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1、湖南省湘潭市湘锰中学高三数学理期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设不等式组表示的平面区域为D，若指数函数的图象经过区域D，则a的取值范围是（ ）A B C D参考答案：A2. 设复数（是虚数单位），则（ ）A B C D参考答案：C3. 定义运算，若函数在上单调递减，则实数的取值范围是ABCD 参考答案：D略4. 命题“”的否定为（ ）A B C D参考答案：D【知识点】命题及其关系A2的否定为【思路点拨】根据存在量词全称量词关系求得。5. 函数的零点所在的区间为 A(-2，-l) B(-1，0) C(0
2、，1) D(1，2)参考答案：C6. 若a为实数，i，则a等于（A） （B） （C）2 （D）2参考答案：答案：B解析：若a为实数，i，则，a=，选B。7. 已知函数的定义域为，且满足，当时，则函数的大致图象为（ ）A B C D 参考答案：D8. 若复数满足，则复数A B C D参考答案：C9. 函数的图象大致是 （ ）参考答案：答案：B 10. 运行如图所示的程序框图，若输出的点恰有5次落在直线y=x上，则判断框中可填写的条件是A. i6 B. i7 C. i8 D. i9参考答案：D解：i=1,y=0圈数i满足条件Px=1y=1i=2(1,1)不满足Px=0y=1i=3(0,1)不满足P
3、x=-1y=0i=4(-1,0)不满足Px=0y=0i=5(0,0)不满足Px=1y=1i=6(1,1)不满足Px=0y=1i=7(0,1)不满足Px=-1y=0i=8(-1,0)不满足Px=0y=0i=9(0,0)不满足Px=1y=1i=10(1,1)满足P二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的最小值为 参考答案： 12. 函数f(x)lg x2的单调递减区间是_参考答案：【知识点】复合函数的单调性 B3【答案解析】（，0） 解析：方法一：y=lgx2=2lg|x|，当x0时，f（x）=2lgx在（0，+）上是增函数；当x0时，f（x）=2lg（x）在（，0）上是减
4、函数函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（，0）故填（，0）方法二：原函数是由复合而成，t=x2在（，0）上是减函数，在（0，+）为增函数；又y=lgt在其定义域上为增函数，f（x）=lgx2在（，0）上是减函数，在（0，+）为增函数，函数f（x）=lgx2的单调递减区间是（，0）故填（，0）【思路点拨】先将f（x）化简，注意到x0，即f（x）=2lg|x|，再讨论其单调性，从而确定其减区间；也可以函数看成由复合而成，再分别讨论内层函数和外层函数的单调性，根据“同増异减”再来判断13. 设抛物线C：y2=3px（p0）的焦点为F，点M在C上，|MF|=5，若以MF为直径的圆过点（0，2），则
5、C的方程为参考答案：y2=4x或y2=16x【考点】圆的一般方程；抛物线的简单性质【专题】综合题；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】根据抛物线方程算出|OF|=，设以MF为直径的圆过点A（0，2），在RtAOF中利用勾股定理算出|AF|=，再由直线AO与以MF为直径的圆相切得到OAF=AMF，RtAMF中利用AMF的正弦建立关系式，从而得到关于p的方程，解之得到实数p的值，进而得到抛物线C的方程【解答】解：因为抛物线C方程为y2=3px（p0）所以焦点F坐标为（，0），可得|OF|=因为以MF为直径的圆过点（0，2），所以设A（0，2），可得AFAMRtAOF中，|AF|=，所以sinOAF=
6、因为根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于A点，所以OAF=AMF，可得RtAMF中，sinAMF=，因为|MF|=5，|AF|=，所以=，整理得4+=，解之可得p=或p=因此，抛物线C的方程为y2=4x或y2=16x故答案为：y2=4x或y2=16x【点评】本题给出抛物线一条长度为5的焦半径MF，以MF为直径的圆交抛物线于点（0，2），求抛物线的方程，着重考查了抛物线的定义与简单几何性质、圆的性质和解直角三角形等知识，属于中档题14. 已知椭圆的焦点在轴上，一个质点为，其右焦点到直线的距离为3，则椭圆的方程为_ .参考答案：15. 已知函数f（x）=x，若a是从1，2，3三个数中任
