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1、湖南省永州市高山乡中学2022年高二数学理联考试卷含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 把2名新生分到甲、乙、丙、丁四个班，甲班必须且只能分配1名新生，则不同的分配方法有（ ） A、3种B、4种C、6种D、8种参考答案：C 【考点】排列、组合的实际应用【解答】解：根据题意，甲班必须且只能分配1名新生，在2名新生中任选1名，分配甲班，有C21=2种情况， 将剩下的1名新生分配到其他班级，有C31=3种分配方法，则不同的分配方法有23=6种；故选：C【分析】根据题意，分2步进行分析，在2名新生中任选1名，分配甲班，再将剩
2、下的1名新生分配到其他班级，由组合数公式计算分配方法数目，进而由分步计数原理计算可得答案 2. （原创）已知函数满足，且当时， 成立， 若，的大小关系是（ ） A B C D参考答案：C略3. 某地区高中分三类，类学校共有学生2000人，类学校共有学生3000人，类学校共有学生4000人，若采取分层抽样的方法抽取900人，则类学校中的学生甲被抽到的概率为 （ ）A B C D 参考答案：A4. 已知椭圆的焦点是、，是椭圆上的一个动点。如果延长到，使得=，那么动点的轨迹是 （ ）A、圆 B、椭圆 C、双曲线的一支 D、抛物线参考答案：A5. 已知为R上的可导函数，且均有（x），则有（ ）ABCD
3、参考答案：D6. 已知数列为等差数列，为数列的前项和，则下列结论错误的是（ ）A B C D均为的最大值参考答案：B7. 将B=60o且边长为1的菱形ABCD沿对角线AC折成大小为的二面角，若，则折后两条对角线AC和BD之间的距离为 ( )A最小值为，最大值为 B最小值为，最大值为 C最小值为，最大值为 D最小值为，最大值为参考答案：B8. 设过曲线f（x）=exx（e为自然对数的底数）上任意一点处的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1l2，则实数a的取值范围为（）A1，2B（1，2）C2，1D（2，1）参考答案：A【考点】6H：利用导数研究曲线上某点
4、切线方程【分析】求出函数f（x）=exx的导函数，进一步求得（0，1），再求出g（x）的导函数的范围，然后把过曲线f（x）=exx上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1l2转化为集合间的关系求解【解答】解：由f（x）=exx，得f（x）=ex1，ex+11，（0，1），由g（x）=ax+2cosx，得g（x）=a2sinx，又2sinx2，2，a2sinx2+a，2+a，要使过曲线f（x）=exx上任意一点的切线为l1，总存在过曲线g（x）=ax+2cosx上一点处的切线l2，使得l1l2，则，解得1a2即a的取值范围为1a2故选：A9. 过
5、点（-1，0）作抛物线的切线，则其中一条切线为（ ）A B C D参考答案：D略10. 直线：2xy+3=0与圆C：x2+（y1）2=5的位置关系是（）A相交B相切C相离D不确定参考答案：A【考点】直线与圆的位置关系【分析】求出圆心到直线的距离，与圆半径相比较，能求出结果【解答】解：圆C：x2+（y1）2=5的圆心C（0，1），半径r=，圆心C（0，1）到直线：2xy+3=0的距离：d=r=，直线：2xy+3=0与圆C：x2+（y1）2=5相交故选：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 在我国明代数学家吴敬所著的九章算术比类大全中，有一道数学名题叫“宝塔装灯”，内容为“远
6、望巍巍塔七层，红灯点点倍加增；共灯三百八十一，请问顶层几盏灯？”（“倍加增”指灯的数量从塔的顶层到底层按公比为2的等比数列递增）根据此诗，可以得出塔的顶层和底层共有 盏灯参考答案：195【考点】等比数列的前n项和【分析】由题意可知灯的盏灯的数量从塔的顶层到底层构成等比数列，且公比为2，然后由等比数列的前7项和等于381列式计算即可【解答】解：由题意可知灯的盏灯的数量从塔的顶层到底层构成等比数列，且公比为2，设塔的顶层灯的盏灯为x，则x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381，解得x=3，可以得出塔的顶层和底层共有x+64x=195盏灯故答案为：19512. 若向量，则_参考答案：-2
7、12 13. 设F1和F2是双曲线y2=1的两个焦点，点P在双曲线上，且满足F1PF2=90，则F1PF2的面积是_参考答案： 1略14. 直线y=2b与双曲线=1（a0，b0）的左支、右支分别交于B，C两点，A为右顶点，O为坐标原点，若AOC=BOC，则该双曲线的离心率为参考答案：【考点】双曲线的简单性质【分析】利用条件得出AOC=60，C（b，2b），代入双曲线=1，可得4=1，b=a，即可得出结论【解答】解：AOC=BOC，AOC=60，C（b，2b），代入双曲线=1，可得4=1，b=a，c=a，e=，故答案为15. 以下四个关于圆锥曲线的命题中：设A、B为两个定点，k为非零常数，则动点
