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1、湖南省湘潭市峡山口中学2020-2021学年高三数学文上学期期末试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若，则复数 ()A2 B2 C2 D2参考答案：D2. 数列中，且，则前2010项的和等于 A1005 B2010 C1 D0参考答案：A3. 已知是上的减函数，那么的取值范围是（ ）A B C D参考答案：C4. 设函数f（x）=sin（x+）+cos（x+）（0）的最小正周期为，则“f（x）=f（x）”是“=”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、
2、充分条件与充要条件的判断【分析】函数f（x）=sin（x+）+cos（x+）=sin（x+）（0）的最小正周期为，可得=，解得利用“f（x）=f（x）”，解得=k+，kZ即可判断出结论【解答】解：函数f（x）=sin（x+）+cos（x+）=sin（x+）（0）的最小正周期为，=，解得=2f（x）=sin（2x+），若“f（x）=f（x）”，则+=，解得=k+，kZ“f（x）=f（x）”是“=”的必要不充分条件故选：B【点评】本题考查了三角函数的图象与性质、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题5. 函数（e是自然对数的底数）的部分图象大致是（）ABCD参考答案：C【考点】函
3、数的图象【专题】函数的性质及应用【分析】利用排除法，先判断函数的奇偶性，再根据函数的值域即可判断【解答】解：f（x）=f（x），函数f（x）为偶函数，排除A，B，0，故排除D，故选：C【点评】本题考查了图象的识别，根据函数的奇偶性和函数的值域，是常用的方法，属于基础题6. （本小题满分10分）选修4-1几何证明选讲 如图，直线过圆心，交于，直线交于 (不与重合)，直线与相切于,交于,且与垂直，垂足为,连结.求证：(1) ; (2) .参考答案：【知识点】圆周角定理；相似三角形的判定；相似三角形的性质N1 【答案解析】(1) 见解析；(2) 见解析。解析：(1)连结BC,AB是直径，ACB=90
4、,ACB=AGC=90.GC切O于C,GCA=ABC.BAC=CAG. 5分(2)连结CF,EC切O于C, ACE=AFC. 又BAC=CAG, ACFAEC. ,AC2=AEAF. 10分 【思路点拨】（1）连接BC，根据AB为O的直径得到ECB与ACG互余，根据弦切角得到ECB=BAC，得到BAC与ACG互余，再根据CAG与ACG互余，得到BAC=CAG；（2）连接CF，利用弦切角结合（1）的结论，可得GCF=ECB，再用外角进行等量代换，得到AFC=ACE，结合FAC=CAE得到FACCAE，从而得到AC是AE、AF的比例中项，从而得到AC2=AE?AF7. 定义在R上的函数f(x)满足
5、f(x)= ，则f（3）的值为( )A.-1 B. -2 C.1 D. 2参考答案：B略8. 已知m，n是两条不同直线，是三个不同平面，下列命题中正确的是( )A若m，nm则nB若，则C若m，n则mnD若m，m，则参考答案：C考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系 专题：空间位置关系与距离分析：对选项逐一分析，根据空间线面关系，找出正确选项解答：解：对于A，直线n有可能在平面内；故A 错误；对于B，还有可能相交，故B 错误；对于C，根据线面垂直的性质以及线线平行的判定，可得直线m，n平行；对于D，有可能相交故选C点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，考查空间想象
6、能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题9. 三棱柱的侧棱与底面垂直，体积为，高为，底面是正三角形，若P是中心，则PA 与平面ABC所成角的大小是 A. B. C. D. 参考答案：B略10. 函数的一条对称轴方程是（ ）A B C D参考答案：B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知实数x，y满足则的取值范围为 参考答案：作出可行域:观察可知：，易得：,故，故答案为：12. 已知直三棱柱的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱,分别交于三点,若为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为 参考答案：建立空间直角坐标系,设 当且仅当时取等号.
