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1、1.1 数制与数制转换 所谓“数制”，指进位计数制，即用进位的方法来计数.数制包括计数符号（数码）和进位规则两个方面。常用数制有十进制、十二进制、十六进制、六十进制等。第1章 数字逻辑电路基础 1.1.1 十进制(1) 计数符号: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.(2)进位规则: 逢十进一.例: 1987.45=1103 +9102 + 8101 + 7100 +410-1 +510-2(3) 十进制数按权展开式权 系数1.1.2. 二进制(1) 计数符号: 0, 1 .(2)进位规则: 逢二进一.(3) 二进制数按权展开式1）数字装置简单可靠；2）二进制数运算规则简
2、单； 3）数字电路既可以进行算术运算，也可以进行逻辑运算.数字电路中采用二进制的原因：1.1.3.十六进制和八进制十六进制数计数符号: 0,1, .,9,A,B,C,D,E,F.十六进制数进位规则: 逢十六进一.按权展开式：例:八进制数计数符号: 0,1, . . .6,7.八进制数进位规则: 逢八进一.按权展开式：例:1.1.4. 二进制数与十进制数之间的转换1 二进制数转换为十进制数(按权展开法)例：=11.625例： 数制转换还可以采用基数连乘、连除等方法.2 十进制数转换为二进制数(提取2的幂法)(3) 二-八转换:57(4) 八-二转换: 每位 8 进制数转换为相应 3 位二进制数0
3、11 001 . 100 111每 3 位二进制数相当一位 8 进制数011 111 101. 110 1000002341. 0621.1.5 二进制数与八进制之间的转换1.2 几种简单的编码 用四位二进制代码来表示一位十进制数码,这样的代码称为二-十进制码,或BCD码. 四位二进制有16种不同的组合,可以在这16种代码中任选10种表示十进制数的10个不同符号,选择方法很多.选择方法不同,就能得到不同的编码形式.1.2.1二 - 十进制码 (BCD码) 常见的BCD码有8421码、5421码、2421码、余3码等。十进进制数8421码码5421码码2421码码余3码码000000000000
4、00011100010001000101002001000100010010130011001100110110401000100010001115010110001011100060110100111001001701111010110110108100010111110101191001110011111100常用BCD码 1 有权BCD码：每位数码都有确定的位权的码， 例如：8421码、5421码、2421码. 如: 5421码1011代表5+0+2+1=8; 2421码1100代表2+4+0+0=6. * 5421BCD码和2421BCD码不唯一. 例: 2421BCD码0110也可表
5、示6 * 在表中： 8421BCD码和代表09的二进制数一一对应； 5421BCD码的前5个码和8421BCD码相同，后5个码在前5个码的基础上加1000构成，这样的码，前5个码和后5 个码一一对应相同，仅高位不同； 2421BCD码的前5个码和8421BCD码相同，后5个码以中心对称取反,这样的码称为自反代码.例：40100 5101100000 911112 无权BCD码：每位数码无确定的位权，例如：余3码. 余3码的编码规律为: 在8421BCD码上加0011,例 6的余3码为: 0110+0011=1001格雷码和四位二进制码之间的关系:设四位二进制码为B3B2B1B0,格雷码为R3R
