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1、湖南省益阳市东山中学2020-2021学年高一数学文下学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若数列an满足（，d为常数）,则称数列an为“调和数列”.已知数列为调和数列，且，则的最大值是（ ）A. 50B. 100C. 150D. 200参考答案：B【分析】根据调和数列定义知为等差数列，再由前20项的和为200知，最后根据基本不等式可求出的最大值。【详解】因为数列为调和数列，所以，即为等差数列又， 又大于0所以【点睛】本题考查了新定义“调和数列”的性质、等差数列的性质及其前n项公式、基本不等式的性质，属于
2、难题。2. 已知点P（x，3）是角终边上一点，且cos=，则x的值为（）A5B5C4D4参考答案：D【考点】任意角的三角函数的定义【分析】由P（x，3）是角终边上一点，且cos=，利用任意角的三角函数的定义可得cos=，即可求出x的值【解答】解：P（x，3）是角终边上一点，且cos=，cos=，x=4故选：D3. 若 ( )A B C D参考答案：A4. 已知0，且tan ，则cos 等于（ ）参考答案：D5. （3分）已知函数f（x）=lgx，若对任意的正数x，不等式f（x）+f（t）f（x2+t）恒成立，则实数t的取值范围是（）A（0，4）B（1，4C（0，4D，参考答案：C故选：C点评：
3、本题考查的知识点是对数函数的图象和性质，二次函数的图象和性质，恒成立问题，难度中档6. 集合A=0，1,2，B=，则=A.0 B.1 C.0，1 D.0，1,2参考答案：C7. = （ ）A. 2B. C. D. 1参考答案：B【分析】直接根据两角和正切公式的变形形式，整理即可得到答案.【详解】，所以，所以原式，故选B.8. 直线xy+4=0被圆（x+2）2+（y2）2=2截得的弦长等于（）ABCD参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系【专题】计算题；规律型；转化思想；直线与圆【分析】利用圆心到直线的距离，半弦长，半径的关系，求解即可【解答】解：圆的圆心到直线xy+4=0的距离为： =0直线被
4、圆（x+2）2+（y2）2=2截得的弦长等于圆的直径：2故选：B【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，考查计算能力9. 下列函数图象关于原点对称的有（ ）； . A B C D 参考答案：D略10. 在ABC中，若A=30，B=60，b=，则a等于（）A3B1C2D参考答案：B【考点】余弦定理【分析】由条件利用正弦定理求得a的值【解答】解：ABC中，A=30，B=60，b=，由正弦定理可得=， =，a=1，故选：B【点评】本题主要考查正弦定理的应用，属于基础题二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. log21=参考答案：0考点： 对数的运算性质专题： 规律型分析： 根据非
5、0的0指数次幂为1及指数式化对数式得结果解答： 解：由指数函数定义20=1，所以log21=0故答案为0点评： 本题考查了对数的运算性质，考查了指数式与对数式的互化，是基础题12. 为了得到函数)的图象，只需把函数的图象向右平移个_长度单位.参考答案：13. 已知正四棱台的上下底面边长分别为2，4，高为2，则其斜高为 。参考答案：略14. 已知，那么的取值范围是 ；参考答案：或15. 已知x，求函数y=4x2+的最小值是 参考答案：5【考点】基本不等式【分析】变形利用基本不等式的性质即可得出【解答】解：x，4x50函数y=4x2+=（4x5）+3=5，当且仅当4x5=1，即x=时取等号函数y=
6、4x2+的最小值是5故答案为：516. 我国计划GDP从2000年至2010年翻一番，则平均每年的增长率是 参考答案：17. 设集合A=x|x23x+2=0，集合B=x|x24x+a=0，a为常数，若B?A，则实数a的取值范围是：参考答案：a4【考点】集合的包含关系判断及应用 【专题】集合【分析】先求出集合A中的元素，结合集合A和B的关系，通过讨论B中的元素得到关于a的方程，解出即可【解答】解：集合A=x|x23x+2=0=1，2，集合B=x|x24x+a=0，a为常数，若B?A，则B是?时：=164a0，解得：a4，B=1时：则14+a=0，解得：a=3，a=3时：解得B=1，3，不合题意，
