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1、小升初小学数学( 数的整除性 ) 知识点汇总153.为什么要学习“数的整除性”这部分知识？“数的整除性”在小学数学教学中是一个重要的基础知识。说它重要是因为这部分知识所涉及的基本数学概念不仅多，而且相对集中，如果不能明确、清晰地掌握这些基本数学概念的区别和联系，就会引起混淆，而混淆也必然给以后的数学知识的学习，带来严重的后遗症。例如：约数与倍数、质数与合数、奇数与偶数、公约数与公倍数这些概念在教学中几乎同时出现，但又有相反的内涵，因此，这些概念必须牢固而又明确地建立起来。还必须看到：“数的整除性”是学习分数的前提和准备。在分数的四则运算中，约分和通分是一定要掌握的基础知识，而构成这些基础知识，
2、是离不开“数的整除性”这部分内容的。例如：不掌握求最大公约数的方法，就不可能进行正确、迅速的约分；不掌握求最小公倍数的方法，也无法进行正确、迅速的通分。从这个意义上讲，学习“数的整除性”是进一步学习数学的需要。除此之外，学生在过去的学习中，已经知道整数与整数的和、差、积都是整数，但整数除整数时，商不一定是整数，有时会是小数，到底在什么情况下，整数与整数相除，商仍然是整数呢？这就需要根据“数的整除性”的知识来进行正确的判断了。在未学习“数的整除性”前，学生是很难准确、迅速地判断出下列各式的商是不是整数。874593 6524673284611 9637525743219 794328由于数字较大
3、，一时难于做出正确的判断，一旦掌握了“数的整除性”这部分知识，这些问题就不难解决了。154.整除和除尽有什么不同？整除和除尽是两个既有区别又有联系的概念，也是两个易于混淆的概念。可以通过下面两道题的计算过程，来加以说明。这两道题相同的地方是都没有余数，都可以说成是“除尽”。但这两道题又有不同的地方，（1）题中的被除数、除数和商都是整数，这种情况称作“整除”。按原题可以说成是 896 能被 16 整除。（2）题中的被除数、除数虽然是整数，但商不是整数，而是小数。这类情况就只能称作“除尽”，而不能称作“整除”。按原题可以说成 36 能被 8 除尽，而不能说成 36 能被 8 整除。又如：3.50.
4、5=7 824 41.2=20这两个式子虽然都能除尽，商又是整数，但被除数和除数中，至少有一个数不是整数，因此，这两个式子只能属于“除尽”情况，而不能称作“整除”。由于在小学数学中，“数的整除性”所涉及的数一般都指的是自然数，不包括 0 ，因此，其定义是：“数 a 除以数 b ，除得的商正好是整数而没有余数，我们就说，a 能被 b 整除。”“整除”与“除尽”是两个不同的概念。“除尽”是指在除法中只要除到某一位时没有余数，不管被除数、除数和商是整数还是小数，都可以说是“除尽”。“整除”是指在除法中只有被除数、除数和商都是整数的情况下，才可以说是“整除”。“整除”是整数范围内的除法，而“除尽”则不
5、限于整数范围，只要求余数为零。“整除”与“除尽”的区别和联系在于“整除”也可以称作“除尽”，但是“除尽”不一定是“整除”。“除尽”中包括了“整除”，“整除”只是“除尽”的一种特殊情况。“除尽”与“整除”的关系可用右边集合图来表示。155.“数的整除性”有哪些性质？“数的整除性”的性质很多，涉及到小学数学内容的有以下几个：（1 ）如果两个整数 a 、b 都能被 c 整除，那么 a 与 b 的和也能被 c 整除。例如：427=6 567=8（4256）7=1442 能被 7 整除，56 也能被 7 整除，那么 42 与 56 的和（ 98）也能被7 整除。反之，如果整数 a 、b 中，有一个数能被
