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1、湖南省湘潭市先锋中学2020-2021学年高三数学文下学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 已知m，n为不同的直线，为不同的平面，给出下列命题：；其中的正确命题序号是（）ABCD参考答案：A【考点】命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系【分析】由线面垂直及线线垂直的几何特征可判断的真假；由线面垂直的性质定理可判断的真假；根据线面垂直的性质定理及面面平行的判定方法可判断的真假；由面面平行的性质及几何特征可判断的真假，进而得到答案【解答】解：或n?，故错误；由线面垂直的性质定理可得，故正确；根据线面垂
2、直的性质定理及面面平行的判定方法可得，故正确；由面面平行的性质及几何特征可得或m，n异面，故错误；故选A【点评】本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，平面与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线线关系，线面关系及面面关系的判定，性质，及几何特征是解答本题的关键2. 已知m、n、s、tR*，m+n=3，其中m、n是常数且mn，若s+t的最小值 是，满足条件的点（m，n）是椭圆一弦的中点，则此弦所在的直线方程为（）Ax2y+3=0B4x2y3=0Cx+y3=0D2x+y4=0参考答案：D【考点】椭圆的简单性质【分析】由已知得（s+t）（）的最小值 是，即（s+t）（）=m+n+，满足时取最小值，得m
3、=1，n=2设以（1，2）为中点的弦交椭圆椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），由中点从坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=4，把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入4x2+y2=16，得，两式相减得2（x1x2）+（y1y2）=0，求得k 即可【解答】解：sm、n、s、t为正数，m+n=3，s+t的最小值 是，（s+t）（）的最小值 是，（s+t）（）=m+n+，满足时取最小值，此时最小值为m+n+2=3+2，得：mn=2，又：m+n=3，所以，m=1，n=2设以（1，2）为中点的弦交椭圆椭圆于A（x1，y1），B（x2，y2），由中点从坐标公式知x1+x2=2，y1+y2=4，
4、把A（x1，y1），B（x2，y2）分别代入4x2+y2=16，得两式相减得2（x1x2）+（y1y2）=0，k=此弦所在的直线方程为y2=2（x1），即2x+y4=0故选：D【点评】本题考查了椭圆的性质和应用，解题时要认真审题，注意均值不等式和点差法的合理运用，属于基础题3. 若，满足约束条件 ，则的最小值是 A.-3 B.0 C. D.3参考答案：C略4. 不等式（x+1）（x+2）0的解集是A . x | 2x1 B. x | x2或x1C. x | 1x2 D x | x1或x2参考答案：A5. 若某几何体的三视图（单位：）如图所示，则此几何体的体积是（ ） A BC D参考答案：D【
5、知识点】空间几何体的三视图和直观图G2由三视图得原几何体是一个圆柱去掉一个棱台，则V=，故选：D.【思路点拨】先由三视图还原几何体，再根据体积公式求出体积。6. 已知函数若，则实数的取值范围为ABCD参考答案：D7. 已知集合 ， ，则 （ ）A(,3) B(1,+) C(1,1) D(1,3)参考答案：B8. 过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为，延长交抛物线于点若，则双曲线的离心率为A BC D参考答案：B略9. 若抛物线的焦点是,准线是,点是抛物线上一点,则经过点、且与相切的圆共（A）个 （B）个 （C）个 （D）个参考答案：D10. 设an（nN*）是等差数列，Sn是其前n项的和，若，且
6、三点共线（该直线不过原点），则A B C D参考答案：B略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 为了解某校高中学生的近视情况，在该校学生中按年级进行分层抽样调查，已知该校高一、高二、高三分别有学生名、名、名，若高三学生共抽取名，则高一年级每位学生被抽到的概率是_参考答案：略12. 下程序运行后输出的结果为_.参考答案：略13. （5分）如图，用一边长为的正方形硬纸，按各边中点垂直折起四个小三角形，做成一个蛋巢，将表面积为4的鸡蛋（视为球体）放入其中，蛋巢形状保持不变，则鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为参考答案：+【考点】： 点、线、面间的距离计算【专题】： 空间位置关系与
