《新教材人教B版高中数学选择性必修第一册1.2空间向量在立体几何中的应用 学案（知识点汇总及配套习题）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《新教材人教B版高中数学选择性必修第一册1.2空间向量在立体几何中的应用 学案（知识点汇总及配套习题）（68页珍藏版）》请在金锄头文库上搜索。
1、1.2 空间向量在立体几何中的应用1.2.1 空间中的点、直线与空间向量11.2.2 空间中的平面与空间向量11第1课时平面的法向量及线面位置关系11第2课时面面的位置关系、三垂线定理及其逆定理211.2.3 直线与平面的夹角301.2.4 二面角391.2.5 空间中的距离51第1课时两点间的距离、点到直线的距离、异面直线间的距离51第2课时点到平面、直线到平面、平面到平面的距离591.2.1 空间中的点、直线与空间向量课标解读课标要求素养要求1.能用向量语言描述直线,理解空间中直线的方向向量的意义及求法.2.了解空间中两条直线所成的角与两直线的方向向量所成的角的关系,会求空间两条直线所成的
2、角.3.了解空间中两条异面直线的公垂线段.1.数学抽象能判定并求解直线的方向向量.2.数学运算会求两异面直线所成的角.必备知识教材研习要点一空间中的点与空间向量一般地，如果在空间中指定一点O，那么空间中任意一点P的位置，都可以由向量OP唯一确定，此时，OP通常称为点P的 位置向量，特别地，空间直角坐标系中的任意一点都由它的位置向量唯一确定，从而也就由它的 坐标唯一确定.要点二空间中的直线与空间向量一般地，如果l是空间中的一条直线，v是空间中的一个非零向量，且表示v的有向线段所在的直线与l平行或重合，则称v为直线l的一个方向向量.此时,也称向量v与直线l平行，记作 vl .按照空间中直线的方向向
3、量的定义可知：（1）如果A,B是直线l上两个不同的点，则v=AB就是直线l的一个 方向向量（2）如果v是直线l的一个方向向量，则对任意的实数0，空间向量 v也是直线l的一个方向向量，而且直线l的任意两个方向向量都 平行；（3）如果v为直线l的一个方向向量，A为直线l上一个已知的点，则对于直线l上任意一点B，向量AB一定与非零向量v平行，从而可知存在 唯一的实数，使得AB=v，这就是说，空间中直线l的位置可由v和点A唯一确定；（4）如果v1是直线l1的一个方向向量，v2是直线l2的一个方向向量，则v1v2l1l2，或l1与l2重合.要点三空间中两条直线所成的角1.直线l1,l2的方向向量v1,v
4、2的夹角v1,v2与l1,l2所成角的关系如图（1）（2）所示，可以看出=v1,v2或=-v1,v2 .特别地，sin=sinv1,v2 ,cos=cosv1,v2 .要点四异面直线与空间向量1.直线l1 ,l2异面的充要条件如果Al1,Bl2,v1,v2分别是空间中直线l1,l2的方向向量，那么“v1,v2,AB不共面”是“l1与l2异面”的充要条件.2.两条异面直线的公垂线段一般地，如果l1与l2是空间中两条异面直线,Ml,Nl2,MNl1,MNl2 ,则称MN为l1与l2的公垂线段,空间中任意两条异面直线的公垂线段都 存在并且唯一 .两条异面直线的公垂线段的 长，称为这两条异面直线之间的
5、距离.自主思考1.点P的位置为什么可以由向量OP唯一确定？答案：提示因为一个向量和其起点、终点,三者中有两个确定了，第三个就确定了.2.直线的方向向量是唯一的吗？答案：提示不唯一.3.如果两直线的方向向量v1v2，那么这两直线重合的条件是什么？答案：提示两直线有公共点4.若直线l1,l2所成的角为30，则直线l1,l2的方向向量v1,v2的夹角的值是什么？答案：提示30或1505.如何判断v1,v2,AB不共面？答案：提示不满足共面向量定理.名师点睛1.在空间中,一个向量成为直线l的方向向量,必须具备以下两个条件：（1）是非零向量;（2）向量所在的直线与直线l平行或重合.2.与直线l平行的任意
6、非零向量a都是直线的方向向量,且直线l的方向向量有无数个.3.求直线AB的方向向量,就是找与AB平行的任意非零向量,因此可以在直线AB上任取不同的两点,分别以这两点为起点和终点的向量就是直线AB的一个方向向量,也可以在与直线AB平行的直线上任取不同的两点,分别以这两点为起点和终点的向量也是直线AB的一个方向向量.互动探究关键能力探究点一求直线的方向向量自测自评1.（多选）如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CC1上不与C1 ,C重合的任意一点,则能作为直线AA1的方向向量的是( )A.AA1 B.C1E C.AB D.A1A答案：A ; B ; D解析：1.由定义知,一个向量对应
7、的有向线段所在的直线与直线AA1平行或重合,则这个向量就称为直线AA1的一个方向向量.2.若A(-1,0,2) ,B(1,4,10)在直线l上,则直线l的一个方向向量为( )A.(1,2,4)B.(1,4,2)C.(2,1,4)D.(4,2,1)答案：A解析：2.由已知得AB =(1,4,10)-(-1,0,2)=(2,4,8)=2(1,2,4),故选项A中的向量与AB共线,是直线l的一个方向向量.3.已知直线l的一个方向向量v=(2,1,3) ,且l过A(0,y,3)和B(-1,-2,z) ,则y=，z= .答案：-32 ; 32解析：3.由题意可得,AB=(-1,-2-y,z-3)=(2,