7、13. 已知，.若或，则的取值范围是 .参考答案：首先看没有参数，从入手，显然时，时，而对或成立即可，故只要时，（*）恒成立即可。当时，不符合（*），所以舍去；当时，由得，并不对成立，舍去；当时，由，注意，故，所以，即，又，故，所以，又，故，综上，的取值范围是。14. 在中，角所对的边分别为，为的面积，若，则的形状为 ，的大小为 参考答案：等腰三角形,15. 在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往临近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用，每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆甲型货车运输费用300元，可装洗衣机10台，若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费
8、用为 元.参考答案：略16. 设实数满足条件，若目标函数的最大值为6，则的最小值为 参考答案：217. 已知关于的方程的两根分别为、，且，则的取值范围是 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. （本小题满分12分）设函数（1）若关于x的不等式在有实数解，求实数m的取值范围；（2）设，若关于x的方程至少有一个解，求p的最小值（3）证明不等式： 参考答案：（1）依题意得，而函数的定义域为在上为减函数，在上为增函数，则在上为增函数即实数m的取值范围为 4分（2） 则显然，函数在上为减函数，在上为增函数则函数的最小值为 所以，要使方程至少有一个解
9、，则，即p的最小值为08分（3）由（2）可知： 在上恒成立所以 ，当且仅当x=0时等号成立令，则 代入上面不等式得：即， 即 所以，将以上n个等式相加即可得到： 12分当时，3，又显然，所以综上，圆的半径的取值范围是19. 边长为4的菱形中，,为线段上的中点，以为折痕，将折起，使得二面角成角（如图）（）当在内变化时，直线与平面是否会平行？请说明理由；（）若，求直线与平面所成角的正弦值.参考答案：解：（）不会平行假设直线与平面平行，与题设矛盾（）连结，是正三角形，又是中点，故，从而二面角是,即 ，面面，又,面，即点是点在面上投影，是直线与平面所成角的平面角， 直线与平面所成角的正弦值为略20.
10、在四棱锥PABCD中，底面ABCD是矩形，平面PAD平面ABCD，PDPB，PA=PD（）求证：平面PAD平面PAB；（）设E是棱AB的中点，PEC=90，AB=2，求二面角EPCB的余弦值参考答案：【考点】用空间向量求平面间的夹角；平面与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法【专题】空间位置关系与距离；空间角【分析】（）根据面面垂直的判定定理即可证明平面PAD平面PAB；（）建立空间坐标系，利用向量法进行求解即可【解答】（1）证明：因为平面PAD平面ABCD，平面PAD平面ABCD=AD，ABAD所以AB平面PAD又PD?平面PAD，所以PDAB又PDPB，所以PD平面PAB而PD?平面PCD
11、，故平面PCD平面PAB（2）如图，建立空间直角坐标系设AD=2a，则A（a，0，0），D（a，0，0）B（a，2，0），C（a，2，0），P（0，0，a），E（a，1，0），则得，设平面PEC的一个法向量，由得令x1=1，则，设平面PEC的一个法向量，由得，令y2=1，则设二面角EPCB的大小为，则故二面角EPCB的余弦值为【点评】本题主要考查空间面面垂直的判断以及空间二面角的求解，利用向量法是解决空间二面角的常用方法21. 一个截面为抛物线形的旧河道(如图1)，河口宽米，河深2米，现要将其截面改造为等腰梯形(如图2)，要求河道深度不变，而且施工时只能挖土，不准向河道填土()建立恰当的直角坐
12、标系并求出抛物线弧的标准方程；()试求当截面梯形的下底（较长的底边）长为多少米时，才能使挖出的土最少？参考答案：解：（1）如图：以抛物线的顶点为原点，中垂线为轴建立直角坐标系-1分则 -2分设抛物线的方程为，将点代入得 -3分所以抛物线弧AB方程为（） -4分（2）解法一：设等腰梯形的腰与抛物线相切于 则过的切线的斜率为 所以切线的方程为：，即 令，得， 令，得，所以梯形面积 -10分当仅当，即时，成立 此时下底边长为 -12分答：当梯形的下底边长等于米时，挖出的土最少 -13分解法二：设等腰梯形的腰与抛物线相切于 则过的切线的斜率为 所以切线的方程为：，即 运用定积分计算抛物线与等腰梯形间的面积： -10分 当仅当，即时，成立，此时下底边长为 -12分答：当梯形的下底边长等于米时，挖出的土最少
