1“赵爽弦图”考题聚焦王云峰我国古代数学家赵爽利用弦图（图 1） ，巧妙地证明了勾股定理第 24 届国际数学家大会为了纪念他，特意将弦图作为会标，现举例介绍以弦图为背景的试题，供参考 例 1 图 2 是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，在 RtABC 中，若直角边 AC6，BC5，将四个直角三角形中边长为 6 的直角边分别向外延长一倍，得到图 3 所示的“数学风车” ，则这个风车的外围周长（图 3 中的实线）是_解析 如图 3，标注出点 D、E、F、GAC6，BC5GD6DE5FGDC，FD2DG12在 RtDEF 中，由勾股定理，得EF132222512DEDG这个风车的外围周长为 4(EFFG)4(136)76 例 2 如图 4， 是用 4 个全等的直角三角形与 1 个小正方形镶嵌而成的正方形图案 已知大正方形面积为 49，小正方形面积为 4若用 x，y 表示直角三角形的两直角边（xy） ，下列四个说法：x2y249；xy2；2xy449；xy9，其中说法正确的是( ) (A) (B) (C) (D)解析 大正方形边长就是直角三角形斜边长，所以大正方形的面积等于直角三角形斜边长的平方由勾股定理知直角三角形斜边长的平方为 x2y2，所以 x2y249，正确 由小正方形面积为 4 知它的边长为 2，而小正方形边长等于较长直角边与较短直角边的差，所以 xy2，正确 大正方形面积等于 4 个直角三角形面积与小正方形面积的和，所以 412xy449，即 2xy449，正确 由、，得 x2y22xy449 2，即（xy）294，所以 xy，不49正确 综合知，选 B 2例 3 我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一副“弦图” ，后人称其为“赵爽弦图” （如图 5） 图 6 由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成记图中正方形 ABCD、正方形 EFGH、正方形 MNKT 的面积分别为 S1、S2、S2，若 S1S2S310，则 S2的值是_ 例 4 如图 7，已知小正方形 ABCD 的面积为 1，把它的各边延长一倍得到新正方形 A1B1C1D1；把正方形 A1B1C1D边长接原法延长一倍得到正方形 A2B2C2D2（如图 8） ；以此下去正方形 AnBnCnDn的面积为_ 解析 由小正方形 ABCD 的面积为 1，知它的边长为 1，则 DD11，DA12 如图 7，在 RtD1DA1中，由勾股定理，得 D1A2D1D2DA212225， 所以正方形 A1B1C1D1的面积为 5 如图 8，D1D2D1C1D1A1，D1A252D1A125在 RtD1D2A2中，由勾股定理，得 所以正方形 A2B2C2D2的面积为 2552 同理， 正方形 A3B3C3D3的面积为 12553； 正方形 A4B4C4D4的面积为 62554； 于是，可猜想正方形 AnBnCnDn 的面积为 5n 例 5 2002 年在北京召开的世界数学大会会标图案是由四个全等的直角三角形围成的一个大正方形，中间的阴影部分是一个小正方形的“赵爽弦图” ，如图 9若这四个全等的直角三角形有一个角为 30，顶点 B1、B2、B3、Bn和 C1、3C2、C3、Cn分别在直线 y12x13和 x 轴上，则第 n 个阴影正方形的面积为_4。