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1、湖南省永州市莲花乡中学2020年高三数学理测试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 从5名志愿者中选派4人在星期五、星期六、星期日参加公益活动，每人一天，要求星期五有一人参加，星期六有两人参加，星期日有一人参加，则不同的选派方法共有 （ ）A.120种 B.96种 C.60种 D.48种参考答案：C2. 定义域为的偶函数满足对，有，且当 时，若函数在上至少有三个零点，则的取值范围是（ ）A B C D参考答案：B略3. 设两条不同直线m、n和两个不同平面，有两个命题：若，则；：若，则那么（ ）（A）“”为假 (B)
2、“ ”为真 (C) “”为假 (D) “”为真参考答案：D4. 已知函数f（x）=，如果当x0时，若函数f（x）的图象恒在直线y=kx的下方，则k的取值范围是（）A，B，+）C，+）D，参考答案：B【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程【分析】由于f（x）的图象和y=kx的图象都过原点，当直线y=kx为y=f（x）的切线时，切点为（0，0），求出f（x）的导数，可得切线的斜率，即可得到切线的方程，结合图象，可得k的范围【解答】解：函数f（x）的图象恒在直线y=kx的下方，由于f（x）的图象和y=kx的图象都过原点，当直线y=kx为y=f（x）的切线时，切点为（0，0），由f（x）的导数f（x）
3、=，可得切线的斜率为=，可得切线的方程为y=x，结合图象，可得k故选：B【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，正确求导和确定原点为切点，结合图象是解题的关键，考查运算能力，属于中档题5. 若集合，则集合A. B. C. D. 参考答案：A6. 某几何体的三视图（如图），则该几何体的体积是A. B. C. D. 参考答案：B略7. 若实数a，b满足ab，则下列不等式成立的是（A） （B） （C） （D）参考答案：B8. 若复数是实数，则的值为 （ ）A B3 C0 D.参考答案：A略9. 若集合，则=（ ）A. B C D参考答案：C10. 下列哪个函数的定义域与函数的值域相同()A. B.
4、 C. D.参考答案：B函数的值域为，函数的定义域为，函数的定义域为;函数的定义域为，函数的定义域为，故选B.二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 若正四棱锥的底面边长为2cm，侧面积为8cm2，则它的体积为 cm3参考答案：设侧面斜高为，则，因此高为 12. 在平面直角坐标系中，设点，其中O为坐标原点，对于以下结论：符合OP=1的点P的轨迹围成的图形的面积为2；设P为直线上任意一点，则OP的最小值为1；设P为直线上的任意一点，则“使OP最小的点P有无数个”的必要不充分条件是“”. 其中正确的结论有 （填上你认为正确的所有结论的序号）.参考答案：略13. 已知函数，且， 则
5、= .【解析】因为，所以，即。所以。参考答案：因为，所以，即。所以。【答案】 7 14. 已知向量，若，则的最小值为 参考答案：9【知识点】基本不等式 E6由得=0，（）.（）=5+5=9【思路点拨】由得=0，后利用重要不等式求出。15. 计算参考答案：16. 设a，bR，c0，2），若对任意实数x都有2sin（3x）=asin（bx+c），定义在区间0，3上的函数y=sin2x的图象与y=cosx的图象的交点横坐标为d，则满足条件的有序实数组（a，b，c，d）的组数为参考答案：28【考点】排列、组合的实际应用【分析】首先由已知等式求得a值，然后利用三角恒等变换sin2x=cosx求出所有根的
6、个数，最后利用排列组合的思想求得满足条件的有序实数组【解答】解：对任意实数x都有2sin（3x）=asin（bx+c），|a|=2，若a=2，则方程等价于sin（3x）=sin（bx+c），则函数的周期相同，若b=3，此时c=；若b=3，此时c=；若a=2，则方程等价于sin（3x）=sin（bx+c）=sin（bxc），若b=3，此时c=；若b=3，此时c=综上，满足条件的数组（a，b，c，）为（2，3，），（2，3，），（2，3，），（2，3，）共4组而当sin2x=cosx时，2sinxcosx=cosx，得cosx=0或sinx=，x=+k或x=+2k，kZ又x0，3，x=满足条件的有
