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1、2020年广东省揭阳市周田中学高二数学文模拟试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 若实数x，y满足不等式组，若、为整数，则的最小值（ ）A13 B16 C17 D19 参考答案：B2. 已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间0,2上是增函数,则 A. B. C. D. 参考答案：A3. 从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )A恰有1个黑球与恰有2个黑球 B至少有1个黑球与至少有1个红球C至少有1个黑球与都是黑球 D至少有1个黑球与都是红球 参考答案：A略4. 已知为函数上任
2、意一点，为点P处切线的斜率，则的部分图像是（ ）参考答案：B5. 若函数的图象在点处的切线被圆所截得的弦长是 ,则A. B. C. D. 参考答案：C6. 若，且，则向量的夹角为（ ）A 45 B 60 C 120 D135参考答案：A7. 直线xy20与圆x2y24相交于A，B两点，则弦AB的长度等于 ()A2B2 C. D1 参考答案：B略8. 极坐标方程所表示的曲线是 （ ）A两条相交直线B圆 C椭圆 D双曲线参考答案：D略9. 如图,有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高cm,将一个球放在容器口,再向容器内注水,当球面恰好接触水面时测得水深为cm,如果不计容器的厚度,则球的体积为
3、 ABCD参考答案：C10. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为P，各成员的支付方式相互独立，设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，则（ ）A. 0.7 B. 0.6 C. 0.4 D. 0.3参考答案：A某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，看做是独立重复事件，满足XB（10，p），P（x=4）P（X=6），可得可得12p0即p因为DX=2.1，可得10p（1p）=2.1，解得p=0.7或p=0.3（舍去）故答案为：A二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数的单调递减区间为 参考答案：（0，）12. 已知随机变量X的分布列为，那么实数a=_.参考答案
4、：3【分析】根据概率之和为1，即可求出结果.【详解】因为随机变量的分布列为，所以，因此.故答案为3【点睛】本题主要考查概率的性质，熟记概率性质即可，属于基础题型.13. 如图所示，图中曲线方程为y=x21，则围成封闭图形（阴影部分）的面积是 参考答案：2【考点】定积分；定积分的简单应用【分析】利用定积分的几何意义表示阴影部分面积，然后计算定积分【解答】解：曲线方程为y=x21，则围成封闭图形（阴影部分）的面积是=（x）|+（）|=2；故答案为：214. 已知双曲线的离心率为2，F1、F2是左右焦点，P为双曲线上一点，且，该双曲线的标准方程为 参考答案：略15. 某企业对4个不同的部门的个别员工
5、的年旅游经费调查发现，员工的年旅游经费y（单位：万元）与其年薪（单位：万元）有较好的线性相关关系，通过下表中的数据计算得到y关于x的线性回归方程为.x7101215y0.41.11.32.5那么，相应于点的残差为_参考答案：0.0284【分析】将x=10代入线性回归方程，求得，利用残差公式计算即可.【详解】当时，残差为y-.故答案为.【点睛】本题考查了线性回归方程的应用问题，考查了残差的计算公式，是基础题16. 给出以下命题：若，则f(x)0； ;f(x)的原函数为F(x)，且F(x)是以T为周期的函数，则；其中正确命题的个数为A. 1 B. 2 C. 3 D. 0参考答案：B略17. 已知一
6、个空间几何体的三视图如图所示，其三视图均为边长为1的正方形，则这个几何体的表面积为参考答案：3+【考点】由三视图求面积、体积【专题】计算题；数形结合；数形结合法；立体几何【分析】该几何体为边长为1正方体截去两个三棱锥得到的，作出直观图代入数据计算即可【解答】解：由三视图可知几何体为边长为1正方体ABCDABCD截去三棱锥DACD和三棱锥BACB得到的，作出直观图如图所示：该几何体由前，后，左，右，下和两个斜面组成其中前后左右四个面均为直角边为1的等腰直角三角形，底面为边长为1的正方形，两个斜面为边长为的等边三角形，S=+1+（）22=3+故答案为【点评】本题考查了不规则几何体的三视图及面积计算
