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1、湖南省湘西市毛沟中学2020年高三数学理模拟试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 下列说法中不正确的是（ ）A“所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电”这种推理属于演绎推理B已知数据的方差是4，则数据的标准差是6C用相关指数R2来刻画回归效果，R2的值越小，说明模型的拟合效果越好D若变量和之间的相关系数，则变量和之间具有很强的线性相关关系参考答案：C2. 如图，网格纸的小正方形的边长是1，粗线画出的是一个几何体的三视图，则这个几何体的体积为（）ABC2+D3+参考答案：B【考点】由三视图求面积、体积【分析】根据
2、几何体的三视图，得出该几何体是三棱柱与长方体的组合体，结合图中数据即可求出它的体积【解答】解：根据几何体的三视图，得；该几何体是上部为三棱柱，下部为长方体的组合体，且三棱柱的底面为底面边长是1，底边上的高是1，三棱柱的高是3，长方体的底面是边长为1的正方形，高是2；所以该几何体的体积为V=V三棱柱+V长方体=113+112=故选：B3. 设全集，集合，集合，则=（ ）A B C D参考答案：A4. 已知函数 f(x)=sin(x+)（其中0）图象的一条对称轴方程为x=，则的最小值为（）A2B4C10D16参考答案：B【考点】正弦函数的图象【分析】由题意利用正弦函数的图象的对称性可得?+=k+，
3、kZ，由此求得的最小值【解答】解：根据函数（其中0）图象的一条对称轴方程为x=，可得?+=k+，kZ，即=12k+4，故的最小值为4，故选：B【点评】本题主要考查正弦函数的图象的对称性，属于基础题5. 如图，已知幂函数yxa的图象过点P(2,4)，则图中阴影部分的面积为()A. B. C. D. 参考答案：B略6. 已知函数若关于的函数有8个不同的零点，则实数的取值范围是（ ）A B C D参考答案：B略7. 已知集合A=x|x=2nl，nZ，B=x|x2一4x0，则AB=（ ）A1 Bx|1x4 C1,3 D1，2，3，4参考答案：C先解不等式，集合.由题意知集合A表示奇数集，所以AB，故选
4、C。8. 设函数是定义在上的偶函数，对任意的都有，则满足上述条件的可以是( )A B CD参考答案：C9. 设方程和方程的根分别为，若函数，则 A. B.C. D.参考答案：B10. 如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，侧棱垂直于底面，底面是边长为2的正三角形，侧棱长为3，则BB1与平面AB1C1所成的角是( )ABCD参考答案：A考点：直线与平面所成的角 专题：计算题分析：以B为坐标原点，建立空间直角坐标系，利用与平面AB1C1所的一个法向量 的夹角，求出则BB1与平面AB1C1所成的角解答：解：以B为坐标原点，以与BC垂直的直线为x轴，BC为y轴，建立空间直角坐标系，则A（，1，0），B1
5、（0，0，3），C1（0，2，3），=（，1，3），=（0，2，0），=（0，0，3）设平面AB1C1所的一个法向量为=（x，y，z）则即，取z=1，则得=（，0，1），cos，=，BB1与平面AB1C1所成的角的正弦值为，BB1与平面AB1C1所成的角为故选A点评：本题考查线面角的计算，利用了空间向量的方法要注意相关点和向量坐标的准确性，及转化时角的相等或互余关系二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 抛物线上一点N到其焦点F的距离是3，则点N到直线y=1的距离等于 。参考答案：答案： 12. 等差数列an中，Sn为其前n项和，若a5=10，S5=30，则+=参考答案：【考
6、点】数列的求和；等差数列的前n项和【专题】方程思想；转化思想；等差数列与等比数列【分析】设等差数列an的公差为d，由a5=10，S5=30，可得，解得a1，d可得Sn，再利用“裂项求和”方法即可得出【解答】解：设等差数列an的公差为d，a5=10，S5=30，解得a1=d=2Sn=n（n+1），=则+=+=1=故答案为：【点评】本题考查了等比数列与等差数列的通项公式、“裂项求和”方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题13. 椭圆，参数的范围是）的两个焦点为、，以为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的另两条边，且，则等于 参考答案：14. 函数y=cos2xsin2x的最小正周期T=参考答