8、P的轨迹为双曲线；过定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为圆；,则双曲线与的离心率相同；已知两定点和一动点P，若，则点P的轨迹关于原点对称；其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号） 参考答案： 略16. 一个直径为32厘米的圆柱形水桶中放入一个铁球，球全部没入水中后，水面升高9厘米则此球的半径为_厘米。参考答案：12略17. 若直线2axby+2=0（a0，b0）经过圆x2+y2+2x4y+1=0的圆心，则+的最小值是 参考答案：【考点】基本不等式在最值问题中的应用；直线与圆的位置关系【专题】不等式的解法及应用；直线与圆【分析】求出圆的圆心坐标，代入直线方程，得
9、到ab关系式，然后通过”1“的代换利用基本不等式求解即可【解答】解：x2+y2+2x4y+1=0的圆心（1，2），所以直线2axby+2=0（a0，b0）经过圆心，可得：a+b=1，+=（+）（a+b）=2+，当且仅当a=b=+的最小值是：2故答案为：【点评】本题考查直线与圆的位置关系的应用，基本不等式求解函数的最值，考查转化思想以及计算能力三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 命题为真，求x的取值范围.参考答案：命题为真，求x的取值范围.为真 19. (12分)已知函数(1)当m1时，求曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程；(2)当m=
10、2时，求函数f(x)的单调区间与极值参考答案：20. 已知抛物线E：x2=4y，过M（1，4）作抛物线E的弦AB，使弦AB以M为中点，（1）求弦AB所在直线的方程（2）若直线l：y=x+b与抛物线E相切于点P，求以点P为圆心，且与抛物线E的准线相切的圆的方程参考答案：【考点】直线与圆锥曲线的关系；圆的标准方程【专题】计算题；方程思想；转化思想；圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】（1）设A（x1，y1），B（x2，y2），利用平方差法，求出直线的斜率，然后求解直线方程（2）利用函数的导数求出曲线的斜率，求出切点坐标，得到圆的圆心坐标，求出圆的半径，即可求解圆的方程【解答】解：（1）设A（x1，y
11、1），B（x2，y2），抛物线E：x2=4y，过M（1，4）作抛物线E的弦AB，使弦AB以M为中点由，两式相减化简得KAB=，所以直线AB的方程为y4=（x0），即x2y+7=0（2）设切点P（x0，y0），由x2=4y，得y=，所以=1，可得x0=2，即点P（2，1），圆P的半径为2，所以圆P的方程为：（x2）2+（y1）2=4【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查运算求解能力，平方差法以及设而不求方法的应用，注意解题方法的积累，属于中档题21. 已知数列an是等比数列，Sn是它的前n项和，若a2?a3=2a1，且a4与2a7的等差中项为，求S5参考答案：【考点】等差数列的性质；等比数列的通
12、项公式；等比数列的前n项和【分析】由a2?a3=2a1=a1?a4，可得a4=2，再由a4与2a7的等差中项为，得a4 +2a7 =，故有a7 =求出首项和公比，再利用等比数列的前n项和公式求出s5【解答】解：数列an是等比数列，Sn是它的前n项和，若a2?a3=2a1=a1?a4，可得a4=2再由a4与2a7的等差中项为，可得a4 +2a7 =，故有a7 =q3=，q=，a1=16s5=3122. 已知a0，b0，判断a3+b3与a2b+ab2的大小，并证明你的结论参考答案：【考点】不等式的证明【分析】法一，分析法：证明使a3+b3a2b+ab2成立的充分条件成立，即要证a3+b3a2b+a
13、b2成立，只需证（a+b）（a2ab+b2）ab（a+b）成立，只需证a2ab+b2ab成立，（ab）20显然成立，从而得到证明；法二，综合法：a22ab+b20，通过变形，应用不等式的性质可证出结论法三，比较法：将两个式子作差变形，通过提取公因式化为完全平方与一个常数的积的形式，判断符号，得出大小关系【解答】证明：法一：（分析法）要证a3+b3a2b+ab2成立，只需证（a+b）（a2ab+b2）ab（a+b）成立又因为a0，只需证a2ab+b2ab成立，（ab）20显然成立，由此命题得证法二：（综合法）a22ab+b20a2ab+b2ab（*）而a，b均为正数，a+b0，（a+b）（a2ab+b2）ab（a+b）a3+b3a2b+ab2法三：比较法（作差）（a3+b3）（a2b+ab2）=（a3a2b）+（b3ab2）又a0，b0，a+b0，而（ab）20（a+b）（ab）20故（a3+b3）（a2b+ab2）0即a3+
