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1、新高考数学复习考点知识培优专题讲解专题 21 利用导数解决函数的恒成立问题一、单选题1已知a，b为实数，不等式lnaxbx恒成立，则ba的最小值为（）A2B1C1 D2 【答案】 B 【分析】不等式lnaxbx恒成立，设lnfxxaxb，即0fx恒成立，求出1axfxx，分析得出函数fx的单调区间， 求出函数fx的最大值，从而可得max0fx,即ln1ba，设ln1ag aa，求出g a的最小值即可得出答案. 【详解】设lnfxxaxb，则lnaxbx恒成立等价于max0fx成立，显然0a时不合题意当0a时，11axfxaxx，当10 xa时，0fx，当1xa时，0fx，则fx在10,a上单调
2、递增，在1,a上单调递减，max11ln10fxfbaaln1ba，ln1baaa，令ln1ag aa，则2ln agaa，当01a时，0ga，g a在0,1上单调递减，当1a时，0ga，g a在1,上单调递增，min11g ag，1ba，min1ba，此时1a，1b故选： B 【点睛】关键点睛：本题考查利用导数解决范围问题，求解本题的关键有两点：一是对问题进行等价转化，即设lnfxxaxb，lnaxbx恒成立等价于max0fx成立初步判断出a的取值范围；二是求出ln1baaa之后，构造函数，利用导数求函数的最小值，进而求得ba的最小值属于难题. 2已知函数( )ex bf xax,a bR，
3、且(0)1f，当0 x时，( )cos(1)f xxx恒成立，则a的取值范围为（）A0,B1e,C,eDe,【答案】 B 【分析】由0e1bf，可得0b，从而( )exf xax，从而当0 x时，ecos(1)xaxx恒成立，构造函数e,0,xs xxx，可得min1es xs，结合1x时，cos(1)x取得最大值1，从而ecos(1)xxx的最大值为1e，只需1ea即可 . 【详解】由题意，0e1bf，解得0b，则( )exf xax，则当0 x时，ecos(1)xaxxx，即ecos(1)xaxx恒成立，令e,0,xs xxx，则2e1xxsxx，当0,1x时，0s x，1,x时，0s x
4、，所以s x在0,1上是减函数，在1,是增函数，min1es xs，又因为当1x时，cos(1)x取得最大值1，所以当1x时，ecos(1)xxx取得最大值1e，所以1ea. 故选： B. 【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题关键是将原不等式转化为ecos(1)xaxx，进而求出ecos(1)xxx的最大值，令其小于a即可 .考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题. 3已知函数2sinln6xfxaxxa（0a，且1a） ，对任意1,x20,1x，不等式212fxfxa恒成立，则实数a的最小值是（）A2eBeC3 D2 【答案】 A 【分析】由导数求得fx在0,1上单调
5、递增，求得函数的最值，把任意1,x20,1x，不等式212fxfxa恒成立，转化为maxmin2fxfxa，进而求得a的取值范围，得到最小值 . 【详解】由题意，显然2a，因为函数2sinln6xfxaxxa，可得ln(1)cos()36xfxa ax，又由0,1,2xa，可得ln0,10,cos()036xaax，故0fx，函数fx在0,1上单调递增，故maxmin(1)1ln ,(0)1fxfaa fxf，对任意1,x20,1x，不等式212fxfxa恒成立，即maxmin2fxfxa，所以1ln12aaa，即ln2a，解得2ae，即实数a的最小值为2e. 故选： A. 【点睛】对于利用导
6、数研究不等式的恒成立问题的求解策略：1、通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，从而求出参数的取值范围；2、利用可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题4 对于正数k， 定义函数：,fxfxkg xk fxk.若对函数ln22fxxx， 有g xfx恒成立，则（）Ak的最大值为1ln 2Bk的最小值为1ln 2Ck的最大值为ln 2Dk的最小值为ln 2【答案】 B 【分析】利用导数求出函数fx的最大值，由函数g x的定义结合g xfx恒成立可知fxk，由此可得出k的取值范围，进而可得出合适的选项. 【详解】对于正数k，定义函数：,fxfxkg xk fxk，且g
7、xfx恒成立，则fxk. 函数ln22fxxx的定义域为0,，且111xfxxx. 当01x时，0fx，此时，函数fx单调递增；当1x时，0fx，此时，函数fx单调递减 . 所以，max11ln 2fxf，1ln 2k. 因此，k的最小值为1ln 2. 故选： B. 【点睛】解决导数中的新定义的问题，要紧扣新定义的本质，将问题转化为导数相关的问题，本题将问题转为不等式kfx恒成立，从而将问题转化为求函数fx的最大值 . 5已知函数2( )1(0)f xaxxa，若任意1x，21x，)且12xx都有1212()()1f xf xxx，则实数a的取值范围（）A1，)B(0，1C2 ，)D(0,)【
8、答案】 A 【分析】求出函数的导数，通过讨论a的范围，得到关于a的不等式，解出即可【详解】1212()()1fxf xxx表示函数fx在区间1,上任意两个不同点连线的斜率都大于1，等价于211fxax，1x时恒成立，0a时，0fx，不合题意，0a时，只需21 1ax，即1ax在1，) 恒成立，故max1()1ax，故a的范围是1，) ，故选： A 【点睛】1212()()1fxf xxx表示函数fx在区间1,上任意两个不同点连线的斜率都大于1， 由此考虑利用导数进行求解. 6已知函数221fxaxax，2ln2g xx，若对0,x，fxg x恒成立，则整数a的最小值为（）A1 B2 C3 D4