8、1,3) ,=-12,-2-y=,z-3=3 ,解得y=-32,z=32 .解题感悟对直线方向向量的两点说明（1）方向向量的选取：在直线上任取两点P,Q ,可得到直线的一个方向向量PQ .（2）方向向量的不唯一性：直线的方向向量不是唯一的,可以分为方向相同和相反两类,它们都是共线向量解题时,可以选取坐标最简的方向向量.探究点二利用直线的方向向量解决平行、垂直问题精讲精练类型1 利用直线的方向向量解决平行问题例1如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,O是B1D1的中点,求证：B1C平面OC1D .答案：证明设DA=a ,DC=b ,DD1=c，则CB1=a+c ,DC1=b+c ,DO
9、=DD1+D1O=c+12(a+b) .设存在实数x,y ,使得CB=xDC1+yDO成立，则a+c=x(b+c)=yc+12(a+b)=y2a+(x+y2b)+(x+y)c .a,b,c不共线,y2=1,x+y2=0,x+y=1,解得x=-1，y=2,CB1=-DC1+2DO ,即向量CB1,DC1,DO共面.向量CB1不在DC1,DO所确定的平面OC1D内,B1C平面OC1D .类型2 利用直线的方向向量解决垂直问题例2 已知正三棱柱ABC-A1B1C1的各棱长都为1,若侧棱C1C的中点为D ,求证：AB1A1D .答案：证明设AB的中点为O ,作OO1AA1 ,连接OC ,以O为坐标原点
10、,OB,OC ,OO1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A1(-12,0,1),C1(0,32,1) ,A(-12,0,1),B1(12,0,1) ,D(0,32,12) ,A1D=(12,32,-12) ,AB1=(1,0,1) ,A1DAB1=12+0-12=0 ,AB1A1D ,即AB1A1D .变式在本例2中，若为AB的中点,连接OC ,证明:直线A1BCO .答案：证明由例2的解析,易知A1(-12,0,1),B(12,0,0),C(0,32,0) .所以A1B=(1,0,-1),CO=(0,-32,0) ,所以A1BCO=0 ,所以A1BCO ,即A1B
11、CO .解题感悟向量法判定直线平行.v1,v2分别为l1与l2的一个方向向量.（1）v1v2l1l2或l1与l2重合.（2）v1与v2不平行l1与l2不平行.（3）v1v2=0v1v2l1l2 .（4）v1v20v1与v2不垂直l1与l2不垂直.迁移应用1.已知三条直线l1,l2,l3的一个方向向量分别为a=(4,-1,0),b=(1,4,5),c=(-3,12,-9) ,则( )A.l1l2 ,但l1与l3不垂直B.l1l3 ,但l1与l2不垂直C.l2l3 ,但l2与l1不垂直D.l1,l2,l3 ,两两互相垂直答案：A解析：因为ab=(4,-1,0)(1,4,5)=4-4+0=0,ac=
12、(4,-1,0)(-3,12,-9)=-12-12+0=-240,bc=(1,4,5)(-3,12,-9)=-3+48-45=0,所以ab,a与c不垂直,bc .所以l1l2,l2l3 ,但l1不垂直于l3，故选A.2.如图,在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别是A1D1,D1D,D1C1的中点.求证：平面EFG平面AB1C .答案：证明设AB=a ,AD=b ,AC=c ,则EG=ED1+D1G=12A1D1+12D1C1=12b+12a ,AC=AB+AD=a+b ,AC=2EG ,故ACEG ,即EGAC ,AC平面AB1C，EG平面AB1C，EG平面AB1C .又E
13、F=ED1+D1F=12A1D1+12D1D=12b-12c,B1C=B1C1+C1C=b-c=2EF,EF/B1C，即EFB1C ,B1G平面AB1C，EF平面AB1C ,EF平面AB1C .又EGEF=E,EG,EF平面EFG ,平面EFG平面AB1C .探究点三异面直线所成角及其应用精讲精练例（1）（2021山东聊城一中期中）九章算术是古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著,书中记载了一种名为“刍甍”的五面体（如图）,其中四边形ABCD为矩形,EFAB ,若AB=3EF ,ADE和BCF都是正三角形,且AD=2EF ,则异面直线AE与CF所成角的大小为( )A.6 B.4C.3 D.
14、2（2）在三棱锥P-ABC中,AB=BC=2,AC=22,PB平面ABC ,点M,N分别为AC,PB的中点,MN=6 ,Q为线段AB上的点,使得异面直线PM与CQ所成角的余弦值为3434 ,则|BQ|BA|为( )A.14 B.13C.12 D.34答案：（1）D（2）A解析：（1）如图,以矩形ABCD的中心O为原点,CB,AB的方向分别为x轴、y轴正方向,作垂直于平面xOy的直线为z轴建立空间直角坐标系,由题意可知,EF平面yOz ,且直线Oz是线段EF的垂直平分线.设AB=3 ,则EF=1,AD=2,则A(1,-32,0),E(0,-12,2),C(-1,32,0),F(0,12,2) ,所以AE=(-1,2),CF=(1,-1,2) ,所以AECF=-11+1(-1)+22=0 ,所以AECF ,所以异面直线AE与CF所成的角为2 .（2）如图，在三棱锥P-ABC中，AB=BC=2,AC=22,BABC ,PB平面ABC ,以B为原点,BA,BC,BP所在直线分别为x轴,y轴，z轴建立空间直角坐标系,可知B(0,0,0),C(0,2,0),M(1,1,0),A(2,0,0),BM=2,MN=6,BN=MN2-BM2=2，PB=4，则P(0,0,4) ,设|BQ|BA|= ,且01 ,BA=(2,0,0) ,则Q(2,0,0) ,可知PM=(1,1,-4),CQ=(2,-2,
