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1、河南省商丘市永城马牧乡中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数部分图象如图所示，且，对不同的，若，有，则( )A.f(x)在上是减函数 B. f(x)在上是增函数 C. f(x)在上是减函数 D. f(x)在上增函数参考答案：B2. 已知复数（，为虚数单位），则 参考答案：C3. 阅读右边的程序框图，运行相应的程序，则输出s的值为（）A8B18C26D80参考答案：C4. 直线l：y=k（x）与曲线x2y2=1（x0）相交于A、B两点，则直线l倾斜角的取值范围是（）
2、A0，）B（，）（，）C0，）（，）D（，）参考答案：B【考点】双曲线的简单性质【分析】首先根据题意直线l：y=k（x）与曲线x2y2=1（x0）相交于A、B两点，进一步判断直线的斜率和渐近线的斜率的关系求出结果【解答】解：曲线x2y2=1（x0）的渐近线方程为：y=x直线l：y=k（x）与相交于A、B两点所以：直线的斜率k1或k1由于直线的斜率存在：倾斜角故选：B5. 已知函数，则下列判断正确的是（ ）A此函数的最小正周期为，其图像的一个对称中心是B此函数的最小正周期为，其图像的一个对称中心是C此函数的最小正周期为，其图像的一个对称中心是D此函数的最小正周期为，其图像的一个对称中心是参考答案
3、：B6. 已知在等差数列an中，Sn为其前n项和，若a13，S315，则a5（）A. 5B. 7C. 9D. 11参考答案：D【分析】设等差数列an的公差为d，利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出【详解】解：设等差数列an的公差为d，a13，S315，解得d2则a53+4211故选：D【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力.7. 平面直角坐标系中，已知两点，若点C满足（O为原点），其中，且，则点C的轨迹是A.直线 B.椭圆 C.圆 D.双曲线参考答案：A因为，所以设,则有，即，解得，又，所以，即，所以轨迹为直线，选A.8. 若集合则集合( )A（-2，+）
4、B（-2，3）C DR 参考答案：C略9. 设点P是双曲线上一点，则（ ）A2 BC3 D参考答案：C由于,所以,故,由于,解得,故选C.10. 若=x+yi（a，x，y均为实数），则xy=（）A0B1C2Da参考答案：C【考点】A5：复数代数形式的乘除运算【分析】利用复数的运算法则、复数相等即可得出【解答】解： =x+yi（a，x，yR），2+ai=xy+（x+y）i，xy=2故选：C二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 函数f(x)的值域是_。参考答案：12. 函数的反函数为，则 .参考答案：答案： 13. 椭圆的离心率为，则= 参考答案：14. 如图：梯形ABCD中，
5、ADBC，BD平分ABC，A=120，BD=BC=4，则梯形ABCD的面积等于_。参考答案：_4+12_略15. 、设，是各项不为零的（）项等差数列，且公差若将此数列删去某一项后，得到的数列（按原来顺序）是等比数列，则所有数对所组成的集合为_ 参考答案：略16. 函数f(x)=sin(x+)的最小正周期为 参考答案：6【考点】正弦函数的图象【分析】直接利用周期公式，即可得出结论【解答】解：函数的最小正周期为T=6，故答案为617. 如图所示是毕达哥拉斯的生长程序：正方形上连接着一个等腰直角三角形，等腰直角三角形的直角边上再连接正方形，如此继续若共得到1023个正方形，设起始正方形的边长为，则最
6、小正方形的边长为_ 参考答案：三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18. 已知O为坐标原点，过点的直线l与抛物线C：交于A，B两点，且 （1）求抛物线C的方程；（2）过点M作直线交抛物线C于P，Q两点，记，的面积分别为S1，S2，证明：为定值.参考答案：（1）；（2）详见解析.【分析】（1）设直线l的方程为xmy+1，与抛物线C的方程联立消去x得关于y的方程，利用根与系数的关系表示，从而求得p的值；（2）由题意求出弦长|AB|以及原点到直线l的距离，计算OAB的面积S1，同理求出OPQ的面积S2，再求的值【详解】（1）设直线：，与联立消得，.设，则，.