9、 【答案】B 【分析】0 x，问题变形为22(ln1)2xxaxx在(0,)上恒成立设22(ln1)( )2xxh xxx，用导数求出它的最大值，对最大值估计其范围后可得a的最小整数值【详解】( )( )f xg x即为221axax2ln2x，2(2 )2ln22a xxxx，因为0 x，所以22(ln1)2xxaxx，即22(ln1)2xxaxx在(0,)上恒成立设22(ln1)( )2xxh xxx，则222(1)(2ln)( )(2 )xxxh xxx，令( )2lnp xxx，则( )p x在(0,)上是增函数，(1)10p，111112ln2ln 2ln 4022222p，所以(
10、)p x在1,12上存在唯一零点0 x，即000()2ln0p xxx，01,12x，所以00 xx时，( )0h x，( )h x递增，0 xx时，( )0h x，( )h x递减，所以max0( )()h xh x00022000002ln222122xxxxxxxx，所以01ax，又01(1,2)x，所以a的最小整数值为2故选： B【点睛】关键点点睛：本题考查不等式恒成立问题，解题方法用分离参数法变形为求函数最大值，在求函数最大值时，导函数的零点需要定性分析，估计出范围，利用零点求出函数的最大值，再得出最大值的范围，然后得出所求结论7已知21( )ln2fxaxx，若对任意正实数1212
11、,x xxx，都有12124fxfxxx，则a的取值范围是（）A0,1B4,C0,4D6,【答案】 B 【分析】根据条件12124fxfxxx可变形为112212()4()40f xxf xxxx，构造函数21( )4ln()402g xfxxaxaxx，利用其为增函数即可求解. 【详解】根据1212()()4f xf xxx可知112212()4()40f xxf xxxx，令21( )4ln()402g xfxxaxaxx由112212()4()40f xxf xxxx知( )g x为增函数，所以400,0agxxxax恒成立，分离参数得4axx，而当0 x时，4xx在2x时有最大值为4，
12、故4a. 故选： B. 【点睛】关键点点睛：本题由条件12124fxfxxx恒成立，转化为112212()4()40f xxf xxxx恒成立是解题的关键，再根据此式知函数21( )4ln()402g xfxxa xaxx为增函数，考查了推理分析能力，属于中档题. 二、解答题8已知函数lnfxxnnR. （1）若曲线yfx与直线yx相切，求n的值；（2）若存在00 x，使02200 xfxex成立，求实数n的取值范围 . 【答案】（1）1； （2）, e. 【分析】（1）利用切点和切线的斜率列方程，由此求得n的值 . （2）将已知条件转化为存在00 x，使02200lnxfxex成立，等价于：
13、存在00 x，使02200ln 0 xexnx成立 . 令22ln0 xg xexnxx，2122xgxexxn，令2122xh xgxexxn，22142xh xexn，当0 x时，0h x，故h xgx在0,单调递增，所以102gxgn，当12n时，120gxn，故g x在0,单调递增，所以01lng xgn，由已知1 ln 0n，即ne. 当12n时，102 0 xxexx，2122xxex，2142 0 xxe，所以2122xxex在0,单调递增，所以1102 0 x；所以1101 0 x，故1221 0 xex. 令22 0 xxex x，2221 0 xxe，故2x在0,单调递增，
14、所以2201x，故121ln 22 ln2 0 xex故不存在00 x，使02200ln0 恒成立，然后构造函数31g( )= ln22xxxx，求其最小值可得答案. 【详解】（1）2( )321fxxax，由题意23210 xax的解集为1, 13，即2321=0 xax的两根是1, 13，由此解得=1a. 所以32( )2.f xxxx（2）即不等式22 ln321xxxax对任意 x0 恒成立，即31ln22xaxx对任意 x0 恒成立，令31g( )= ln22xxxx，则2(1)(31)g ( )=2xxxx，令g ( )=0 x，得=1x或13-(舍) 当01x时，( )0g x；
15、当1x时，( )0g x，所以maxg( )(1)2xg，所以实数a 的取值范围是2,. 【点睛】关键点睛：本题第二问考查的是常量分离求参数的取值范围问题，解决的关键是构造函数，利用导数求最值， 如果导函数无法直接判断符号时，可根据导函数解析式的特点以及定义域尝试再求一次求导数，进而通过单调性和关键点（边界点，零点）等确定符号. 18已知函数32( )2.f xxaxx（1）如果函数f（x）的单调递减区间为1, 13，求 f（x）的表达式；（2）若不等式2 ln( )2xxfx恒成立，求实数a 的取值范围 . 【答案】（1）y=9； （2）|1a a或12a. 【分析】（1）求出(3)9f以及
16、 30f，即可求出切线方程； （2）2( )2fxa对任意xR恒成立，等价于2222xxaa对任意xR恒成立，令2( )2g xxx，求出( )g x的最大值，即可求出a的范围 . 【详解】解： （1）3,0ab时，321( )33f xxxx，(3)9f223fxxx， 39630f，0k所以函数( )f x 在3x处的切线方程为：9y（2）因为2( )2fxxxa，由题意得：22( )22fxxxaa对任意xR恒成立，即2222xxaa对任意xR恒成立，设2( )2g xxx，所以22( )2(1)1g xxxx，所以当1x时，( )g x有最大值为1，所以221aa，解得1a或12a，所以，实数a的取值范围为|1a a或12a. 【点睛】本题考查已知恒成立求参数问题，属于基础题. 方法点睛：（1）参变分离（2）fxg a的恒成立问题转化为maxfxg a（3）求出fx在已知范围下函数的值域（4）求解参数a19已知函数321( )( ,)3f xxxaxb a bR. （1）当3,0ab时，求函数( )f x 的在 (3，3f)处的切线方程；（2）若函数( )f x在其图象上任意一