7、距离【分析】： 有条件利用球的截面的性质求得球心到截面圆的距离，再求出垂直折起的4个小直角三角形的高，相加即得所求解：由题意可得，蛋巢的底面是边长为1的正方形，故经过4个顶点截鸡蛋所得的截面圆的直径为1，由于鸡蛋的表面积为4，故鸡蛋（球）的半径为1，故球心到截面圆的距离为=，而垂直折起的4个小直角三角形的高为，故鸡蛋中心（球心）与蛋巢底面的距离为+，故答案为：+【点评】： 本题主要考查球的截面的性质，图形的折叠问题，点、线、面间的位置关系，属于中档题14. 一艘海警船从港口A出发，以每小时40海里的速度沿南偏东40方向直线航行，30分钟到达B处，这时候接到从C处发出的一求救信号，已知C在B的北
8、偏东65，港口A的东偏南20处，那么B，C两点的距离是海里参考答案：10【考点】解三角形的实际应用【分析】根据题意画出图象确定BAC、ABC的值，进而可得到ACB的值，根据正弦定理可得到BC的值【解答】解：如图，由已知可得，BAC=30，ABC=105，AB=20，从而ACB=45在ABC中，由正弦定理可得BC=sin30=10故答案为：；15. 已知函数，设，且函数的零点均在区间内，则圆的面积的最小值是 . 参考答案：略16. 对于函数，有下列4个结论：任取，都有恒成立；，对于一切恒成立；函数有3个零点；对任意，不等式恒成立 则其中所有正确结论的序号是.参考答案：【知识点】分段函数的应用B1
9、0 解析：的图象如图所示：的最大值为1，最小值为1，任取，都有恒成立，正确；f（）=2f（+2）=4f（+4）=8f（+6）8f（+8），故不正确；如图所示，函数有3个零点；对任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是，结合图象，可得正确故答案为：【思路点拨】作出的图象，利用图象可得结论17. 化简的结果为 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知抛物线方程为，过作直线.若与轴不垂直，交抛物线于A、B两点，是否存在轴上一定点，使得？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由？若与轴垂直，抛物线的任一切线与轴和分别交于M、N两点，则自点M到以
10、QN为直径的圆的切线长为定值，试证之；参考答案：解：设的方程为：，设，由 消去得：， 若，则 即： 故存在，使得 设在抛物线上，由抛物线的对称性，不妨设，则过P点的切线斜率，切线方程为：，且令，令， 则以QN为直径的圆的圆心坐标为，半径 略19. 已知函数f（x）=ln（x+a）x有且只有一个零点，其中a0（）求a的值；（）若对任意的x（0，+），有f（x）kx2成立，求实数k的最大值；（）设h（x）=f（x）+x，对任意x1，x2（1，+）（x1x2），证明：不等式恒成立参考答案：【考点】函数零点的判定定理；函数恒成立问题【专题】导数的综合应用【分析】（）通过求导得到单调区间找到极值点代入即
11、可，（）由k0时不合题意当k0时令g（x）=0通过讨论得出k的值，（）不妨设x1x21，引进新函数找到其单调区间，问题得证【解答】解：（）f（x）的定义域为（a，+），由f（x）=0，得x=1aa当ax1a时，f（x）0；当x1a时，f（x）0，f（x）在区间（a，1a上是增函数，在区间1a，+）上是减函数，f（x）在x=1a处取得最大值由题意知f（1a）=1+a=0，解得a=1（）由（）知f（x）=ln（x+1）x，当k0时，取x=1得，f（1）=ln210，知k0不合题意当k0时，设g（x）=f（x）kx2=ln（x+1）xkx2则令g（x）=0，得x1=0，若0，即k时，g（x）0在x（
12、0，+）上恒成立，g（x）在0，+）上是增函数，从而总有g（x）g（0）=0，即f（x）kx2在0，+）上恒成立若，即时，对于，g（x）0，g（x）在上单调递减于是，当取时，g（x0）g（0）=0，即f（x0）不成立故不合题意综上，k的最大值为（） 由h（x）=f（x）+x=ln（x+1）不妨设x1x21，则要证明，只需证明，即证，即证设，则只需证明，化简得设，则，（t）在（1，+）上单调递增，（t）（1）=0即，得证故原不等式恒成立【点评】本题考察了导函数，单调区间及最值，函数的零点，不等式的证明，是一道较难的综合题20. 已知函数图象上一点处的切线方程为y= -3x+2ln2+2 （1）求a,b的值； （2）若方程在内有两个不等实根，求m的取值范围（其中为自然对数的底数）；参考答案：，8分 令，则，令，得（舍去）9分当时， 是减函数11分则方程在内有两个不等实根的充要条件是:13分 解不等式组得取值范围是 14分21. 设数列an的首项a1为常数，且an+1=3n2an（nN+）（1）证明：an是等比数列；（2）若a1=，an中是否存在连续三项成等差数列？若存在，写出这三项，若不存在说明理由（3）若an是递增数列，求a1的取值范围参考答案：