7、，将不规则几何体转化到正方体中是解题关键三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知函数（1）当时，解不等式；（2）若时，不等式成立，求实数a的取值范围。参考答案：（1）当时， 即不等式的解集为（2）由已知在上恒成立，由，不等式等价于在上恒成立，由，得即：在上恒成立，的取值范围为19. 在区间0,1上给定曲线yx2，试在此区间内确定点t的值，使图中所给阴影部分的面积S1与S2之和最小参考答案：解：S1(t2x2)dxt3t3t3，S2(x2t2)dxt3t2.阴影部分的面积SS1S2t3t2(0t1)S(t)4t22t.令S(t)0得t0或t.又S
8、(0)，S，S(1)，当t时，S有最小值Smin.略20. 已知函数f（x）=ln（1+ax）（a0）（1）当a=时，求f（x）的极值；（2）若a（，1），f（x）存在两个极值点x1，x2，试比较f（x1）+f（x2）与f（0）的大小（3）求证en!（n2，nN）参考答案：【考点】利用导数研究函数的极值；导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）求出函数的定义域，求出导数，求得单调区间，即可得到极值；（2）求出导数，求得极值点，再求极值之和，构造当0t1时，g（t）=2lnt+2，运用导数，判断单调性，即可得到结论；（3）当0t1时，g（t）=2lnt+20恒成立，即lnt+10恒成立，设
9、t=（n2，nN），即ln+n10，即有n1lnn，运用累加法和等差数列的求和公式及对数的运算性质，即可得证【解答】解：（1）f（x）=ln（1+x），定义域解得x2，f（x）=，即有（2，2）递减，（2，+）递增，故f（x）的极小值为f（2）=ln21，没有极大值（2）f（x）=ln（1+ax）（a0），x，f（x）=由于a1，则a（1a）（0，），ax24（1a）=0，解得x=，f（x1）+f（x2）=ln1+2+ln12即f（x1）+f（x2）=ln（12a）2+ =ln（12a）2+2 设t=2a1，当a1，0t1，则设f（x1）+f（x2）=g（t）=lnt2+2，当0t1时，g（t
10、）=2lnt+2，g（t）=0g（t）在0t1上递减，g（t）g（1）=0，即f（x1）+f（x2）f（0）=0恒成立，综上述f（x1）+f（x2）f（0）；（3）证明：当0t1时，g（t）=2lnt+20恒成立，即lnt+10恒成立，设t=（n2，nN），即ln+n10，即有n1lnn，即有1ln2，2ln3，3ln4，n1lnn，即有1+2+3+（n1）ln2+ln3+ln4+lnn=ln（234n）=ln（n!），则ln（n!），故en!（n2，nN）21. 等差数列的前项和记为，已知(1)求通项； （2）若求。参考答案：22. 已知圆C的圆心在射线3xy=0（x0）上，与直线x=4相切
11、，且被直线3x+4y+10=0截得的弦长为（） 求圆C的方程；（） 点A（1，1），B（2，0），点P在圆C上运动，求|PA|2+|PB|2的最大值参考答案：【考点】直线与圆的位置关系【专题】综合题；方程思想；综合法；直线与圆【分析】（）依题意设圆C的方程为（xa）2+（yb）2=r2（r0），圆心在射线3xy=0（x0）上，所以3ab=0圆与直线x=4相切，所以|a4|=r圆被直线3x+4y+10=0截得的弦长为，所以，求出方程的解得到a的值，即可确定出圆C的方程；（）解法1：设t=x0y0，即x0y0t=0该直线与圆必有交点，所以，即可求出|PA|2+|PB|2的最大值解法2：由可设x0=
12、4sin，y0=4cos，即可求出|PA|2+|PB|2的最大值【解答】解：（）设圆C的方程为（xa）2+（yb）2=r2（r0）圆心在射线3xy=0（x0）上，所以3ab=0圆与直线x=4相切，所以|a4|=r圆被直线3x+4y+10=0截得的弦长为，所以将代入，可得（3a+2）2+12=（a4）2，化简得2a2+5a=0，解得a=0或（舍去）所以b=0，r=4，于是，圆C的方程为x2+y2=16（）假设点P的坐标为（x0，y0），则有 =38+2（x0y0）下求x0y0的最大值解法1：设t=x0y0，即x0y0t=0该直线与圆必有交点，所以，解得，等号当且仅当直线x0y0t=0与圆x2+y2=16相切时成立于是t的最大值为，所以|PA|2+|PB|2的最大值为解法2：由可设x0=4sin，y0=4cos，于是，所以当时，x0y0取到最大值，所以|PA|2+|PB|2的最大值为【点评】此题考查了直线与圆的位置关系，涉及的知识有：点到直线的距离公式，圆的标准方程，垂径定理，勾股定理，点到直线的距离公式，以及正弦函数的定义域与值域，是一道综合性较强的题