6、 c 整除，而其中一个数不能被 c 整除，那么 a 与 b 的和就一定不能被 c 整除。例如：369=4 839=92（36+83）9=13236 能被 9 整除，83 不能被 9 整除，那么 36 与 83 的和（119）不能被9 整除。（2 ）如果两个整数 a 、b 都能被 c 整除，那么 a 与 b 的差也能被 C 整除。例如：8811=8，6611=6（88-66 ）11=288 能被 11 整除， 66 也能被 11 整除，那么 88 与 66 的差（22）也能被 11 整除。反之，如果整数 a 、b 中，有一个数能被 c 整除，另一个数不能被 c 整除，那么 a 与 b 的差就一定
7、不能被 c 整除。例如：9113=7 3013=24（91-30 ）13=4991 能被 13 整除， 30 不能被 13 整除，那么 91 与 30 的差（61）不能被 13 整除。（3 ）如果两个整数 a 、b 都不能被 c 整除。那么 a 与 b 的和（或差）能或不能被 c 整除。这是一个不肯定的结论。例如：657=92 337=45（6533）7 14 （65-33 ）7=4465 不能被 7 整除，33 也不能被 7 整除，由于两个余数的和（ 25=7） ，正好等于除数，因此，65 与 33 的和（98）能被 7 整除；而 65 与 33 的差则不能被 7 整除。又如：8511=78
8、 3811=35（8538）11112（85-38 ）11=4385 不能被 11 整除，38 也不能被 11 整除，此例中 85 与 38 的和（123）或差（ 47）都不能被 11 整除。（4 ）如果整数 a 能被自然数 c 整除，那么 a 的倍数（整数倍）也能被 c 整除。例如：3913=3（394）13=1239 能被 13 整除， 39 的 4 倍（ 156）也能被 13 整除。（5 ）如果 a 、b、c 这三个数中， a 能被 b 整除，b 又能被 c 整除，那么 a 一定能被 c 整除（这是整除的传递性）。例如：有 84 、21、7 三个数8424=4 217=3847 12 8
9、4 能被 21 整除， 21 又能被 7 整除，那么 84 就一定能被 7 整除。反之，如果 a 、b、c 这三个数中， a 与 b 或 b 与 c 之间只要出现一个不能整除的情况，a 就一定不能被 c 整除。例如：有 121 、11、5 三个数12111=11 115=211215=241121 能被 11 整除，但 11 不能被 5 整除，那么 121 就一定不能被 5 整除。156.“倍”与“倍数”有什么区别？“倍”与“倍数”虽然只有一字之差，却是两个不同的数学概念，只有真正明确它们各自的内涵和使用范围，才不会在理解和应用上造成混淆。“倍”指的是数量之间的关系，它建立在乘法概念的基础上，
10、在实际教学中，是从“个”和“份”逐步抽象出来的数学概念。例如：白布 8 米，花布的长度有 4 个 8 米；或者说把白布 8 米看作 1 份，花布的长度是 4 份。这里所说的“个”与“份”，换成数学语言就是花布的长度是 8 米的 4“倍”，花布的米数是84=32（米）。由此可见，“倍”的出现是从生活中的“个”与“份”逐步抽象出来的，是建立在乘法概念的基础上的。“倍数”指的是数与数之间的联系，它建立在“数的整除性”这个大概念的基础上，是在明确“整除”的前提下，与“约数”同时建立的。例如： 28 是 7 的倍数，因为 28 能被 7 整除。287=4， 28 是 7 的 4 倍，如果用乘法表示这三个
11、数的数量关系，则74=28， 7 的 4 倍是 28。由此可见，前者的“倍数”是严格限制在“整除”的范围内，而后者的“倍” 只体现在乘法的概念当中，这是两者的明确区别。在小学数学教材中，“倍数”的运用还有另一种情况，即在比例教学时，当阐述正、反比例关系所提到的“扩大或缩小相同的倍数”，这里所提到的“倍数”，是一般除法中的概念，而不是“整除”范围内的概念。比例中所出现的倍数，所表示的是两个最相比而得到的数，这个数不一定是整数，也可能是小数。在研究“数的整除性”中的倍数，是不允许出现小数的。157.约数可以等于因数吗？在“数的整除性”中， 约数和因数是两个重要的概念。在小学数学“教” 与“学”中，
