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1、 1第6章 傅里叶变换的应用 6.2 模拟滤波器的基本概念与设计方法 6.1 信号的传输与滤波6.3 信号的采样 6.4 调制与解调 6.5 MATLAB在信息处理与通信中的应用 26.1 信号的传输与滤波6.1.1 无失真传输 信号无失真传输是指响应信号与激励信号相比，只有幅度大小和出现时间的不同，而没有波形上的变化。 1. 时域条件- 常数，其中：- 滞后时间线性系统 3 2. 频域条件对式（6.1.1）两边取傅氏变换，得：即6.1.1 无失真传输 4无失真传输系统应满足如下两个条件：（1）系统的幅频特性在整个频率范围内为常数；（2）系统的相频特性在整个频率范围内应与 成线性变化。6.1.
2、2 理想滤波器 理想滤波器是：在通带（pass-band）内，滤波器的幅频特性为常数，相频特性呈线性；而在阻带（stop-band）内，滤波器的幅频特性立即降为零。 6.1.1 无失真传输 51. 理想低通滤波器 理想低通滤波器是将频率低于 的所有信号予以无失真地传输，而将频率高于 的信号完全抑制。或- 截止频率6.1.2 理想滤波器 6（1） 冲激响应F当 时， 的特点：响应超前于激励（非因果系统）6.1.2 理想滤波器 7（2） 阶跃响应令则6.1.2 理想滤波器 8- 正弦积分6.1.2 理想滤波器 9g(t)的特点：1) 响应波形的前沿是倾斜的，响应信号的建立需要一段时间。-阶跃响应的
3、建立（上升）时间6.1.2 理想滤波器 10理想低通滤波器阶跃响应的建立（上升）时间与滤波器的截止频率成反比。6.1.2 理想滤波器 112）响应与激励相比有波纹。 最大波峰的高度约为跳变值的8.95%左右（波峰值为1.0895),它与 无关。 - 吉伯斯现象阶跃响应g(t)的第一个极大值发值发 生在 处，将它代入到式(6.1-8)中，得到阶跃响应的极大值 6.1.2 理想滤波器 12在下述情况下，会产生吉伯斯现象：1）激励有跳变；2）系统的带宽为有限值。6.1.2 理想滤波器 134） 矩形脉冲响应应除了比矩形脉冲输输入延迟迟一段时间时间 t0外，矩形脉冲响应的波形也不再是矩形脉冲，即产生了
4、失真。失真的程度既与理想低通滤波器的频带宽度有关，也与矩形脉冲的频带宽度或脉冲宽度有关。为为矩形脉冲的频带宽频带宽 度 6.1.2 理想滤波器 145）不同 的理想低通滤波器对矩形脉冲的响应 6.1.2 理想滤波器 152理想带通滤波器6.1.2 理想滤波器 16这是以等效低通滤波器的冲激响应为包络的正弦调幅信号。6.1.2 理想滤波器 176.2 模拟滤波器的基本概念与设计方法 6.2.1 系统的物理可实现性从时域上看，一个物理可实现系统的冲激响应h(t)应满足：（即物理可实现的系统一定是因果系统）从频域上看，一个物理可实现系统的频响特性 应满足：- 佩利-维纳准则 （Paley-Winne
5、r criterion） 一个物理可实现的实际滤波器的特性只能是理想特性的最佳逼近。 186.2.2 典型模拟低通滤波器的设计方法通带 过渡带 阻带0 通带公差带阻带公差带通带边界频率阻带边界频率低通滤波器的实际特性： 191. 巴特沃兹（Butterworth）滤波器（最大平坦幅度特性）n=3n=2n=6- 截止频率n - 阶数模拟滤波器的设计步骤：(1) 根据技术指标（滤波器的幅频特性），确定系统函数H(s)；(2) 设计实际网络实现H(s)。6.2.2 典型模拟低通滤波器的设计方法 20 巴特沃兹滤波器的极点分布特征：6.2.2 典型模拟低通滤波器的设计方法 21令即当n为奇数时：当n为
