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1、湖南省湘潭市江南机器厂职工子弟中学2021年高三数学文测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 抛物线的焦点坐标是 (A) (0,1) (B) (0，-1) (C) (-1,0) (D) (1,0)参考答案：【知识点】抛物线的简单性质H7D 解析：抛物线方程，焦点在x轴，p=2，焦点坐标为（1，0），故选D【思路点拨】先根据抛物线的标准方程，可判断出焦点所在的坐标轴和p，进而求得焦点坐标2. 若一直线的参数方程为（t为参数），则此直线的倾斜角为（）A. 60B. 120C. 30D. 150参考答案：B【分析】消去
2、参数转为普通方程，求得直线的斜率，进而求得倾斜角.【详解】消去参数得，故斜率为，对应倾斜角为，故选B.【点睛】本小题主要考查直线的参数方程转化为普通方程，考查直线的斜率和倾斜角，属于基础题.3. 一个四面体的三视图如图所示，则该四面体的表面积为( )参考答案：D如图所示，四面体为正四面体.4. 有一人在打靶中，连续射击2次，事件“至多有1次中靶”的对立事件是A. 只有1次中靶 B. 至少有1次中靶 C. 2次都不中靶 D. 2次都中靶参考答案：D略5. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的球面面积为( ) A.5B.12C.20D.8参考答案：【知识点】由三视图求几何体的表面积、体积
3、 G1 G2【答案解析】A 解析：由三视图复原的几何体是底面为长、宽分别为3，4的长方形，侧棱垂直于底面的四棱锥，把它扩展为长方体，则长、宽、高分别为1，1，它的外接球的直径就是长方体的对角线的长，所以长方体的对角线长为：，所以球的半径为：， 这个几何体的外接球的表面积是：， 故选：A【思路点拨】三视图表示的几何体是底面为长、宽分别为3，4的长方形，侧棱垂直于底面的四棱锥。把它扩展为长方体，它的外接球的直径就是长方体的对角线的长，求出对角线长，即可求出外接球的表面积6. 已知函数定义在1,+)上的函数，则下列说法中正确的个数有（ ）关于x的方程有2n+4个不同的零点 对于实数,不等式恒成立在1
4、,6)上，方程 有5个零点当时，函数f(x)的图像与x轴围成的面积为4A.0 B. 1 C. 2 D.3 参考答案：B7. 已知映射设点，点是线段上一动点，当点在线段上从点开始运动到点结束时，点的对应点所经过的路线长度为 （ ）A B C D 参考答案：B8. 已知集合，集合，则（ ）ABCD参考答案：D9. 如果执行右面所示的程序框图，那么输出的（A）2352（B）2450（C）2550（D）2652参考答案：C略10. 执行右边的程序框图，如果输入a4，那么输出的n的值为（ ）A2 B3 C4 D5参考答案：B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知an为等差数列，
5、Sn为其前n项和若a2=2，S9=9，则a8= 参考答案：16【考点】等差数列的前n项和【分析】利用等差数列的通项公式和前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出a8【解答】解：an为等差数列，Sn为其前n项和a2=2，S9=9，解得a8=a1+7d=16故答案为：1612. 一个几何体的三视图如图所示(单位),则刻几何体的体积为 参考答案：考点：三视图的识读和几何体的体积的计算13. 设二次函数f(x)ax2bxc(a，b，c为常数)的导函数为f(x)对任意xR，不等式f(x)f(x)恒成立，则的最大值为 参考答案：【答案】【解析】14. 已知直角三角形ABC中，直角边AC=6,点D
6、是边AC上一定点，CD=2,点P是斜边AB上一动点，CPBD,则APC面积的最大值是 ；线段DP长度的最小值是 参考答案： ; 15. 定义：如果函数在定义域内给定区间上存在，满足，则称函数是上的“平均值函数”，是它的一个均值点，如是上的平均值函数，0就是它的均值点现有函数是上的平均值函数，则实数的取值范围是 参考答案：（0,2）16. 已知三棱柱的侧棱垂直于底面，各顶点都在同一球面上，若该棱柱的体积为，则此球的表面积等于_.参考答案：【知识点】空间几何体的表面积与体积解：因为，取中点，则球心为中点，所以外接球半径故答案为：17. 设函数f（x）是定义在R上以2为周期的奇函数，当0x1时，f（