12、接触因数是在整数乘法时，被乘数与乘数对于积来说，都是因数。约数是在“数的整除性”中出现的，它与倍数是在“整除”概念的前提下，同时建立起来的概念。按照教材中对约数所下的定义：“如果数a 能被数 b 整除，a 就叫做 b 的倍数， b 就叫做 a 的约数。”假设把商定为 c ，其算式为：ab=c 反之bc=a仅从算式来观察，似乎约数与因数已经等同了，实际上并非如此。约数与因数是一个问题在不同范畴内的两种不同提法，两者之间既有联系，也有区别，从上面乘、除法关系的算式中可以看到它们之间的联系，但它们之间的区别则是主要的。以 63 2 为例，6 能够被 3 整除，也能被 2 整除，因此，对 6 来说，3
13、 和 2 都是它的约数。如果换成乘法算式：32=6，对于乘积（6）来说，3 和 2 都是它的因数。由此可见，只有在“整除”的范畴内，才能谈得上约数，而在乘法中，因数早已经存在了。事实上， 6 除了能被 3 和 2 整除外，还能够被 1 和 6 整除，也就是说，6 共有 1、2、3、6 四个约数。至于32=6， 3 和 2 固然是 6 的因数；但 1 6=6， 1 和 6 也是 6 的因数，这是两个不同的乘法算式，因此，绝不能说成 6 有 1、2、3、6 四个因数，否则， 1236=36，其乘积就不是 6 ，而是 36 了。约数与因数的另一个区别，还在于各自的应用范围上。约数的应用范围是有限的，
14、它只存在于“数的整除性”这部分知识当中，为学习“公约数”和“最大公约数”做好基础知识上的准备。因数的应用范围则比较广泛，无论整数、小数、分数、百分数，以及到中学后所接触到的负数，只要出现了乘法，就存在着因数的概念。例如：在小数中2.40.8=1.92 ， 2.4 与 0.8 都是 1.92 的因数。在负数中（ -5 ）7=35， -5 和 7 都是 -35 的因数。凡此种种，都充分说明：约数与因数是两个不同的概念，是不能等同的。158.质数一定是奇数吗？偶数一定是合数吗？质数与奇数，偶数与合数涉及到两组不同的数学概念。质数与合数是相互依存的，奇数与偶数也是相互依存的。因此，质数不一定是奇数，偶
15、数也不一定是合数。这是因为：一个数只有 1 和它本身两个约数的，这样的数叫做质数（也叫做素数）。而不能被 2 整除的数叫做奇数。这两个概念的内涵不同，一般来说，是质数的也都是奇数，如：3、13、29、37。这些数既是质数，也都是奇数。但有一个数是例外的，这就是“2”。 2 的约数只有 1 和它本身，因此，它是质数；但 2 能被 2 整除，不符合奇数的定义，所以，2 不是奇数。按照数学的严密性语言来说：“除 2 以外的质数都是奇数”，这样的判断才是正确的。还必须看到，“除 2 以外的质数都是奇数”这个结论虽然正确无误，但反过来说“除 2 以外，奇数都是质数”则是错误的，如：27、35、143 这
16、些数，虽然都是奇数，但这些数除了 1 和它本身这两个约数外，还有其他约数，如： 27 还有 3 和 9，35 还有 5 和 7，143 还有 11 和 13，都不符合质数的定义，因此，这些数都不是质数。偶数也不一定是合数，因为“能被 2 整除的数叫做偶数”，而合数的定义是：“除了 1 和本身，还有别的约数的，这样的数叫做合数。”这里“2”又是一个重要区分点，2 是偶数，但不是合数，准确的说法是：“除2 以外的偶数都是合数。”与质数和奇数不能反叙述一样，如果说成“除 2 以外的合数都是偶数” 也是错误的。例如：45、87、187这些数都是合数，但都不是偶数。159.最小的偶数是几？偶数概念的出现是在“数的整除性”这部分知识里，在小学数学教材中“数的整除性”一般是限制在自然数范围之内的，由于 0 不是自然数，因此没有涉及到最小偶数是几的问题，但在“教”与“学”中，却常常遇到这个问题，并且说法不一。按照“能被 2 整除的数叫做偶数”的定义，以及一个数个位上是 0 、2、4、6、8 的数就一定能被 2 整除的规律， 0 能够被 2 整除，0 也应该看作是偶数。至于在“教”与“学”中所提出的“最