7、序数组（a，b，c，d）共有47=28故答案为2817. 已知，若，则 .参考答案：考点：向量的坐标、向量的垂直的充要条件、向量的模三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 如图，已知函数的图象与坐标轴交于点，直线交的图象于另一点，是的重心.（）求；（）求的外接圆的半径 参考答案：（） 是的重心， ，故函数的最小正周期为3，即，解得，3分， 6分 （）由（）知 且 8分 是的中点， 10分 11分外接圆半径等于 14分19. 如图，在底面是正方形的四棱锥中P-ABCD中，M是PB的中点，点P在底面ABCD的射影O恰是AD的中点（1）证明：平面PAB平
8、面PAD；（2）求三棱锥M-PDC的体积参考答案：（1）见解析；（2）（1）证明：依题意，得平面，又平面，又，平面又平面，平面平面（2）平面，为的中点，为等腰三角形，又，点是的中点，到平面的距离等于点到平面距离的一半，即三棱锥的体积为20. 定义在R上的函数f（x）=ax2+bx2+cx+3同时满足以下条件：f（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+）上是增函数；f（x）是偶函数；f（x）的图象在x=0处的切线与直线y=x+2垂直（）求函数y=f（x）的解析式；（）设g（x）=4lnxm，若存在x1，e，使g（x）f（x），求实数m的取值范围参考答案：考点：利用导数研究曲线上某点切线方程；二次
9、函数的性质；利用导数求闭区间上函数的最值专题： 导数的概念及应用分析： （）利用题中的已知条件，分别求出a、b、c的值，进一步求出函数的解析式（）利用（）中的解析式，进一步求出函数的导数，再利用函数的存在性问题即mf（x），只需满足：m（f（x）min即可从而通过求函数的最小值确定结果解答： 解：（）定义在R上的函数f（x）=ax2+bx2+cx+3，所以：f（x）=3ax2+2bx+cf（x）在（0，1）上是减函数，在（1，+）上是增函数，所以：f（1）=3a+2b+c=0，f（x）=3ax2+2bx+c是偶函数；则：b=0f（x）的图象在x=0处的切线与直线y=x+2垂直所以：f（0）=1
10、解得：c=1把代入解得：a=则：（）由（）得：f（x）=x21，设g（x）=4lnxm，若存在x1，e，使得：4lnxmx21即存在x1，e，使：m（4lnxx2+1）min，设M（x）=4lnxx2+1 x1，e，则：令由于 x1，e，解得：x=，当时，M（x）0，所以M（x）在1，上是增函数，当时，M（x）0，所以M（x）在，e上是减函数即当x=时，函数求的最大值M（1）=0，M（e）=5e20所以：m5e2即m的取值范围为：m5e2点评： 本题考查的知识要点：利用函数的性质求函数的解析式，存在性问题的应用，及相关的运算问题21. 已知函数（）若函数f(x)在处的切线平行于直线，求实数a的
11、值；（）判断函数f(x)在区间上零点的个数；（）在（）的条件下，若在上存在一点x0，使得成立，求实数m的取值范围参考答案：（）,函数在处的切线平行于直线. （）令 ， 得 记 ， 由此可知在上递减，在上递增， 且 时 故时， 在无零点时， 在恰有一个零点时， 在有两个零点 （）在上存在一点,使得成立等价于函数在上的最小值小于零., 当时,即时, 在上单调递减,所以的最小值为,由可得,； 当时,即时, 在上单调递增,所以的最小值为,由可得； 当时,即时,可得的最小值为此时, 不成立. 综上所述:可得所求的范围是或22. （本小题满分12分）已知数列满足=5，且其前项和（）求的值和数列的通项公式； （）设为等比数列，公比为，且其前项和满足，求的取值范围参考答案：（12分）（）解：由题意，得， 因为 ， 所以 ， 解得 . 3分所以 当时，由， 4分 得 . 5分 验证知时，符合上式，所以，. 6分（）解：由（），得. 8分 因为 ， 所以 ， 解得 11分 又因为，所以的取值范围是
