2002级量子力学期末考试试题和答案B 卷一、 （共 25 分）1、厄密算符的本征值和本征矢有什么特点？（4 分）2、什么样的状态是束缚态、简并态和偶宇称态？（6 分）3、 全同玻色子的波函数有什么特点？并写出两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数4分）4、在一维情况下，求宇称算符P?和坐标x的共同本征函数6 分）5、 简述测不准关系的主要内容， 并写出时间t 和能量E的测不准关系 （5 分）二、 （15分）已知厄密算符BA?,?，满足1?22BA，且0?ABBA，求1、在 A 表象中算符A?、B?的矩阵表示；2、在 A 表象中算符B?的本征值和本征函数；3、从 A 表象到 B 表象的幺正变换矩阵S三、 （15分）线性谐振子在0t时处于状态)21exp(3231)0 ,(22xxx，其中，求1、在0t时体系能量的取值几率和平均值2、0t时体系波函数和体系能量的取值几率及平均值四、 （15分）当为一小量时，利用微扰论求矩阵2330322021的本征值至的二次项，本征矢至的一次项五、 （10 分）一体系由三个全同的玻色子组成, 玻色子之间无相互作用 . 玻色子只有两个可能的单粒子态. 问体系可能的状态有几个? 它们的波函数怎样用单粒子波函数构成 ? 答案：一、 1、厄密算符的本征值是实数，本征矢是正交、归一和完备的。
2、在无穷远处为零的状态为束缚态；简并态是指一个本征值对应一个以上本征函数的情况； 将波函数中坐标变量改变符号， 若得到的新函数与原来的波函数相同，则称该波函数具有偶宇称3、全同玻色子的波函数是对称波函数两个玻色子组成的全同粒子体系的波函数为：)()()()(2112212211S4、宇称算符P?和坐标x的对易关系是：PxxP?2,?，将其代入测不准关系知，只有当0?Px时的状态才可能使P?和x同时具有确定值， 由)()(xx知，波函数)(x满足上述要求，所以)(x是算符P?和x的共同本征函数5、设F?和G?的对易关系k?iF?G?G?F?，k是一个算符或普通的数以F、G和k依次表示F?、G?和k在态中的平均值，令FF?F?，GG?G?，则有4222k)G?()F?(，这个关系式称为测不准关系时间 t 和能量E之间的测不准关系为：2Et二、1、由于1?2A，所以算符A?的本征值是1，因为在 A 表象中，算符A?的矩阵是对角矩阵，所以，在A 表象中算符A?的矩阵是：1001)(?AA设在A 表象中算符B?的矩阵是22211211)(?bbbbAB，利用0?ABBA得：02211bb； 由 于1?2B， 所 以002112bb002112bb10012212112bbbb，21121bb；由于B?是厄密算符，BB?，0101212bb010*12*12bb*12121bb令ieb12，（为任意实常数） 得B?在 A 表象中的矩阵表示式为：00)(?iieeAB2、在 A 表象中算符B?的本征方程为：00iiee即iiee00iiee和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零，即0iiee0121对1有：121iBe，对1有：121iBe所以，在 A 表象中算符B?的本征值是1，本征函数为121ie和121ie3、从 A 表象到 B 表象的幺正变换矩阵就是将算符B?在 A 表象中的本征函数按列排成的矩阵，即1121iieeS三、解： 1、0t的情况：已知线谐振子的能量本征解为：)21(nEn)2, 1 ,0(n，)()exp(!2)(22xHxnxnnn当1 , 0n时有：)exp()(220 xx，)exp()(2)(221xxx于是0t时的波函数可写成：)(32)(31)0,(10 xxx，容易验证它是归一化的波函数，于是0t时的能量取值几率为：31)0,21(0EW，32)0,23(1EW，能量取其他值的几率皆为零。
能量的平均值为：67323110EEE2、0t时体系波函数)23exp()(32)2exp()(31),(10tixtixtx显然，哈密顿量为守恒量，它的取值几率和平均值不随时间改变，故0t时体系能量的取值几率和平均值与0t的结果完全相同四、解：将矩阵改写成：HHH?023032020300020001能量的零级近似为：1)0(1E，2)0(2E，3)0(3E能量的一级修正为：0)1(1E，)1(2E，2)1(3E能量的二级修正为：2)0(3)0(1213)0(2)0(1212)2(14EEHEEHE，222)0(3)0(2223)0(1)0(2221)2(2594EEHEEHE，2)0(2)0(3232)0(1)0(3231)2(39EEHEEHE所以体系近似到二级的能量为：2141E，2252E，23923E先求出0?H属于本征值1、2 和 3 的本征函数分别为：001)0(1，010)0(2，100)0(3，利用波函数的一级修正公式)0()0()0()1(iikikkikEEH，可求出波函数的一级修正为：0102)1(1，302)1(2，0103)1(3近似到一级的波函数为：0211，3122，1303五、解：由玻色子组成的全同粒子体系，体系的波函数应是对称函数。
以iq表示第i)3 ,2, 1(i个粒子的坐标，根据题设，体系可能的状态有以下四个：（1）)()()(312111)1(qs； （2）)()()(322212)2(qs（3）)()()()()()()()()(311221312211322111)3(qCs；（4）)4(s)()()()()()()()()(113222322112312212qC。