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1、安徽 2020 学年高二数学上学期期末考试一试题理1 / 9 上学期期末考试高二数学（理科）试题本试卷满分150 分，考试时间120 分钟。请在答题卷上作答。第 I 卷 选择题（共60 分）一、选择题（本大题共12 题，每题5 分，满分60 分，每题只有一个正确答案）1. 命题“若x， y 都是偶数，则xy 也是偶数”的否命题是() A若x，y都是偶数，则x y 不是偶数B若，y 都不是偶数，则x y 不是偶数x C若，y 都不是偶数，则x y 是偶数x D若x，y不都是偶数，则x y 不是偶数2. 设x，y是两个实数，命题：“x，y中起码有一个数大于1”成立的充足不用要条件是() Axy 2
2、Bxy 2Cx2y2 2 Dxy1 3. 已知：p：| x1| 2，q：x Z，若pq，q同时为假命题，则知足条件的x 的会合为 () A x| x 1 或x3，x?Z B x| 1x3，x?Z C x| x 1 或x 3，x Z D x| 1x3，x Z 4. 已知椭圆= 1( 0) 上有一点，它对于原点的对称点为，点F 为椭圆的右焦点，a b A B 且知足 AF BF，设 ABF ，且 ， ，则该椭圆的离心率e 的取值范围为( ) A ， B， C ， D ， 5. 光芒被曲线反射，等效于被曲线在反射点处的切线反射已知光芒从椭圆的一个焦点出发，被椭圆反射后要回到椭圆的另一个焦点；光芒从双
3、曲线的一个焦点出发被双曲线反射后的反射光芒等效于从另一个焦点发出；如图，椭圆C： 1(ab0) 与双曲线C：1( m0，n0) 有公共焦点，现一光芒从它们的左焦点出发，在椭圆与双曲线间连续反射，则光- 1 - 安徽 2020 学年高二数学上学期期末考试一试题理2 / 9 线经过 2k( k N* ) 次反射后回到左焦点所经过的路径长为() A k( am)B 2k( am)Ck( am) D 2k( am) 6. 已知P为抛物线y2 4x 上一动点，记点P 到 y 轴的距离为d，对于定点A(4,5)，则 | PA| d 的最小值为 ( ) A 4 B C 1 D 1 7. 已知正方体的棱长为a
4、 ，设 ， ，则，ABCD A B C D a b c 等于 ( ) A 30B 60C 90D1208. 如图，在空间直角坐标系中，正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为1，B1E1A1B1，则等于 () ABCD9. 以下图，平行六面体 ABCD A1B1C1D1中，以极点 A 为端点的三条棱，两两夹角都为60，且 AB2，AD 1，AA1 3，M、N分别为 BB1、B1C1的中点，则 MN与 AC所成角的余弦值为() - 2 - 安徽 2020 学年高二数学上学期期末考试一试题理3 / 9 ABCD10. 已知曲线C的方程为 y xln x，则 C上点 x 1 处的切线的倾斜角为() A
5、BCD11. 设函数f ( x) cos(x )( 0，b0) 的离心率为2，焦点到渐近线的距离等于，过右焦点 F2的直线 l 交双曲线于A， B两点， F1为左焦点(1) 求双曲线的方程；(2) 若 F1AB的面积等于6，求直线 l 的方程21.（12 分）以下列图所示，在三棱锥P ABC中， PA底面 ABC， PA AB， ABC60，BCA90，点D， E 分别在棱 PB， PC上，且 DE BC. (1) 求证： BC平面 PAC；(2) 当 D为 PB的中点时，求 AD与平面 PAC所成的角的正弦值；(3) 能否存在点 E，使得二面角 A DE P 为直二面角？并说明原因22.（
6、12 分）已知直线l1： 4x 3y 60 和直线l2：x . 若拋物线C：y2 2px( p0) 上的点到直线 l 1和直线 l 2的距离之和的最小值为2. - 4 - 安徽 2020 学年高二数学上学期期末考试一试题理5 / 9 (1) 求抛物线 C的方程；(2) 若以拋物线上随意一点为切点的直线l 与直线l 2 交于点，试问在x 轴上能否存在定点M N ，使点在以为直径的圆上，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明原因Q Q MN - 5 - 安徽 2020 学年高二数学上学期期末考试一试题理6 / 9 答案13.6cos 3 9 14.2 xy 150 15.x 2 16.17.