7、因为，所以，解得.所以抛物线的方程为.（2）由（1）知是抛物线的焦点，所以.原点到直线的距离，所以.因为直线过点且，所以.所以.即为定值.【点睛】本题考查了抛物线的定义与性质的应用问题，也考查了直线与抛物线方程的应用问题，是中档题19. 已知函数f（x）=2ax+bx12lnx（aR）（1）当b=0时，讨论函数f（x）的单调区间；（2）若对?1，3，?x（0，+），f（x）2bx3恒成立，求实数b的取值范围；（3）当xye1时，求证：exln（y+1）eyln（x+1）参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；3R：函数恒成立问题；6K：导数在最大值、最小值问题中的应用【分析】（1）当
8、b=0时，求导，根据导数与函数单调性的关系，即可求得f（x）单调区间；（2）将原不等式转化成a+，对?x（0，+）?1，3恒成立，构造辅助函数，求导，求得函数的最小值，由a的取值范围，即可求得实数b的取值范围；（3）由题意可知：exln（y+1）eyln（x+1）只需证，构造辅助函数，求导，根据函数的单调性求得g（x）g（y），即可证明不等式成立【解答】解：（1）当b=0时，f（x）=2ax12lnx，求导f（x）=2a=，（x0），当a0时，f（x）0在（0，+）上恒成立，函数f（x）在（0，+）上单调递减，当a0时，由f（x）0，解得：0x，由f（x）0，解得：x，f（x）在（0，）单调递
9、减，在（，+）单调递增，综上可知：当a0时，（0，+）上单调递减；当a0时，在（0，）单调递减，在（，+）单调递增，（2）由已知对?a1，3，f（x）2bx3对，?x（0，+）恒成立，则2ax+bx12lnx2bx3，对?x（0，+）?1，3恒成立，即a+，对?x（0，+）?1，3恒成立，设g（x）=a+，?x（0，+）?1，3，求导g（x）=，则g（x）在（0，e2）单调递减，在（e2，+）单调递增，当x0时，g（x）min=g（e2）=a，即a，由a1，3，则1，即a2实数b的取值范围（，2；（3）证明：xye1，则x+1y+1e，ln（x+1）ln（y+1）1，欲证exln（y+1）ey
10、ln（x+1）只需证，令g（x）=，x（e1，+），求导g（x）=，显然函数h（x）=ln（x+1），在（e1，+）上单调递增，h（x）=10，即g（x）0，g（x）在（e1，+）上单调递增，xye1时，g（x）g（y），即，当xye1时，exln（y+1）eyln（x+1）【点评】本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性的关系，考查利用导数求函数的最值，考查不等式恒成立，不等式的证明，考查分离参数的应用，属于难题20. （本小题满分16分）如图，水平放置的正四棱柱形玻璃容器和正四棱台形玻璃容器的高均为32cm，容器的底面对角线AC的长为10cm，容器的两底面对角线EG，E1G1的长分别为
11、14cm和62cm. 分别在容器和容器中注入水，水深均为12cm. 现有一根玻璃棒l，其长度为40cm.（容器厚度、玻璃棒粗细均忽略不计）（1）将l放在容器中，l的一端置于点A处，另一端置于侧棱CC1上，求l没入水中部分的长度；（2）将l放在容器中，l的一端置于点E处，另一端置于侧棱GG1上，求l没入水中部分的长度.参考答案：解:（1）由正棱柱的定义，平面，所以平面平面，.记玻璃棒的另一端落在上点处.因为，所以，从而，记与水面的焦点为,过作P1Q1AC, Q1为垂足，则 P1Q1平面 ABCD，故P1Q1=12，从而 AP1= .答：玻璃棒l没入水中部分的长度为16cm.( 如果将“没入水中部
12、分”理解为“水面以上部分”，则结果为24cm) （2）如图，O，O1是正棱台的两底面中心.由正棱台的定义，OO1平面 EFGH， 所以平面E1EGG1平面EFGH，O1OEG.同理，平面 E1EGG1平面E1F1G1H1，O1OE1G1.记玻璃棒的另一端落在GG1上点N处.过G作GKE1G，K为垂足， 则GK =OO1=32. 因为EG = 14，E1G1= 62，所以KG1= ，从而. 设则.因为，所以.在中，由正弦定理可得，解得. 因为，所以.于是.记EN与水面的交点为P2，过 P2作P2Q2EG，Q2为垂足，则 P2Q2平面 EFGH，故P2Q2=12，从而 EP2=.答:玻璃棒l没入水
13、中部分的长度为20cm.(如果将“没入水中部分”理解为“水面以上部分”，则结果为20cm)21. 在如图所示的空间几何体中，平面ACD平面ABC，ACD与ACB是边长为2的等边三角形，BE=2，BE和平面ABC所成的角为60，且点E在平面ABC上的射影落在ABC的平分线上（）求证：DE平面ABC；（）求二面角EBCA的余弦值参考答案：考点： 用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；与二面角有关的立体几何综合题专题： 空间位置关系与距离；空间向量及应用分析： （）取AC中点O，连接BO，DO，由题设条件推导出DO平面ABC，作EF平面ABC，由已知条件推导出EBF=60，由此能证明DE平面ABC（）法一：作FGBC，垂足为G，连接EG，能推导出EGF就是二面角EBCA的平面角，由此能求出二面角EBCA的余弦值法二：以OA为x轴，以OB为y轴，以OD为z轴，建立空间直角坐标系Oxyz，利用向量法能求出二面角EBCA的余弦值解答： （本小题
