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1、考点31 数学归纳法（2014年）解答题1.(2014广东高考理科)(14分)设数列an的前n项和为Sn,满足Sn=2nan+1-3n2-4n,nN*,且S3=15.(1)求a1,a2,a3的值.(2)求数列an的通项公式.【解题提示】(1)取n=1,n=2,n=3,结合S3=15列方程组求a1,a2,a3. (2)利用an=Sn-Sn-1(n2),先猜出an,再用数学归纳法给出证明.【解析】(1)由已知得解得a1=3,a2=5,a3=7.(2)猜测an=2n+1.由Sn=2nan+1-3n2-4n得Sn-1=2(n-1)an-3(n-1)2-4(n-1)(n2),当n2时,an=Sn-Sn-
2、1,所以两式相减,整理得an=2nan+1-2(n-1)an-6n-1,an+1=an+,建立an与an+1的递推关系(nN*);因为当n=1时,a1=3,假设ak=2k+1成立,那么n=k+1时,ak+1=ak+= (2k+1)+=2k+3=2(k+1)+1,对于nN*,有an=2n+1,数列an的通项公式为an=2n+1.【技巧点拨】本题的设计有“数学归纳法”的暗示,第(2)问用数学归纳法较为简便,且容易想到.若直接变形转化为等差(比)数列求解,则比较困难,可变形为(2n+1)an+1-2(n+1)+1=(2n+2)an+2-2(n+2)+1,又a1-(21+1)=0an-(2n+1)=0
3、,即an=2n+1.2.（2014安徽高考理科21）设实数，整数，.（1）证明：当且时，；（2）数列满足，证明：【解题提示】用数学归纳法证明不等式。【解析】（1）用数学归纳法证明当p=2时，原不等式成立。假设时，不等式成立，当p=k+1时，=，所以p=k+1时，原不等式成立。综上可得，当且时，对一切整数p1,不等式均成立。（2）设，并且，由此可得上单调递增，因而，当时，。当n=1时，由，即可知=，并且，从而。故当n=1时，不等式成立。假设时，不等式成立，则当n=k+1时，成立，即，所以n=k+1时，原不等式也成立。综合可得，对一切正整数n，不等式均成立。（2013年）一、填空题1. （2013
4、湖北高考理科14）古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，第n个三角形数为，记第n个k边形数为N(n,k)(k3),以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数 N(n,3)= ，正方形数 N(n,4)=n2，五边形数 N(n,5)= ，六边形数 N(n,6)=，可以推测N(n,k)的表达式，由此计算N(10,24)= 【解题指南】归纳出结论，代入数值计算。【解析】三角形数 ， 正方形数 =， 五边形数 =， 六边形数 =， 推测k边形.所以.【答案】1000二、解答题2.（2013江苏高考数学科23）设数列1，-2，-2，3，3，3，-4，-4，-4
5、，-4，,即当时。记.对于，定义集合Pl=n|Sn为an的整数倍,且1n(1)求P11中元素个数.(2)求集合P2000中元素个数.【解题指南】主要考查集合、数列的概念和运算、计数原理等基础知识, 考查探究能力及运用数学归纳法的推理论证能力【解析】由数列的定义得 = 1, = - 2, = - 2, = 3, = 3, = 3, = - 4, = -4, = - 4, = - 4, = 5, 所以= 1, = - 1, = - 3, = 0, = 3, = 6, = 2, = -2, = -6, = -10, = -5, 从而= ，= 0,= , = 2, = -,所以集合中元素的个数为5.（
6、2）先证:Si(2i+1)= -i(2i+1)(iN*).事实上, 当 i = 1 时, Si(2i+1)= S3 = -3, -i(2i+1)= -3, 故原等式成立;假设 i =m 时成立, 即 Sm(2m+1)= -m(2m+1), 则 i =m+1 时, S(m+1)(2m+3) = Sm(2m+1) + (2m+1)2-(2m+2)2= -m(2m+1)-4m-3 = -(2m2+5m+3)= -(m+1)(2m+3)综合可得 Si(2i+1)= -i(2i+1). 于是S(i+1)(2i+1)= Si(2i+1) +(2i+1)2= -i(2i+1)+(2i+1)2= (2i+1)