6、2R1R0,则R3=B3,R2=B3B2R1=B2 B1R0=B1 B0其中,为异或运算符,其运算规则为:若两运算数相同,结果为“0”;两运算数不同,结果为“1”. 1.2.2. 格雷码(Gray码) 格雷码为无权码,特点为：相邻两个代码之间仅有一位不同,其余各位均相同.具有这种特点的代码称为循环码,格雷码是循环码.1.4 逻辑代数中的逻辑运算 研究数字电路的基础为逻辑代数，由英国数学家George Boole在1847年提出的，逻辑代数也称布尔代数. 在逻辑代数中,变量常用字母A,B,C,Y,Z, a,b,c,x.y.z等表示，变量的取值只能是“0”或“1”. 逻辑代数中只有三种基本逻辑运算
7、,即“与”、“或”、“非”。1. 与逻辑运算 定义：只有决定一事件的全部条件都具备时，这件事才成立；如果有一个或一个以上条件不具备，则这件事就不成立。这样的因果关系称为“与”逻辑关系。 与逻辑电路状态表开关A状态 开关 B状态 灯F状态 断 断 灭 断 合 灭 合 断 灭 合 合 亮与逻辑电路1.4.1 基本逻辑运算若将开关断开和灯的熄灭状态用逻辑量“0”表示;将开关合上和灯亮的状态用逻辑量“1”表示,则上述状态表可表示为: 与逻辑真值表A B F=A B0 0 00 1 01 0 01 1 1&ABF=AB与门逻辑符号与门的逻辑功能概括：1）有“0”出“0”；2）全“1”出“1”。 2. 或
8、逻辑运算 定义：在决定一事件的各种条件中,只要有一个或一个以上条件具备时，这件事就成立;只有所有的条件都不具备时,这件事就不成立.这样的因果关系称为“或”逻辑关系。 或逻辑真值表A B F=A+ B0 0 00 1 11 0 11 1 1或逻辑电路1ABF=A+B或门逻辑符号或门的逻辑功能概括为:1) 有“1”出“1”;2) 全“0” 出“0”. 3. 非逻辑运算 定义:假定事件F成立与否同条件A的具备与否有关,若A具备,则F不成立;若A不具备,则F成立.F和A之间的这种因果关系称为“非”逻辑关系.1AF=A 非门逻辑符号 非逻辑真值表 A F=A 0 1 1 0与门和或门均可以有多个输入端.
9、非逻辑电路1.4.2 复合逻辑运算1. 与非逻辑 (将与逻辑和非逻辑组合而成) 与非逻辑真值表A B F=A B0 0 10 1 11 0 11 1 0&ABF=AB与非门逻辑符号2. 或非逻辑 (将或逻辑和非逻辑组合而成) 或非逻辑真值表A B F=A +B0 0 10 1 01 0 01 1 01ABF=A+B或非门逻辑符号3.与或非逻辑 (由与、或、非三种逻辑组合而成）与或非逻辑函数式：F=AB+CD与或非门的逻辑符号1&ABCDF=AB+CD 异或逻辑真值表A B F=A B0 0 00 1 11 0 11 1 0=1ABF=A B异或门逻辑符号异或逻辑的功能为:1) 相同得“0”;2
10、) 相异得“1”.4.异或逻辑异或逻辑的函数式为： F=AB+AB = A B=AB同或门逻辑符号F=A B. 同或逻辑 真值表A B F=A B0 0 10 1 01 0 01 1 1.对照异或和同或逻辑真值表,可以发现: 同或和异或互为反函数,即: A B = A B.5.同或逻辑同或逻辑式为:F = A B + A B =A B.表1.15给出了门电路的几种表示方法，本课程中，均采用“国标”。国外流行的电路符号常见于外文书籍中，特别在我国引进的一些计算机辅助分析和设计软件中，常使用这些符号。1.4.3 正逻辑与负逻辑 门电路的输入、输出为二值信号,用“0”和“1”表示.这里的“0”、“1
11、”一般用两个不同电平值来表示. 若用高电平VH表示逻辑“1”,用低电平VL表示逻辑“0”,则称为正逻辑约定,简称正逻辑; 若用高电平VH表示逻辑“0”,用低电平VL表示逻辑“1”,则称为负逻辑约定,简称负逻辑. 对一个特定的逻辑门,采用不同的逻辑表示时,其门的名称也就不同. 正负逻辑转换举例 电平真值表 正逻辑(与非门) 负逻辑(或非门) Vi1 Vi2 Vo A B Y A B Y VL VL VH 0 0 1 1 1 0 VL VH VH 0 1 1 1 0 0 VH VL VH 1 0 1 0 1 0 VH VH VL 1 1 0 0 0 11.5 逻辑代数的基本定律和规则1.5.1 逻