7、B=2时：则48+a=0，解得：a=4，综上：实数a的取值范围是：a4故答案为：a4【点评】本题考查了集合之间的关系，考查二次函数问题，分类讨论，是一道基础题三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （1）设函数，求证：函数f（x）在（，+）上是增函数；（2）若f（x）=（log4x3）?log44xm在区间1，2上恒成立，求实数m的取值范围参考答案：【考点】函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明【分析】（1）由，可求得f（x）=0，可证得函数f（x）在（，+）上是增函数；（2）依题意，可求得当x1，2时，f（x）min=，f（x）=（log4x3）
8、?log44xm在区间1，2上恒成立?mf（x）min，从而可求得实数m的取值范围【解答】解：（1）证明：，f（x）=0，函数f（x）在（，+）上是增函数；（2）1x2，0log4x，又f（x）=（log4x3）?log44x=（log4x3）?（1+log4x）=2log4x3=（log4x1）24，当x=2，log4x=时，f（x）取得最小值，为f（2）=，f（x）m在区间1，2上恒成立?mf（x）min=，即实数m的取值范围为（，）19. （本小题满分13分）在等差数列中，。（）求数列的通项公式；（）设的前项和为。若,求。参考答案：（）解：设等差数列的公差为。依题意，得。【4分】解得，。
9、【6分】所以数列的通项公式为。【8分】（）解：。【10分】令，即。【12分】解得，或（舍去）。【13分】20. 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况，在一般情况下，大桥上的车流速度v（单位：千米/小时）是车流密度x（单位：辆/千米）的函数，当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时，车流速度为60千米/小时，研究表明：当20x200时，车流速度v是车流密度x的一次函数（）当0x200时，求函数v（x）的表达式；（）当车流密度x为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/小时）f（x）=x?v（x）可以达到最
10、大，并求出最大值（精确到1辆/小时）参考答案：【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用 【专题】应用题【分析】（）根据题意，函数v（x）表达式为分段函数的形式，关键在于求函数v（x）在20x200时的表达式，根据一次函数表达式的形式，用待定系数法可求得；（）先在区间（0，20上，函数f（x）为增函数，得最大值为f=1200，然后在区间20，200上用基本不等式求出函数f（x）的最大值，用基本不等式取等号的条件求出相应的x值，两个区间内较大的最大值即为函数在区间（0，200上的最大值【解答】解：（） 由题意：当0x20时，v（x）=60；当20x200时，设v（x）=ax+b再
11、由已知得，解得故函数v（x）的表达式为（）依题并由（）可得当0x20时，f（x）为增函数，故当x=20时，其最大值为6020=1200当20x200时，当且仅当x=200x，即x=100时，等号成立所以，当x=100时，f（x）在区间在区间0，200上取得最大值为，即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时答：（） 函数v（x）的表达式（） 当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大值，最大值约为3333辆/小时【点评】本题主要考查函数、最值等基础知识，同时考查运用数学知识解决实际问题的能力，属于中等题21. 已知函数f(x)=2tan(x+)(0)
12、的最小正周期为（）求函数f（x）的定义域；（）求函数f（x）的单调区间参考答案：【考点】三角函数的周期性及其求法；函数y=Asin（x+）的图象变换【分析】（）根据正切函数的周期公式求出函数的表达式，即可求函数f（x）的定义域；（）根据正切函数的单调性即可求函数f（x）的单调区间【解答】解：（）由已知，=2，所以，由，解得，所以函数的定义域为（）由，解得，所以函数f（x）的单调递增区间为，其中kZ22. 已知函数且（1）求的值（2）判定的奇偶性（3）用定义证明在上为增函数参考答案：解：（1）.2分 （2）由（1）问知 的定义域为.1分 又 为奇函数 .2分（3）证明：任取且.1分 则.2分 .1分 即 故函数在上为增函数.1分
