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1、湖南省湘潭市湘乡第二中学2020-2021学年高三数学理模拟试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知向量,向量,则的最大值为 （ ） A. B. C. D.参考答案：C2. 已知条件，条件，则是成立的 ( )A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既非充分也非必要条件参考答案：B3. 已知函数,其中若存在,且在上有最大值,则的取值范围是 A、 B、 C、 D、参考答案：答案：A 4. 阅读右面的程序框图，运行相应的程序，若输入N的值为24，则输出N的值为（A）0 （B）1（C）2（D）3参考答案
2、：C依次为 ,，输出 ，选C.5. 执行如图所示的程序框图，则输出的S值是（）A23B31C32D63参考答案：B【考点】程序框图【分析】分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+21+22+23+24的值，并输出【解答】解：分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是累加S=2+21+22+23+24的值，由于S=2+21+22+23+24=31故选：B6. 已知抛物线为轴负半轴上的动点，为抛物线的切线，分别为切点，则的最小值为 （ ）A B C. D参考答案：A7. 函数的零点个数为（ ）. A. 0 B. 1
3、C. 2 D. 3参考答案：D8. 已知命题p：?xR，cosxa，下列的取值能使“p”命题是真命题的是（） A aR B a=2 C a=1 D a=0参考答案：C考点： 命题的否定专题： 概率与统计分析： 写出命题的否定形式，然后判断选项即可解答： 解：命题p：?xR，cosxa，则p，?xR，cosxa，能使“p”命题是真命题，由余弦函数的值域可知，cosx1，故选项C成立故选：C点评： 本题考查特称命题的真假的判断与应用，三角函数的值域的应用，基本知识的考查9. 一个算法的程序框图如右图所示，若该程序输出的结果是，则判断框内应填入的条件是（）A. B. C. D.参考答案：C10. 椭
4、圆+=1(ab0)上一点A关于原点的对称点为B，F为其右焦点，若AFBF，设ABF=，且,，则该椭圆离心率的取值范围为 （ ）A , B , C，1) D,1 )参考答案：A略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数f（x）=若方程f（x）a=0有唯一解，则实数a的取值范围是参考答案：（1，+）【考点】根的存在性及根的个数判断【分析】由题知f（x）为分段函数，当x大于0时，由f（x）=f（x1）可知当x大于1时，f（x）=0，小于1大于0时函数为减函数；当x小于等于0时函数为减函数，在同一坐标系中画出函数f（x）的图象与函数y=a的图象，利用数形结合，易求出满足条件实
5、数a的取值范围【解答】解：函数f（x）=的图象如图所示，当a1时，函数y=f（x）的图象与函数y=a的图象有唯一个交点，即方程f（x）a=0有唯一解，故答案为（1，+）12. 在中，BC=，AC=2，的面积为4，则AB的长为。参考答案：4或13. 数列an满足（nN*）存在a1可以生成的数列an是常数数列；“数列an中存在某一项”是“数列an为有穷数列”的充要条件；若an为单调递增数列，则a1的取值范围是（，1）（1，2）；只要，其中kN*，则一定存在；其中正确命题的序号为 参考答案：【考点】命题的真假判断与应用【专题】探究型；等差数列与等比数列【分析】根据已知中数列an满足（nN*）举出正例
6、a1=1或a1=2，可判断；举出反例a1=，可判断；举出反例a1=2，可判断；构造数列bn=，结合已知可证得数列bn是以为公比的等比数列，进而可判断【解答】解：当a1=1时，an=1恒成立，当a1=2时，an=2恒成立，故正确；当a1=时，a2=1，数列an为有穷数列，但不存在某一项，故错误；当a1=2时，a1（，1）（1，2），此时a2=10 a3=，数列不存在单调递增性，故错误；=且=得：=?令bn=，则数列bn是以为公比的等比数列则bn=an=2+当时，2+的极限为2，否则式子无意义，故正确故答案为：【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了数列的定义及性质，运算强度大，变形复杂，
