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1、湖南省永州市第十三中学高三数学理期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 某几何体的三视图如右图所示，它的体积为（ ） （A）4 （B）6 （C）8 （D）12参考答案：A略2. 函数的零点一定位于的区间是( )A B C D参考答案：B略3. 将函数的图象上所有的点向左平行移动个单位长度，再把图象上各点的横坐标扩大到原来的2倍（纵坐标不变），则所得到的图象的解析式为A BC D参考答案：B略4. 将圆向右平移2个单位，向下平移1个单位后，恰好与直线相切，则实数b的值为 （ ） A B C D参考答案：答案：B
2、5. 定义在上的函数在区间上是增函数，且的图象关于对称，则（ ） A. B. C. D. 参考答案：C6. 已知命题，命题,则( )A命题是假命题 B命题是真命题C命题是真命题 D命题是假命题参考答案：C略7. 方程中的，且互不相同，在所有这些方程所表示的曲线中，不同的抛物线共有（ ）A、28条 B、32条 C、36条 D、48条参考答案：B本题可用排除法，5选3全排列为60，这些方程所表示的曲线要是抛物线，则且,，要减去，又时，方程出现重复，重复次数为4，所以不同的抛物线共有60-24-4=32条.故选B.8. 函数当时，恒成立，则实数a的取值范围是A.(，1 B.(,1) C.(1, )
3、D.(1, ) 参考答案：A略9. 集合等于 AR B C D参考答案：C10. 已知函数，则这个函数在点处的切线方程是A B C D参考答案：C略二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 已知函数，若，都有，则实数最小值是 参考答案：12. 如图，设D是图中边长为4的正方形区域，E是D内函数图象下方的点构成的区域（阴影部分）.向D中随机投一点，则该点落入E中的概率为(A) (B) (C) (D)参考答案：C略13. 设，则的最大值为 . 参考答案： 14. 函数的最小正周期是_.参考答案：15. 已知线段的长度为，点依次将线段十等分.在处标，往右数点标，再往右数点标，再往右数
4、点标(如图)，遇到最右端或最左端返回，按照的方向顺序，不断标下去，（文）那么标到这个数时，所在点上的最小数为_. 参考答案：16. 从0，1，2，3这四个数字中一次随机取两个数字，若用这两个数字组成无重复数字的两位数，则所得两位数为偶数的概率是 .参考答案：17. 已知，是两个非零向量，且，则的最大值为_.参考答案：【详解】设的起点为坐标原点，因为，所以设的终点坐标为，即，设，因为，所以，而，所以有，当且仅当时，取等号，即时，取等号，即的最大值为，【点睛】本题考查了平面向量模的公式，考查了两个向量模的和的最大值问题，利用向量的坐标表示、重要的基本不等式是解题的关键.三、 解答题：本大题共5小题
5、，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数f（x）=2sin2x+sin2x1（1）求函数f（x）的单调递增区间；（2）设，其中0x0，求tanx0的值参考答案：【考点】三角函数中的恒等变换应用；三角函数的最值【专题】方程思想；转化法；三角函数的求值【分析】（1）利用三角函数的关系结合辅助角公式进行化简，即可求函数f（x）的单调递增区间；（2）化简条件，利用同角的三角函数的关系式建立方程关系进行求解即可【解答】解：（1）f（x）=2sin2x+sin2x1=sin2xcos2x=sin（2x）由2k2x2k+，kZ，得2kx2k，kZ，得kxk+，kZ，即函数f（x）的
6、单调递增区间是k，k+，kZ；（2）cos（+）cos（）+sin2=（coscos）2（sinsin）2+sin2=cos2sin2+sin2=，即f（）=sin（2）=sin（x0）=，即sinx0cosx0=，平方得2sinx0cosx0=，0x0，cosx00，则sinx0+cosx0=，由得sinx0=，cosx0=，则tanx0=【点评】本题主要考查三角函数的化简和三角函数的图象和性质，利用辅助角公式进行化简以及利用三角函数的同角的基本关系式是解决本题的关键19. 如图（1），在五边形BCDAE中，CDAB，BCD=90，CD=BC=1，AB=2，ABE是以AB为斜边的等腰直角三角
7、形，现将ABE沿AB折起，使平面ABE平面ABCD，如图（2），记线段AB的中点为O（）求证：平面ABE平面EOD；（）求平面ECD与平面ABE所成的锐二面角的大小参考答案：【考点】二面角的平面角及求法；平面与平面垂直的判定【分析】（）推导出四边形OBCD为平行四边形，ABOD，EOAB，从而AB平面EOD，由此能证明平面ABE平面EOD（）以O 为坐标原点，以OB，OD，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出平面ECD与平面ABE所成的锐二面角的大小【解答】证明：（）AB=2CD，O是线段AB的中点，OB=CD，又OBCD，四边形OBCD为平行四边形，又BC
8、D=90，ABOD，又O是等腰直角EAB斜边上的中点，EOAB，EODO=O，AB平面EOD，AB?平面ABE，平面ABE平面EOD解：（）平面ABE平面ABCD，且EOAB，EO平面ABCD，EOOD，OB，OD，OE两两垂直，以O 为坐标原点，以OB，OD，OE所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，EAB为等腰直角三角形，且CD=BC=1，OA=OB=OD=OE=1，O（0，0，0），A（1，0，0），B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，1，0），E（0，0，1），=（1，0，0），=（0，1，1），设平面ECD的一个法向量=（x，y，z），则，取y=1，得=（0，1
9、，1），OD平面ABE，是平面ABE的一个法向量，设平面ECD与平面ABE所成的锐二面角为，则cos=|cos|=，平面ECD与平面ABE所成的锐二面角的大小为4520. 已知函数，求函数的单调区间；记函数，当时，在上有且只有一个极值点，求实数的取值范围；记函数，证明：存在一条过原点的直线与的图象有两个切点参考答案：（1）因为， 若，则，在上为增函数，2分若，令，得，当时，；当时，所以为单调减区间，为单调增区间 综上可得，当时，为单调增区间，当时，为单调减区间， 为单调增区间 4分（2）时， 5分在上有且只有一个极值点，即在上有且只有一个根且不为重根，由得， 6分（i），满足题意；7分（ii）
10、时，即；8分（iii）时，得，故； 综上得：在上有且只有一个极值点时， 9分注：本题也可分离变量求得（3）证明：由（1）可知：（i）若，则，在上为单调增函数，所以直线与 的图象不可能有两个切点，不合题意10分（）若，在处取得极值若，时，由图象知不可能有两个切点11分故，设图象与轴的两个交点的横坐标为（不妨设），则直线与的图象有两个切点即为直线与和的切点，设切点分别为，则，且， 即， ， ，-得：， 由中的代入上式可得：，即， 14分令，则，令，因为，故存在，使得，即存在一条过原点的直线与的图象有两个切点16分21. 设锐角三角形的内角的对边分别为，（1）求的大小；（2）求的取值范围参考答案：解：（）由，根据正弦定理得，所以，由为锐角三角形得（）由为锐角三角形知， ，所以由此有，所以，的取值范围为略22. （本小题满分12分）如图，四棱锥P-ABCD中，是的中点（1）求证：；（2）求二面角的平面角的正弦值参考答案：（1）证明：底面，又，故面面，故4分又， 是的中点，故从而面，故易知，故面6分（2）如图建立空间直角坐标系，设，则、，从而，9分设为平面的法向量，则可以取 11分又为平面的法向量，若二面角的平面角为则 11分因此。12分略