7、解 (1) y 3 23. x 则过点 P 且以 P(1 ， 2) 为切点的直线的斜率k1 f (1) 0，所求直线方程为y 2. (2) 设切点坐标为 ( x0， 3x0) ，则直线 l 的斜率 k2f (x0) 3 3，直线 l 的方程为 y ( 3x0) (3 3)( xx0) ，又直线l 过点(1， 2)，P 2( 3x0) (3 3)(1 x0) ，- 6 - 安徽 2020 学年高二数学上学期期末考试一试题理7 / 9 3x0 2 (3 3)(x01) ，解得 x0 1( 舍去 ) 或 x0，故所求直线斜率k 3 3，于是 y( 2) ( x 1) ，即yx . 18. 若命题p
8、为真，由于函数的对称轴为x ，则2. m m 若命题 q 为真，当 m 0 时，原不等式为8x 4 0，明显不可立当 m0时，则有? 1m 4. 由于 pq 为真， p q 为假，所以命题p， q 一真一假故或解得 m1 或 2m 4. 所以 m的取值范围为( ， 1 (2,4)19.(1) 由 F1AB90及椭圆的对称性知 b c，则 e . (2) 由已知得a2b21，设B( x，y) ，A(0 ，b) ，则 (1 ，b) ，( x 1，y) ，由 2 ，即 (1 ，b) 2( x 1，y) ，解得x ，y，则 1，得a2 3，所以b2 2，椭圆的方程为1. 20. 【分析】 (1) 依题
9、意， b， 2? a 1，c 2，双曲线的方程为x21. (2) 设A( x1，y1) ，B( x2，y2) ，由 (1) 知 2(2,0) 易考证当直线l 斜率不存在时不知足题意F 故可设直线 l ： y k( x 2) ，由消元得 ( k2 3) x2 4k2x 4 k2 3 0，当 k时，x1x2，x1x2，y1y2k(x1x2) ， F1AB 的 面 积 S c| y1 y2| 2| k| |x1 x2| 2| k| 12| k| 6，- 7 - 安徽 2020 学年高二数学上学期期末考试一试题理8 / 9 得 k4 8k2 9 0，则 k 1. 所以直线 l 方程为 y x2 或 y
10、 x 2. 21. 以A 为原点，分别为y 轴、z 轴的正方向，过A 点且垂直于平面的直线为x 轴，PAB 成立空间直角坐标系，Axyz 设 PAa，由已知可得：A(0,0,0)，B(0 ，a，0) ，C，P(0,0，a) (1)(0,0 ，a) ，0， BCAP，又 BCA90， BCAC， BC平面 PAC. (2) D为 PB的中点， DEBC， E为 PC的中点，D，E，由 (1) 知，BC平面PAC，DE平面PAC，垂足为点E， DAE是 AD与平面 PAC所成的角， cos DAE， AD与平面 PAC所成的角的正弦值为. (3) DE BC，又由 (1) 知 BC平面 PAC，
11、DE平面 PAC，又 AE? 平面 PAC， PE? 平面 PAC， DEAE， DEPE， AEP为二面角 A DE P 的平面角 PA底面 ABC， PA AC， PAC90，在棱 PC上存在一点 E，使得 AE PC，这时 AEP90，故存在点 E，使得二面角 A DE P是直二面角22.(1) 由定义知l 2为抛物线的准线，抛物线焦点坐标为F 由抛物线定义，知抛物线上点到直线l 2的距离等于其到焦点F 的距离所以抛物线上的点到直线l 1和直线 l 2的距离之和的最小值为焦点F 到直线 l 1的距离所以 2，则p 2，所以抛物线方程为y2 4x. - 8 - 安徽 2020 学年高二数学
12、上学期期末考试一试题理9 / 9 (2) 设 M( x0， y0) ，由题意知直线 l 斜率存在，设斜率为 k，且 k0，所以直线 l 方程为 y y0k( x x0) ，代入 y2 4x，消 x 得 ky 2 4y 4y0 k 0. 由 16 4k(4y0k) 0，得k. 所以直线 l 方程为 y y0( xx0) ，令 x 1，又由 4x0，得N. 设 Q( x1,0) ，则 (x0 x1，y0) ， ，由题意知 0，即 (x0 x1)( 1x1) 0，把4x0代入上式，得(1 x1) x0 x1 20. 由于对随意的x0，等式恒成立，所以解得 x1 1，即在 x 轴上，存在定点Q(1,0)，在以MN为直径的圆上- 9 -