6、偶数时：设 n=2, 则 6.2.2 典型模拟低通滤波器的设计方法 22可以证明：选左半s平面的两个极点 作为H(s)的极点，则一般形式：- 巴特沃兹多项式(参见P189表6.2-1)6.2.2 典型模拟低通滤波器的设计方法 23例6.2-1 如图所示，设计一低通巴特沃思滤波器的系统函数。要求在通带边界频率 = 200 rad/s处，幅度衰减p2 dB，在阻带边界频率 = 400 rad/s处，幅度衰减s15 dB。解：由于通带边界频率处幅度衰减不为3 dB，因此要根据通带和阻带的衰减要求，联立方程。6.2.2 典型模拟低通滤波器的设计方法 24上述两式取等号可求出由于滤波器的阶数n必须是整数
7、，为了满足和超过所给的技术指标，n应取3。 6.2.2 典型模拟低通滤波器的设计方法 25c = 687 rad/s通过查过查 表6.2-1并将s用 代替，最后可得巴特沃思滤波器的系统函数为 得到滤波器的系统函数H(s)后，通常可以采用无源网络或有源网络来实现。 6.2.2 典型模拟低通滤波器的设计方法 262. 切比雪夫(Chebyshew)滤波器第一类切比雪夫滤波器的幅频特性6.2.2 典型模拟低通滤波器的设计方法 27第二类切比雪夫滤波器的幅频特性 除了以上两种滤波器之外，还有椭圆滤波器。椭圆滤波器的幅频特性在通带内和阻带内都具有等波纹特性。 6.2.2 典型模拟低通滤波器的设计方法 2
8、86.2.3 频率变换低通滤波器其它类型滤波器（高通、带通、带阻）（原型低通滤波器）原型变换设计步骤：(1) 根据所设计的滤波器指标要求，导出相应的原型低通指标；(2) 确定原型低通的H(s)；(3) 根据频率变换关系得到所设计的滤波器的H(s)。 29低通滤波器高通滤波器设： 低通滤波器的系统函数 （角频率为 截止角频率为 ） 高通滤波器的系统函数 （角频率为 截止角频率为 ）变换关系：令 有 上式表明：s平面中的虚轴正好映射到p平面的虚轴上，其变换关系为：6.2.3 频率变换 30与 之间的关系：从原型低通滤波器 到高通滤波器 的变换关系为：低通原型滤波器与其它类型滤波器的变换参见表6.2
9、-2。6.2.3 频率变换 316.3 信号的采样 6.3.1 信号采样的概念 所谓“采样”就是利用采样脉冲信号p(t)从连续信号f(t)中“采样”一系列的离散样值，这种离散信号通常称为“采样信号”。 采样后信号fs(t)，可以看成是原信号 f(t)和一采样脉冲序列p(t)的乘积。 326.3.1 信号采样的概念fs(t)取样连续信号f(t)量化、编码数字信号采样脉冲p(t)取样过程方框图取样信号 33 当采样脉冲是周期矩形序列，将这种采样称为矩形脉冲采样或称为自然采样。当采样脉冲是单位冲激序列，这种采样称为冲激采样或理想采样。 6.3.1 信号采样的概念 346.3.2 采样信号的傅里叶变换
10、其中：E令连续信号f(t)的傅里叶变换为采样脉冲p(t)的傅里叶变换为采样后信号fs(t)的傅里叶变换为 35E（1）矩形脉冲采样6.3.2 采样信号的傅里叶变换 366.3.2 采样信号的傅里叶变换 37Fs(j) 是将F(j)在以s 为周期的重复过程中幅度以 的规律变化。由于冲激序列的傅里叶系数Pn为常数，所以F(j)是以s为周期等幅地重复。tp(t)Ts(1)（2）冲激取样6.3.2 采样信号的傅里叶变换 386.3.2 采样信号的傅里叶变换 396.3.3 采样定理 用采样脉冲对连续信号进行采样，采样周期取多大合适呢？并且如何从采样信号中恢复原连续信号？ Fs(j) m- m1/Ts
11、s- s 从上图可知：只有满足 才不会产生频谱混叠，即 保留了原连续时间信号的全部信息。这时只要将 施加于“ 理想低通滤波器”，就可恢复原信号f(t) 。 40当时时，将产产生混叠 6.3.3 采样定理 41 时域采样定理：一个频谱受限的信号 f(t)，如果频谱只占据 -m m的范围，则信号 f(t)可以用等间隔的采样值来唯一地表示。而采样间隔必须小于1/(2fm) (其中m=2fm），或者说，最低采样频率为2fm。 通常把最低允许的采样率称为奈奎斯特采样率，把最大允许的采样间隔称为奈奎斯特间隔。即或：6.3.3 采样定理 42 实际上，理想低通滤波器是不可能实现的。另一方面，实际被传输的信号
