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1、材料力学课件Fuzhou University第十三章 能 量 方 法材料力学课件Fuzhou University13. 1 13. 1 概述概述# 外力功：W# 应变能：Ve功能原理：W = Ve(略去其它形式，少量的能量损失）材料力学课件Fuzhou UniversityFl13. 2 13. 2 应变能的计算应变能的计算一、轴向拉伸或压缩一、轴向拉伸或压缩# 轴力 FN 是 x 的函数时# 应变能密度lFllF材料力学课件Fuzhou University二、扭转二、扭转lMeMeMe# 扭矩 T 是 x 的函数时# 纯剪切，应变能密度材料力学课件Fuzhou University三、
2、弯曲三、弯曲# 纯弯曲lqMeMeqqMe材料力学课件Fuzhou University# 横力弯曲对于细长梁，剪力引起的应变能与弯矩引起的应变能相比很小，通常可以忽略不计，省略dM(x)纯弯曲ldxxF1F2FS(x)FS(x)M(x)M(x)+dM(x)dxdq材料力学课件Fuzhou University讨论： 应变能统一写为广义力广义位移（可以代表一个力，一个力偶，一对力或一对力偶）（可以代表一个线位移，一个角位移，一对线位移或一对角位移） 非线性弹性固体FF1F材料力学课件Fuzhou University例1 简支梁，跨中受集中力F 作用，计算其应变能及最大挠度。Fl / 2l /
3、 2Fl / 4max解: 弯矩方程（1）应变能（2）最大挠度材料力学课件Fuzhou University例2 由应变能密度公式，导出横力弯曲时的弯曲应变能和剪切应变能。mdxxn解: mn截面，距中性轴为y 处的应力y材料力学课件Fuzhou UniversitymdxxnyzbhydAy单元体的体积：弯曲应变能：剪切应变能：整个梁的弯曲应变能：材料力学课件Fuzhou UniversitymdxxnyzbhydAy整个梁的弯曲应变能：整个梁的剪切应变能：材料力学课件Fuzhou University横力弯曲时梁的应变能：讨论： k 量纲一的因数矩形截面：圆形截面：bhFl / 2l /
4、2x 对于矩形截面材料力学课件Fuzhou UniversitybhFl / 2l / 2x(i)(ii)l 所以，对细长梁，剪切应变能可忽略不计材料力学课件Fuzhou University13. 3 13. 3 应变能的普遍表达式应变能的普遍表达式一、应变能的普遍表达式一、应变能的普遍表达式F3F1F2l 线弹性体 l 无刚体位移l 广义力 F1 , F2 , F3 l 力作用点沿力的方向的广义位移 1 , 2 , 3 l 比例加载：比例系数 时广义力的大小为:相应的广义位移为:材料力学课件Fuzhou University当 有d 增量时, 位移的增量为:则外力在位移增量上做的功为:积分
5、得到力的总功为:F3F1F2 Fn材料力学课件Fuzhou UniversityF3F1F2 Fn力的总功为:由功能原理，应变能为: 应变能的普遍表达式，又称为克拉贝依隆原理注意： i 是由F1 , F2 , F3 共同作用下产生的位移，可以证明该原理也适用于非比例加载情况材料力学课件Fuzhou University二、组合变形时的应变能二、组合变形时的应变能小变形时，不计FS产生的应变能dxFN(x)M(x)M(x)T(x)T(x)FN(x)材料力学课件Fuzhou University13. 4 互等定理F1111221F2221212两种受力情况，F11111222F221121222
6、F21F1先加 F1 再加 F2 ，加载方式1：先加 F2 再加 F1 ，加载方式2：材料力学课件Fuzhou UniversityF11111222F221121222F21F1先加 F1 再加 F2 ，先加 F2 再加 F1 ，功的互等定理：对于线弹性体，F1 在 F2 引起的位移12上所作的功，等于F2 在F1引起的位移21上所作的功材料力学课件Fuzhou University讨论：位移互等定理：lBAF112lBA12F2如果令 F1 = F2 = F位移互等定理：F力作用在 1 点处引起 2 点处的位移等于其作用在 2 点处引起 1 点处的位移材料力学课件Fuzhou Univer
7、sity例3. 用互等定理求解超静定梁。解：力 位移由功的互等定理lPaCAB0 (at point B)PRBCABX=1CAB材料力学课件Fuzhou University13. 5 卡氏定理以梁弯曲问题为例，推导卡氏定理令第i个载荷发生增量dFi，应变能应变能增量若先加dFi， 应变能再加Fi，应变能增量i材料力学课件Fuzhou Universityi注意到应变能与加载次序无关，消去同类项，略去高阶项，得到卡氏第二定理：线弹性体的应变能 Ve 对第 i 个载荷 Fi 的偏导数Ve/Fi 等于Fi 作用点处沿Fi 作用方向的位移i材料力学课件Fuzhou University讨论：横力弯
8、曲横力弯曲的应变能代入卡氏第二定理交换求导和积分的次序，有材料力学课件Fuzhou University 桁架、拉、压杆设有n 根杆，则应变能为:代入卡氏第二定理材料力学课件Fuzhou University例4. 外伸梁受力如图，已知 P, m, EI, l, a，确定wC, qA解： 弯矩方程AB段：BC段：PBAClamRARBx2x1材料力学课件Fuzhou University 确定C点的挠度 PBAClamRARBx2x1材料力学课件Fuzhou University 确定截面A的转角 PBAClamRARBx2x1材料力学课件Fuzhou University例5. 刚架受力如图