7、x）=log2（4x+1），则f（）=参考答案：2【考点】函数奇偶性的性质【专题】计算题；函数的性质及应用【分析】先利用函数的周期性、奇偶性，把自变量转化到所给的区间0，1，即可求出函数值【解答】解：函数f（x）最小正周期为2，f（）=f（4）=f（），又函数f（x）是定义在R上的奇函数，f（）=f（），当0x1时，f（x）=log2（4x+1），f（）=log2（4+1）=log24=2，f（）=f（）=2故答案为：2【点评】本题综合考查了函数的奇偶性、周期性及函数值，充分理解以上有关知识是解决问题的关键三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如
8、图，四边形与均为菱形， ，且（）求证：平面；（）求证：平面；（）求二面角的余弦值 参考答案：（）证明：设与相交于点，连结因为 四边形为菱形，所以，且为中点 1分又 ，所以 3分因为 ， 所以 平面 4分 （）证明：因为四边形与均为菱形，所以/，/， 所以 平面/平面 7分 又平面，所以/ 平面 8分 （）解：因为四边形为菱形，且，所以为等边三角形因为为中点，所以，故平面由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系 9分 设因为四边形为菱形，则，所以，所以 所以 ， 设平面的法向量为，则有所以 取，得 12分 易知平面的法向量为 13分 由二面角是锐角，得 所以二面角的余弦值为 14分略19. 如图
9、，在四棱锥PABCD中，底面ABCD是边长为 3 的菱形，ABC=60，PA平面ABCD，PA=3，F 是棱 PA上的一个动点，E为PD的中点（）若 AF=1，求证：CE平面 BDF；（）若 AF=2，求平面 BDF 与平面 PCD所成的锐二面角的余弦值参考答案：【考点】MT：二面角的平面角及求法；LS：直线与平面平行的判定【分析】（）取PF中点G，连接EG，CG连接AC交BD于O，连接FO由三角形中位线定理可得FOGC，GEFD然后利用平面与平面平行的判定得到面GEC面FOD，进一步得到CE面BDF；（）由底面ABCD是边长为 3 的菱形，可得ACBD，设交点为O，以O为坐标原点建立如图所示
10、空间直角坐标系，求出所用点的坐标，再求出平面 BDF 与平面 PCD的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值求得平面 BDF 与平面 PCD所成的锐二面角的余弦值【解答】（）证明：如图所示，取PF中点G，连接EG，CG连接AC交BD于O，连接FO由题可得F为AG中点，O为AC中点，FOGC；又G为PF中点，E为PD中点，GEFD又GEGC=G，GE、GC?面GEC，FOFD=F，FO，FD?面FOD面GEC面FODCE?面GEC，CE面BDF；（）解：底面ABCD是边长为 3 的菱形，ACBD，设交点为O，以O为坐标原点建立如图所示空间直角坐标系，则B（0，0），D（0，0），P（，0，3），C
11、（，0，0），F（，0，2）则，设平面BDF的一个法向量为，则，取z=3，得设平面PCD的一个法向量为，则，取y=，得cos=平面 BDF 与平面 PCD所成的锐二面角的余弦值为【点评】本题考查直线与平面平行的判定，考查利用空间向量求二面角的平面角，是中档题20. 设等比数列的前n项和为,已知求和参考答案：解：设的公比为q，由题设得 3分解得 6分当当 10分21. 已知m为实数，函数f（x）=x32m2x2+x26mx+1（）当m=1时，求f（x）过点（1，f（1）的切线方程（）若曲线y=f（x）与直线y=10的图象恰有三个交点，求实数m的取值范围参考答案：【考点】利用导数研究曲线上某点切线
12、方程【分析】（）当m=1时，求导数，确定切线的斜率，起点坐标，即可求f（x）过点（1，f（1）的切线方程；（）求导数，确定函数的单调性，分类讨论，利用曲线y=f（x）与直线y=10的图象恰有三个交点，求实数m的取值范围【解答】解：（）当m=1时，f（x）=x32x2+x26x+1，f（1）=，f（x）=2x2x6，f（1）=5，f（x）过点（1，f（1）的切线方程为y+=5（x1），即y=5x+；（）f（x）=x32m2x2+x26mx+1，f（x）=（2mx+3）（x2m），m=0，f（x）与y=10的图象有两个交点，不合题意；m0，令f（x）0得函数单调增区间为（，），（2m，+），单调减区间为（，2m），曲线y=f（x）与直线y=10的图象恰有三个交点，0m；m0，令f（x）0得函数单调增区间为（，2m），（