7、案：【考点】二倍角的余弦；三角函数的周期性及其求法【专题】计算题；三角函数的求值【分析】先利用二倍角的余弦化简，再求出函数y=cos2xsin2x的最小正周期【解答】解：y=cos2xsin2x=cos2x，函数y=cos2xsin2x的最小正周期T=故答案为：【点评】本题考查二倍角的余弦公式，考查学生的计算能力，属于基础题15. 已知函数的图像恒过定点，又点的坐标满足方程，则的最大值为 .参考答案：16. 已知向量,，且与的夹角为，若，则实数的取值范围是 参考答案：17. 已知实数x，y满足则的取值范围为 参考答案：作出可行域:观察可知：，易得：,故，故答案为：三、 解答题：本大题共5小题，
8、共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 双曲线与椭圆有相同焦点，且离心率之和为，求双曲线方程。参考答案：解：由题可知椭圆的左右焦点分别为：F1（0，-4）F2（0,4）c=44分 设椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2 ，则e1=，又，e2=2，a2=28分 10分 。12分19. 已知函数，设为的导数，（1）求，； （2）猜想的表达式，并证明你的结论参考答案：（1），其中， 1分，其中， 3分（2）猜想， 4分下面用数学归纳法证明：当时，成立， 假设时，猜想成立即 当时，当时，猜想成立由对成立 10分20. （本小题满分14分） 已知数列的前项和为，通项满足（是常数，且）。
9、（）求数列的通项公式； （）当时，证明； （）设函数，若对都成立，求正整数的值。参考答案：解：（）由题意，得所以1分 当时，所以 2分 故数列是以为首项，公比为的等比数列 所以 4分（）由（）知，当时， 所以 7分（）因为所以 9分 所以 所以 11分 由对都成立，即对都成立 须有 而当时，随的增大而增大 所以 13分 又为正整数，所以的值为1,2,3 所以使对都成立的正整数的值为1,2,3. 14分略21. 某企业为确定下一年投入某种产品的研发费用，需了解年研发费用x（单位：千万元）对年销售量y（单位：千万件）的影响，统计了近10年投入的年研发费用与年销售量的数据，得到散点图如图所示：（）利
10、用散点图判断，和（其中c，d为大于0的常数）哪一个更适合作为年研发费用x和年销售量y的回归方程类型（只要给出判断即可，不必说明理由）；（）对数据作出如下处理：令，得到相关统计量的值如下表：根据（）的判断结果及表中数据，求y关于x的回归方程；（）已知企业年利润z（单位：千万元）与x，y的关系为（其中），根据（）的结果，要使得该企业下一年的年利润最大，预计下一年应投入多少研发费用？附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计分别为，参考答案：（）由散点图知，选择回归类型更适合；（）；（）要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.【分析】（）根据散点图的特点可知，相关关系更接近于幂函
11、数类型；（）根据所给数据，代入公式求得回归直线方程；（）先求出年利润的表达式，结合不等式特点利用导数可得最值.【详解】（）由散点图知，选择回归类型更适合（）对两边取对数，得，即由表中数据得：， ，年研发费用与年销售量的回归方程为. ()由（）知，令，得，且当时，,单调递增；当时，,单调递减 所以当千万元时，年利润取得最大值，且最大值为千万元.答：要使年利润取最大值，预计下一年度投入27千万元.【点睛】本题主要考查非线性回归方程的求解及决策判断，非线性回归方程一般是转化为线性回归方程求解，侧重考查数学建模和数据分析的核心素养.22. 交强险是车主必须为机动车购买的险种若普通6座以下私家车投保交强
12、险第一年的费用（基准保费）统一为a元，在下一年续保时，实行的是费率浮动机制，保费与上一年度车辆发生道路交通事故的情况相联系，发生交通事故的次数越多，费率也就越高，具体浮动情况如表：交强险浮动因素和浮动费率比率表浮动因素浮动比率 A1上一个年度未发生有责任道路交通事故下浮10%A2上两个年度未发生有责任道路交通事故下浮20%A3上三个及以上年度未发生有责任道路交通事故下浮30%A4上一个年度发生一次有责任不涉及死亡的道路交通事故0%A5上一个年度发生两次及两次以上有责任道路交通事故上浮10%A6上一个年度发生有责任道路交通死亡事故上浮30%某机构为了研究某一品牌普通6座以下私家车的投保情况，随机抽取了60辆车龄已满三年的该品牌同型号私家车的下一年续保时的情况，统计得到了下面的表格：类型A1A2A3A4A5A6数量10 5 5 20 15 5 以这60辆该品牌车的投保类型的频率代替一辆车投保类型的概率，完成下列问题：（）按照我国机动车交通事故责任强制保险条例汽车交强险价格的规定a=950记X为某同学家的一辆该品牌车在第四年续保时的费用，求X的分布列与数学期望值；（数学期望值保留到个位数字）（