7、取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，则使函数f（x）有极值点的概率为 参考答案：考点：利用导数研究函数的极值；古典概型及其概率计算公式 专题：综合题；导数的综合应用分析：根据f（x）有极值，得到f（x）=0有两个不同的根，求出a，b的关系，根据古典概型求出概率即可解答：解：函数f（x）=x有两个极值点，f（x）=x2+2ax+b2有两个不同的根，即判别式=4a24b20，即当ab，该函数有两个极值点，a从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数的基本事件有9种，满足ab的基本事件有（1，0），（2，0），（2，1），（3，0），（3，1），（3，2）共
8、6种，故函数有两个极值点的概率为P=故答案为：点评：本题主要考查古典概型的概率的计算，利用函数取得极值的条件求出对应a，b的关系是解决本题的关键16. 若对恒成立，则实数的取值范围是 .参考答案： 17. 已知：。若同时满足条件0或0，则m的取值范围是 参考答案：（-4，-2）略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知椭圆的一个焦点与上、下顶点构成直角三角形，以椭圆C的长轴长为直径的圆与直线相切.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设过椭圆右焦点且不平行于x轴的动直线与椭圆C相交于A，B两点，探究在x轴上是否存在定点E，使得为定值？若存在，试求出定
9、值和点E的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案：（1）由题意知，解得，则椭圆的方程为.（2）当直线的斜率存在时，设直线,联立，得，.假设轴上存在定点，使得为定值，.要使为定值，则的值与无关，解得，此时为定值，定点为.当直线的斜率不存在时，也满足条件.19. 如图,某市拟在长为的道路的一侧修建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段,该曲线段为函数的图象,且图象的最高点为;赛道的后一部分为折线段.为保证参赛运动员的安全,限定.(1) 求的值和两点间的距离;(2) 应如何设计,才能使折线段线段最长?参考答案：（）依题意，有（1），又，。 （2），当 时， （4）又 （5）（）解法一在MNP中MNP=1
10、20，MP=5，设PMN=，则060由正弦定理得, （7）故（10）060 （11）当=30时，折线段赛道MNP最长，亦即，将PMN设计为30时，折线段道MNP最长 （12）解法二：在MNP中，MNP=120，MP=5，由余弦定理得MNP=即 （7）故，从而，即（10）当且仅当时，折线段道MNP最长 （12）20. 已知.（1）当时，求不等式的解集；（2）设关于的不等式有解，求的取值范围.参考答案：（1）；（2）.【分析】（1）当时，利用零点分段法去绝对值，将转化为分段函数的形式，并由此解出不等式的解集.（2）先利用绝对值不等式求得的最小值，这个最小值小于，由此列不等式，解不等式求得的取值范围
11、.【详解】解：（1）当时，不等式等价于，或，或，解得或，即.所以不等式的解集是.（2）由题意得，因为，故.【点睛】本小题主要考查零点分段法解绝对值不等式，考查不等式存在性问题的求解方法，属于中档题.21. (本小题满分12分） 某商场营销人员进行某商品M市场营销调查发现，每回馈消费者一定的点数，该商品当天的销量就会发生一定的变化，经过试点统计得到以下表：反馈点数x12345销量（百件）/天0.50.611.41.7（1）经分析发现，可用线性回归模型拟合当地该商品一天销量y（百件）与该天返还点数x之间的相关关系.请用最小二乘法求y关于x的线性回归方程，并预测若返回6个点时该商品当天销量；（2）若
12、节日期间营销部对商品进行新一轮调整.已知某地拟购买该商品的消费群体十分庞大，经过营销部调研机构对其中的200名消费者的返点数额的心理预期值进行了一个抽样调查，得到如下一份频数表：返还点数预期值区间（百分比）1,3)3,5)5,7)7,9)9,11)11,13频数206060302010将对返点点数的心理预期值在1,3)和11,13的消费者分别定义为“欲望紧缩型”消费者和“欲望膨胀型”消费者，现采用分层抽样的方法从位于这两个区间的30名消费者中随机抽取6名，再从这6人中随机抽取3名进行跟踪调查，求抽出的3人中至少有1名“欲望膨胀型”消费者的概率. (参考公式及数据：回归方程，其中；.)参考答案：（1）易知， ， ， 则y关于x的线性回归方程为，当时，即返回6个点时该商品每天销量约为2百件. .6分(2)设从“欲望膨胀型”消费者中抽取x人，从“欲望紧缩型”消费者中抽取y人，由分层抽样的定义可知，解得在抽取的6人中，2名“欲望膨胀型”消费者分别记为