12、辑函数的相等 因此,如两个函数的真值表相等,则这两个函数一定相等. 设有两个逻辑:F1=f1(A1,A2,An) F2=f2(A1,A2,An) 如果对于A1,A2,An 的任何一组取值(共2n组), F1 和 F2均相等,则称F1和 F2相等.自等律 A 1=A ; A+0=A 重迭律 A A=A ; A+A=A 交换律 A B= B A ; A+B=B+A结合律 A(BC)=(AB)C ; A+(B+C)=(A+B)+C分配律 A(B+C)=AB+AC ; A+BC=(A+B)(A+C)反演律 A+B=AB ; AB=A + B 1.5.2 基本定律 01律 A 0=0 ; A+1=1互补
13、律 A A=0 ; A+A=1还原律 A = A=反演律也称德摩根定理,是一个非常有用的定理.1.5.3 逻辑代数的三条规则 (1) 代入规则 任何一个含有变量x的等式,如果将所有出现x的位置,都用一个逻辑函数式F代替,则等式仍然成立.例: 已知等式 A+B=A B ,有函数式F=B+C,则 用F代替等式中的B, 有 A+(B+C)=A B+C 即 A+B+C=A B C 由此可以证明反演定律对n变量仍然成立. 设F为任意逻辑表达式,若将F中所有运算符、常量及变量作如下变换： + 0 1 原变量 反变量 + 1 0 反变量 原变量 则所得新的逻辑式即为F的反函数，记为F。例 已知 F=A B
14、+ A B, 根据上述规则可得： F=(A+B)(A+B)(2) 反演规则例 已知 F=A+B+C+D+E, 则F=A B C D E由F求反函数注意：1）保持原式运算的优先次序；2）原式中的不属于单变量上的非号不变； (3) 对偶规则 设F为任意逻辑表达式,若将F中所有运算符和常量作如下变换： + 0 1 + 1 0 则所得新的逻辑表达式即为F的对偶式，记为F.F=(A+B)(C+D)例 有F=A B + C D例 有 F=A+B+C+D+EF=A B C D E 对偶是相互的,F和F互为对偶式.求对偶式注意： 1） 保持原式运算的优先次序；2）原式中的长短“非”号不变；3）单变量的对偶式为
15、自己。 对偶规则：若有两个逻辑表达式F和G相等，则各自的对 偶式F和G也相等。使用对偶规则可使得某些表达式的证明更加方便。已知 A(B+C)=AB+ACA+BC=(A+B)(A+C)对偶关系例 ：一个四输入变量的逻辑函数F的反函数为求F=思考题：F(A,B,C) =AB+AC 与或式=(A+C)(A+B) 或与式=ABAC 与非与非式=A+C+A+B 或非或非式=AB+AC 与或非式1.6 逻辑函数的标准形式1.6.1 常用的逻辑函数式1 最小项和标准与或式 （1）最小项特点最小项是“与”项。 n个变量构成的每个最小项，一定是包含n个因子 的乘积项； 在各个最小项中，每个变量必须以原变量或反变
16、 量形式作为因子出现一次，而且仅出现一次。1.6.3 标准与或和标准或与式例 有A、B两变量的最小项共有四项(22)：A BA BA BA B例 有A、B、C三变量的最小项共有八项(23)：ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC、ABC（2） 最小项编号 任一个最小项用 mi 表示，m表示最小项，下标 i 为使该最小项为1的变量取值所对应的等效十进制数。例 ： 有最小项 A B C,要使该最小项为1，A、B、C的取值应为0、1、1，二进制数 011所等效的十进制数为 3，所以ABC = m3(3) 最小项的性质 变量任取一组值，仅有一个最小项为1，其他最小项为 零； n变量的全体最小项之和为1； 不同的最小项相与，结果为0； 两最小项相邻，相邻最小项相“或”，可以合并成一 项，并可以消去一个变量因子。相邻的概念： 两最小项如仅有一个变量因子不同，其他变量均相同，则称这两个最小项相邻.相邻最小项相“或”的情况：例： A B C+A B C =A B思考题：任一 n 变量的最小项，有几个相邻项？最小项之和式为“与或”式，例：=m(2 , 4 , 6)=(2 , 4 , 6)
