可得出答案【解答】解：P（2）=P（4）=0.3，P（24）=1P（2）P（4）=0.4故选：D5. 设函数，则（ ）A. 函数f(x)无极值点B. 为f(x)的极小值点C. 为f(x)
3、的极大值点D. 为f(x)的极小值点参考答案：A【分析】求出函数的导函数，即可求得其单调区间，然后求极值【详解】解：由函数可得：，函数在R上单调递增函数的单调递增区间为函数无极值点故选：A【点睛】本题主要考查了利用导数求函数的极值，属于基础题。6. 观察按下列顺序排列的等式：，猜想第个等式应为 A BC. D参考答案：B 7. 已知抛物线y2=2px(p0)的准线与圆(x-3)2+y2=16相切，则p的值为( )A B.1C2 D.4参考答案：C8. 已知函数y=的图象如图所示（其中f（x）是定义域为R函数f（x）的导函数），则以下说法错误的是（）Af（1）=f（1）=0B当x=1时，函数f（
4、x）取得极大值C方程xf（x）=0与f（x）=0均有三个实数根D当x=1时，函数f（x）取得极小值参考答案：C【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的图象；导数的运算【专题】导数的综合应用【分析】根据函数单调性和导数之间的关系，分别进行判断即可【解答】解：A由图象可知x=1或1时，f（1）=f（1）=0成立B当x1时，0，此时f（x）0，当1x0时，0，此时f（x）0，故当x=1时，函数f（x）取得极大值，成立C方程xf（x）=0等价为，故xf（x）=0有两个，故C错误D当0x1时，0，此时f（x）0，当x1时，0，此时f（x）0，故当x=1时，函数f（x）取得极小值，成立故选：C【点评】本题
5、主要考查导数的应用，利用函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键9. 在集合1,2,3,4中任取一个偶数a和一个奇数b构成以原点为起点的向量(a，b)从所有得到的以原点为起点的向量中任取两个向量为邻边作三角形，事件“所得三角形的面积等于1”的概率为 ()A B C D参考答案：B改编自2011年四川文科数学高考题（把原题改简单），数学背景知识是向量的外积（或称为向量积、叉积）不过不借助外积的知识，用现有的知识也能推导出：当(a1，a2)，(b1，b2)时，以，为邻边的平行四边形的面积S|sinPOQ|a1b2a2b1|由条件知，满足条件的向量有4个，即1(2,1)，2(2,3)，3(4,1)
6、，4(4,3)，易知“4选2”的选法共有6种，而满足“三角形的面积等于1”的有向量1和3、1和4共2种，故所求概率为.10. 由直线y=，y=2，曲线y=及y轴所围成的封闭图形的面积是( )A2ln2B2ln21Cln2D参考答案：A考点：定积分 专题：导数的综合应用分析：利用定积分的几何意义，首先利用定积分表示出图形的面积，求出原函数，计算即可解答：解：由题意，直线y=，y=2，曲线y=及y轴所围成的封闭图形的面积如图阴影部分，面积为=lny=ln2ln=2ln2；故选A点评：本题考查定积分的运用，利用定积分的几何意义求曲边梯形的面积，考查了学生的计算能力，属于基础题二、 填空题:本大题共7
7、小题,每小题4分,共28分11. 一个球的体积在数值上等于其表面积的2倍，则该球半径为 参考答案：6【考点】球的体积和表面积【分析】设出球的半径，求出球的体积和表面积，利用相等关系求出球的半径即可【解答】解：设球的半径为r，则球的体积为：，球的表面积为：4R2R=6故答案为：612. 已知随机变量服从正态分布，则（ ）参考答案：略13. 函数f（x）=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，则m的取值范围为参考答案：，+）【考点】利用导数研究函数的单调性【分析】对函数进行求导，令导函数大于等于0在R上恒成立即可【解答】解：若函数y=x3+x2+mx+1是R上的单调函数，只需y=3x2+2x+m0