12、，一般不是频带受限信号。 采样信号通过实际低通滤波器 非频谱受限信号采样后频谱的混叠现象 6.3.3 采样定理 436.3.4 从采样信号恢复连续信号 为为了从频谱频谱 中无失真地选出 ，可以将采样信号通过一理想低通滤波器，其频率特性为其中 从频频域角度讲讲，滤滤波器输输出端的频谱频谱就是与相乘。 滤滤波器的输输出端可以得到频谱为频谱为的连续连续 信号 44下面再从时时域角度来看如何由采样样信号 恢复6.3.4 从采样信号恢复连续信号 45若取 上式说说明，连续连续 信号 f(t) 可以展开成正交抽样函数（Sa函数）的无穷级数，级数的系数等于采样值6.3.4 从采样信号恢复连续信号 466.3
13、.4 从采样信号恢复连续信号 47解:（ 1）奈奎斯特采样率为：例6.3-1：已知信号 用 对其进行采样，（1）确定奈奎斯特采样率； （2）若取 求采样信号 并画出波形图；（3）求 并画出频谱图；（4）确定低通滤波器的截止频率F6.3.4 从采样信号恢复连续信号 48（2）6.3.4 从采样信号恢复连续信号 49（3）（4）即低通滤波器的截止频率 应满足下式：6.3.4 从采样信号恢复连续信号 50解: 首先求出对应对应 于的单单脉冲信号 的傅氏变换变换例6.3-2：大致画出下图所示周期矩形信号 冲激采样后信号的频谱。 被间隔为Ts的冲激序列所取样，令采样后的信号为 , 求其傅里叶变换。6.3
14、.4 从采样信号恢复连续信号 51若f0(t) 以T1为周期重复，构成其中：6.3.4 从采样信号恢复连续信号 52所以6.3.4 从采样信号恢复连续信号 53若被间间隔为为的冲激序列所采样样，便构成了周期矩形采样信号6.3.4 从采样信号恢复连续信号 546.3.4 从采样信号恢复连续信号 556.4 调制与解调 6.4.1 调制的概念及调制的分类1. 调制的目的（1）便于信号的辐射（2）便于多路通信2. 调制的分类（1）按调制信号g(t)的不同进行分类 a ）模拟调制：g(t)为模拟信号。典型波形为单频正弦波。 b）数字调制：g(t)为数字信号。典型代表为二进制数字脉 冲序列。（2）按载波
15、信号c(t)的不同进行分类 a ）连续波调制：c(t)为连续波形。典型代表为正弦波。 b）脉冲调制：c(t)为脉冲波形。典型代表为矩形脉冲序列。 56（3）按调制器的功能不同进行分类 a ）幅度调制（调幅）：g(t)改变c(t)的幅度参数（即：载 波c(t)的幅度随g(t)成比例地变化）。如：常规调幅 （AM)、脉冲调幅(PAM)、抑制载波调幅(SC-AM)等。 b ）频率调制（调频）：g(t)改变c(t)的频率参数（即：载 波c(t)的频率随g(t)成比例地变化）。如：调频（FM)、 脉冲调频(PFM)等。 c ）相位调制（调相）：g(t)改变c(t)的相位参数（即：载 波c(t)的相位随g
16、(t)成比例地变化）。如：调相（PM)、 脉冲调相(PPM)等。调频与调相都表现为总相角受到调制，所以总称为角度调制（调角）。幅度调制为线性调制，角度调制为非线性调制。6.4.1 调制的概念及调制的分类 576.4.2 调幅信号的傅里叶变换- 调制信号- 载波信号- 已调制信号调幅的一般模型根据g(t)与c(t)的不同，可分为以下几种情况： 581. 常规调幅（AM）- g(t)中的直流分量- g(t)中载有信息的交变分量为讨论问题方便起见，设 则 由式（6.4-5）可知，在f(t)上增加一直流项A0，相当于在乘法器的输出中增加一与调制信号无关的载波项（不含任何信息）6.4.2 调幅信号的傅里叶变换 59反相点过调制失真AM调制不失真的条件是：6.4.2 调幅信号的傅里叶变换 60设：FFF6.4.2 调幅信号的傅里叶变换 61F 把若干个要传送的信号分别搬移到不同的载频上，就可以在同一信道内同时传送几个信号。用这种办法构成的一个通信系统称为频分多路复用（FDM，frequency-division multiplex）系统。6.4.2 调幅信号的傅里叶变换 622. 双边带抑制载波调