7、属于难题14. 已知向量a=(,), b =(,)，若ab，则= . 参考答案：15. 若，则= 参考答案：略16. 已知F为抛物线的焦点，是该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与x轴的交点，当最小时，点P的坐标为_.参考答案：【考点】抛物线焦半径公式，基本不等式由题可知焦半径，则，则，因为点在抛物线上，所以，则(当且仅当时取等号)，则，且取最小值时，此时点P的坐标为【点评】：会利用焦半径公式将几何意义转化为函数运算，分式型最值要善于变形，联想基本不等式17. 设Sn为等比数列an的前n项和，8a2a5=0 则 。参考答案：5三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程
8、或演算步骤18. （本小题满分14分）已知定义在上的函数，其中为常数 （1）若是函数的一个极值点，求的值 （2）若函数在区间上是增函数，求的取值范围 （3）若函数在处取得最大值，求正数的取值范围参考答案：19. （本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分4分，第3小题满分10分）设函数（1）求函数和的解析式；（2）是否存在非负实数，使得恒成立，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；（3）定义，且 当时，求的解析式；已知下面正确的命题：当时，都有恒成立. 对于给定的正整数，若方程恰有个不同的实数根，确定的取值范围； 若将这些根从小到大排列组成数列，求数列所有项的和.参考答案：解：（1）函
9、数函数4分（2），6分当时，则有恒成立.当时，当且仅当时有恒成立.综上可知当或时，恒成立；8分（3） 当时，对于任意的正整数，都有故有13分 由可知当时，有，根据命题的结论可得，当时，有，故有.因此同理归纳得到，当时，15分对于给定的正整数，时， 解方程得，要使方程在上恰有个不同的实数根，对于任意，必须恒成立， 解得, 若将这些根从小到大排列组成数列，由此可得.17分故数列所有项的和为：.18分略20. 已知椭圆C1：（）的一个焦点为F1，且经过点P.（I）求椭圆C1的标准方程；（II）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的倍(1) ，过点C(
10、-1,0)的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若，求OAB 面积取得最大值时直线l的方程.参考答案：(1)解法一:设椭圆C1的另一个焦点为F2,由题意可得, 为直角三角形, .1分由椭圆的定义得,即, .2分又由得, , .3分椭圆C1的标准方程 .4分解法二: 设椭圆C1的另一个焦点为F2,由椭圆的定义得,即, .2分又由得, ,.3分椭圆C1的标准方程 .4分解法三:把点P代入方程 得, .1分又 .2分由得, .3分椭圆C1的标准方程 .4分（2）设椭圆C2的方程为 ，A(x1,y1),B(x2,y2) .5分1，点C(-1，0)在椭圆内部,直线l与椭圆必有两个不同的交点.当直线l
11、垂直于x轴时， (不是零向量)，不合条件故设直线 l方程为y=k(x+1)(A，B，O三点不共线，故k0), 6分由得 .7分 ，而点C(-1，0), (-1-x1,-y1)=2(x2+1,y2)，y1=-2y2， 8分即y1+y2=- y2 9分OAB的面积为 .11分上式取等号的条件是 ，即k=时，OAB的面积取得最大值所以直线l的方程为或 .12分21. 设数列an，其前n项和，又bn单调递增的等比数列， ， .()求数列an，bn的通项公式；()若 ，求数列cn的前n项和Tn，并求证：.参考答案：（1），；（2）详见解析.【详解】（1）当时，当时，当时，也满足，等比数列，又，或（舍去），；（2）由（1）可得：，显然数列是递增数列，即.）22. （1 0分） 【 选修4-5不等式选讲】已知 =| 2 x-1 |+a x-5（ a是常数, aR） 。（） 当a=1时求不等式0的解集;（） 如果函数y=恰有两个不同的零点, 求a