8、恒成立，即=412m0，m故m的取值范围为，+）故答案为：，+）14. 已知则cos _.参考答案：15. 已知幂函数的图像过点（2,4），则这个函数的解析式为 参考答案：略16. 若函数,且,则实数的取值范围为_参考答案：略17. 三角形的一边长为，这条边所对的角为，另两边之比为8：5，则这个三角形的面积为 .参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，是双曲线C：，（a0,b0）的左、右焦点，过的直线与C的左、右两支分别交于A、B两点，若,则双曲线的离心率为（ ）A B C2 D参考答案：A略19. 已知椭圆C：+=1（ab0）上一
9、点到两焦点间的距离之和为2，直线4x3y+3=0被以椭圆C的短轴为直径的圆M截得的弦长为（1）求椭圆C的方程；（2）若椭圆C上存在两个不同的点A，B，关于直线l：y=（x+）对称（i）求k的取值范围；（ii）求证：AOB面积的最大值等于椭圆C的离心率参考答案：【考点】椭圆的简单性质【分析】（1）由题意可知：2a=2，a=， =2，即=2，解得：b=1，即可求得椭圆的标准方程；（2）（i）由题意可知：设直线y=kx+m，代入椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式求得中点P坐标，代入直线方程l方程，由0，即可求得k的取值范围；由三角形的面积公式可知：S=丨m丨?丨x1x2丨=，由基本不等式的性质，即
10、可求得三角形面积的最大值，则椭圆的离心率，即可求证：AOB面积的最大值等于椭圆C的离心率【解答】解：（1）椭圆C： +=1（ab0）上一点到两焦点间的距离之和为2，即2a=2，a=，由O到直线4x3y+3=0距离d=，直线4x3y+3=0被以椭圆C的短轴为直径的圆M截得的弦长为，则=2，即=2，解得：b=1，椭圆C的方程为：；（2）（i）由题意可知：直线l：y=（x+）对称，则设直线l：y=kx+m，A（x1，y1），B（x2，y2），整理得：（2+k2）x2+2kmx+m22=0，由韦达定理可知：x1+x2=，x1?x2=，根据题意：=4k2m24（2+k2）（m22）=8（k2m2+2）0
11、，设线段AB的中点P（x0，y0），则x0=，y0=kx0+m=，点P在直线y=（x+）上， =（+），m=，代入0，可得3k4+4k240，解得：k2，则k或k，直线AB与y轴交点横坐标为m，（ii）证明：AOB面积S=丨m丨?丨x1x2丨=?丨m丨?=，由基本不等式可得：m2（k2m2+2）（）2=，AOB面积S=，当且仅当m2=k2m2+2，即2m2=k2+2，又m=，解得：k=，当且仅当k=时，AOB面积取得最大值为由椭圆C的方程为：的离心率e=，AOB面积的最大值等于椭圆C的离心率20. 已知抛物线E的焦点F在x轴正半轴上，其弦AB过点F且垂直于x轴，若.(1)求抛物线E的标准方程；
12、(2)设M，N是抛物线E上不重合两点，M与N两点的纵坐标之和为4，求直线MN的斜率.参考答案：（1），（2）1【分析】（1）由题设出抛物线的方程为，由于弦过焦点且垂直 轴，则，即可求出抛物线方程。（2）设出，两点的坐标，根据条件求出坐标的关系，然后表示出直线的斜率表达式，化简即可得到直线的斜率。【详解】（1）抛物线的焦点在轴的正半轴，则设抛物线方程为，焦点，由于弦过焦点且垂直，故弦所在直线方程为： ，即，解得：，抛物线的方程：，（2）设，且 ，在抛物线上，故，即，又 与两点的纵坐标之和为4，直线的斜率【点睛】本题主要考查了抛物线标准方程的求法，以及直线与抛物线的关系，属于中档题。21. 已知数
13、列an的前n项和，bn是公差不为0的等差数列，其前三项和为9，且是,的等比中项.（）求an, bn；（）令，若对任意恒成立，求实数t的取值范围.参考答案：解：（）因为， 所以当时，即，当时，-得：，即，所以.3分由数列的前三项和为9，得，所以，设数列的公差为，则，又因为，所以，解得或（舍去），所以6分（）由（）得，从而令即， 得，-得 所以10分 故不等式可化为(1)当时，不等式可化为，解得；(2)当时，不等式可化为，此时；(3)当时，不等式可化为，因为数列是递增数列，所以.综上：的取值范围是.12分22. 我国算经十书之一孙子算经中有这样一个问题：“今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？答曰：二十三.”你能用程序解决这个问题吗？参考答案：设物共m个，被3，5，7除所得的商分别为x、y、z，则这个问题相当于求不定方程 的正整数解.