9、所示，试确定qC、Dx，忽略轴力和剪力对应变能的影响。解： 为求qC，在C 处施加一附加力偶矩ma(方向相反)BACDm2aaaACDBmx1x3x2maRDRA材料力学课件Fuzhou UniversityCD段：CB段：AB段：BACDm2aaaACDBmx1x3x2maRDRA材料力学课件Fuzhou University令 BACDm2aaaACDBmx1x3x2maRDRA讨论：可在积分前令材料力学课件Fuzhou UniversityACDBmx1x3x2PaRDRAyRAxBACDm2aaaACDBmx1x3x2maRDRA 为求Dx，在D 处施加一附加力Pa材料力学课件Fuzh
10、ou University(在 mm截面)RPBAmmds例6. 轴线为四分之一圆周的平面曲杆如图示，EI为常量，求B点的垂直和水平位移。解： (1) 计算B点的垂直位移By材料力学课件Fuzhou University（2）计算B点的水平位移RPBAmmdsRPBAmmdsPa材料力学课件Fuzhou University13. 6 虚功原理xu*(x)虚位移u*(x)：满足边界条件和连续性条件的微小位移微小位移 符合小变形要求虚功：杆件上的力由于虚位移而完成的功设想把杆件分成无穷多微段，任取一微段qFSFNM材料力学课件Fuzhou Universityu*(x)FNqFSM总虚功 = 所
11、有微段的内、外力虚功逐段相加（积分）因为虚位移是连续的，两个相邻微段的公共截面的位移和转角是相同的，但相邻微段公共截面上的内力却是大小相等、方向相反的，故它们所作的虚功相互抵消。总虚功 = 外力在虚位移中所做的功广义力：力作用点沿力方向的广义虚位移：总虚功：材料力学课件Fuzhou University+=+d(l)*dq *dl*qFSMu*(x)FN另一方法计算总虚功：刚性虚位移虚变形微段上的平衡力系（包括外力和内力）在刚体虚位移上作功总和为零只有两端截面的内力在虚变形上作功总虚功：材料力学课件Fuzhou University+=+d(l)*dq *dl*qFSMu*(x)FN虚功原理：
12、在虚位移上，外力所作的虚功等于内力在相应虚变形上所作的虚功虚功原理可用于线弹性材料，也可用于非线性弹性材料材料力学课件Fuzhou University13. 7 单位载荷法莫尔积分一、单位载荷法一、单位载荷法aaDAAaaA1为计算刚架上某一点沿某方向的位移D加一单位力把刚架在原有外力作用下的位移作为虚位移由虚功原理其中，为单位力引起的内力为原有外力引起的变形材料力学课件Fuzhou University由虚功原理其中，为单位力引起的内力为原有外力引起的变形# 几种简化的形式 以弯曲变形为主的杆件 拉压杆轴力为常量n 根杆的杆系 扭转材料力学课件Fuzhou University二、莫尔积分
13、二、莫尔积分对于线弹性材料，实际载荷引起的变形分别为则：这些公式统称为莫尔定理，式中的积分称为莫尔积分材料力学课件Fuzhou University式中：加一杠的内力是单位力引起的内力； 未加杠的内力是原外力引起的内力。显然，莫尔积分仅适用于线弹性结构。lBAlBA11l 求相对位移材料力学课件Fuzhou University例7.确定悬臂梁B点的挠度。由莫尔积分，解：xBAxFABlq材料力学课件Fuzhou University解： (1) 在A点作用垂直向下的单位力AB段:BC段:ACFBalEI1EI21ACBx1x2x2x1例8. 刚架受力如图示，各段 EI 已于图中标出，若不计轴
14、力和剪力对位移的影响，求A点的垂直位移及截面B的转角。材料力学课件Fuzhou University由莫尔积分ACFBalEI1EI21ACBx1x2x2x1材料力学课件Fuzhou University(2) 在B截面上作用一单位力偶:AB段:BC段:ACB由莫尔积分 （顺时针）1x1x21ACBx1x2ACFBalEI1EI2x2x1材料力学课件Fuzhou UniversityBAORFFds例9. 活塞环如图示，试计算在F力作用下切口的张开量。解： 对于曲杆可近似用直杆的公式；只考虑弯矩的影响实际载荷的弯矩：由于对称性，计算时弯矩只列写环的一半，计算结果乘2 处截面:在A、B两点沿AB
15、方向加一对方向相反的单位力加单位力 BAOR11材料力学课件Fuzhou UniversityBAORFFdsBAOR11ds单位力的弯矩: 处截面:代入莫尔积分公式实际载荷的弯矩：材料力学课件Fuzhou UniversitylBACDl解： 对杆件编号,如图示BACD12345BACD12345111例10. 简单桁架如图示，各杆EA相同，试计算在图示载荷作用下节点B的水平位移和A、D两节点间的相对位移。12345(1) 计算各杆的轴力2FFF(2) 为计算节点B的水平位移，在B点加一水平单位力材料力学课件Fuzhou UniversitylBACDl123452FFF杆件编号12345B
16、ACD123451111材料力学课件Fuzhou UniversitylBACDl123452FFF(2) 为计算节点B的水平位移，在B点加一水平单位力代入莫尔积分公式BACD123451111(向左) 材料力学课件Fuzhou UniversitylBACDl123452FFFBACD1234511(3) 为计算A、D间的相对位移，在A点和D点沿AD联线作用一对相反的单位力杆件编号12345材料力学课件Fuzhou UniversitylBACDl123452FFFBACD1234511(3) 为计算A、D间的相对位移，在A点和D点沿AD联线作用一对相反的单位力（A D两点距离伸长）材料力学课件Fuzhou University材料力学课件Fuzhou University材料力学课件Fuzhou University材料力学课件Fuzhou University