7、(i+1).由上述内容可知 Si(2i+1)是 2i+1的倍数, 而 ai(2i+1)+j= 2i+1( j = 1, 2, , 2i+1),所以Si(2i+1)+j=Si(2i+1) +j(2i+1)是 ai(2i+1)+j(j = 1, 2, , 2i+1)的倍数. 又 S(i+1)(2i+1) = (i+1)(2i+1)不是 2i + 2 的倍数, 而 a(i+1)(2i+1)+j= - (2i + 2) (j =1, 2, , 2i+2),所以S(i+1)(2i+1)+j=S(i+1)(2i+1)-j(2i+2)=(2i+1)(i+1)-j(2i+2)不是a(i+1)(2i+1)+j
8、，(j =1, 2, , 2i+2)的倍数, 故当 =i(2i+1)时, 集合中元素的个数为1+3+(2i-1)=i2, 于是=i(2i+1)+j (1j2i+1)时, 集合中元素的个数为i2+j.又2000 = 31(231+1)+47, 故集合P2000中元素的个数为312+47=1 008.（2012年）1.（2012天津高考理科18）已知是等差数列，其前项和为，是等比数列,且=，.()求数列与的通项公式；()记a1bn，证明.【解题指南】（1）分别求出公差和公比即可得通项公式；l 错位相减法求出的关系式，进而证明或用数学归纳法证明之.【解析】()设等差数列的公差为d,等比数列的公比为q
9、,由由条件得方程组 ()（方法一）由()得（1），由（2）-（1），得而=，故.（方法二：数学归纳法）（1） 当n=1时，故等式成立.（2） 假设当n=k时等式成立，即则当n=k+1时有：=，即，因此n=k+1时等式也成立.由（1）和（2），可知对任意成立.2.（2012湖北高考理科22）（I）已知函数f（x）=rx-xr+（1-r）（x0），其中r为有理数，且0r1.求f（x）的最小值；（II）试用（I）的结果证明如下命题：设a10，a20，b1，b2为正有理数，若b1+b2=1，则a1b1+a2b2；（III）请将（II）中的命题推广到一般形式，并用数学归纳法证明你所推广的命题.注：当为正
10、有理数时，有求导公式(x）=x-1 .【解题指南】本题考查导数在解函数中的应用,本题(I)问中直接求导,求零点讨论单调性求解;(II)要构造函数，利用函数的单调性证明;(III)利用数学归纳法结合放缩法证明.【解析】(I)f(x)=r-rxr-1=r(1-xr-1),令f(x)=0,解得x=1.当0x1时,f (x)1时,f(x)0,所以f(x)在(1,+)内是增函数.故函数f(x)在x=1处取得最小值f(1)=0.(II)由(I)知,当x(0,+)时,有f(x)f(1)=0,即xrrx+(1-r).若a1,a2中至少有一个为0,则a1b1+a2b2成立;若a1,a2均不为0,又b1+b2=1
11、,可得b2=1-b1,于是在中令x=,r=b1,可得(a1a2)b1b1a1a2+(1-b1),即a1b1a21-b1a1b1+a2(1-b1),亦即a1b1+a2b2.综上,对a10,a20,b1,b2为正有理数且b1+b2=1,总有a1b1+a2b2.(III) (II)中命题的推广形式为:设a1,a2,an为非负实数,b1,b2,bn为正有理数.若b1+b2+bn=1,则a1b1+a2b2+anbn.用数学归纳法证明如下:(1)当n=1时,b1=1,有a1a1,成立.(2)假设当n=k时,成立,即若a1,a2,ak为非负实数,b1,b2,bk为正有理数,且b1+b2+bk=1,则a1b1a2b2akbka1b1+a2b2+akbk.当n=k+1时,已知a1,a2,ak,ak+1为非负实数,b1,b2,bk,bk+1为正有理数,且b1+b2+bk+bk+1=1,此时0bk+10,+ak从而 又因(1-bk+1)+bk+1=1,由得(1-bk+1)+ak+1bk+1,从而a1b1+a2b2+akbk+ak+1bk+1.故当n=k+1时,成立,由(1)(2)可知,对一切正整数n,所推广的命题成立.高考学习网中国最大高考学习网站G | 我们负责传递知识！
