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1、练习8-12.已知函数f(x,y)-x2+y2-xyJi,试求氏0圳,y解/(化少)二同2 + (。/-(左)(切(即県)-t2(x2 +)二户/(耳 J。， y3.试证函数功=lneh顼满足关系式：Fg hv)二F0 心F0 )+尸0;心F(y, v).证明 FCwe)=ln(W)hKs)=(hi x+ln j )(ln +ln v)二 InxJn +hL.Nn w+hi j 血 +ln yhi v二 F(t. )+F(x, v)+F(y ii)+F(y v).丄已知函数1胳产+i严二试求J(x+y. x-y, xy). 解 为+四x-yr邛卜门+丿产+何)4)二(吋沪+何臀 5.求下列各函
2、数的定义域：心二虾一E1)；解要使函数有意义,必须/-2X+1M),故函数的定义域为毎底.训/-+10.(T)z= , 1 + . 1 ;山+y x-y解 要使函数有意义，必须 wo,x-1 0, 故函数的定义域为Z)=Cv,)+0,x-j0).(3)z=Jx_&；解要使函数有意义，必须jt0,工20,1-决_.)20,故函数的定义域为/伐01尸0,皿/心(5)yjR2_x2项/+丄(给財);yjx+y+z-r解要使函数有意义，必须妙-.己卩_充0且J+J+扌丿o, 故函敏的定义域为D=y.:)好.(6)w=arccos解要使函数有意义.必须r+A0. K|己即孑W+./,故函数定义或为 g
3、*3号+佐0).6.求下列各极限:g）济:解應X湍(2) Inn m(*+).解 57=5w=h12- 1BH2-如+4.(xj)T(QO)XV(2-Ju+4)(2+J.w+J)解 lun= Inn一优 y)TQO)V 幻)*0)A：1(2+Ji：v+4)-1（課00（2十冨菖）TX】邛Qu+l+l)T(0,0)hin 血，+1+1)=二TO,。)Inn = liin(孔)t(o,o)Jv+11 (g y)(1。) (Jv+1+l)(Jv+l 1)(5) liin(:时y統 lim 1-coM+j2）_ r1-幅仃+尸）丄（v）t：qo）（./+仍* （X#T。,。 书+尹如）*丽灼二血冬二血
4、並二0fo t 1练习8-21.求下列函数的偏导数:二 Kr&；解穿3*.wvI，一_r.虫二Q(+与二丄，du dif v u v u2 )=T+(*-L)aicsm /y ,求兀(匕1).解因为/(以)二x+(H)m妹二了,所以烬D暮(以)二1.9 . 9r+r5. 叫儿丁在点(2,4,5)奸勺攔与正向腳岫艘多少?解竺=火=3 出dx 4 2l=tan,故=三4 6求下列函数的烏制爲. z=.x4-h-,4-4.x2v2； 解务4宀&*,囂*卄；訂宀z.寒=1宇-8.宀 聞*己財一1&,（2） z 二 aictan 上；解主=丄.（里）=_Z_沌项 ； 氓 + I .r2 .书+j2 dx
5、2 （寸+、2）2 .X2d2z 2口&_ （丄） X .加， 2 X -Y24-T2 * ch2 （,x24-v2）2 1+2洗顼（J ,）=（计+.）2）一护_ jJ/ dxd） ch- x2+y2 （.r+y2）2 （.v2+j2）2(3M.II5蔻T“w 平MJ伊 H 0(2m.H.4lm.+2n丄(自二+1). 会宇宇y7沛 m，xJ、uoo三fcLO切 WOOL。) 戸尸一)蛰囲*&.12+23 卜*!?.* 2.? 眼rM 2.1 Z+X , rNH 21. “XHO xxo。=2 知一2丁 p70.8、 v =ln(AT)+.V=ln(yv)+l,6xxy.一竺亠丄ch*2 .
6、XV x_2_加 23.，冼 .X 1dh 1dxdy xy y dxdy2 v2r9.验证: (L) 丁 = e一诚sin小:满足务k备证明因监m舛冷-=。*払。0闵IX “=-n2ekr?t Suva* dxdxL二一椅。械 sing所以空繇驾dr*挿”满足井1or证明奈=囘十亍沽冼7云I&厂 r22 .2k由对称性知因此d2r r2 - v2d2r_ r2z2Sy2 r3d2r d2r 产 N 1 法H! dx2 8v2 dz2r2-z2练习8-3L求下列函数的全微分:(1)Z=丕H解击点妇亲奸3+伊+（。手姉解加孙+豹=%林(3)z二解因为苦=*彳+器=-XV（移+J泸，届冬二 r 矿
7、 市一伊+尸严，所以 止二帀击+ k七 rfv =一（】市-5），（才+寸严（f+严（+护严吋凹丿（4妇气所以解因为加Z,談皿档*岫力uizv胜-価+厶即111.0 +以戸linrfc2.求函数z=ln（l+xM/）当x=,户2时的全微分.Ct 解因为务二1+搭尸切-1+日了dzdv_1疽所以41=!办+=办y=2 3.求函数z业当x=2,j=Lm=0.1?A-0.2时的全增暈和全微分.解 因为 七二上乏一上，土=_丄蜃+丄頌, jv+Av xx所以，当=2,jtl,Ax=0.1,Ay=-0.2 时,上=些竺-丄-0.119.2+0.1出=-扌一 -7x0.1+x(-0.2) = -0125.
8、4.求函数2=/ = .r=l, v=l,Ar=0.15,Ay=0.1 时的全徴分,解 因为 卜辭8 nf dx du axdv# 上4.3|4!贸+|雲快8 3海 ZH%刮 XHSs-*湯冊.Bn 忡十仰下&f+%&T2)32北售 2y(c0ST 宅)&m&(cosrl)4萍zgcs 一#y)剖x+3*4dr12?解 dz 顼z dx dz dy =_1_3 十 一1dl & dl dy dl l-(x-y)2/_(工_分3(l-4/2)-Jl_(3/S)25.设5曲）,而段,求名解芸嚥+富务=鬲+击宀潔7.设2=arctan,而了二“切戶i,验证寿+窘f .&求下列函数的一阶偏导数（其中/
9、具有一阶连续偏导数）:解将两个中间变量按顺序编为1,2号,M f gfx2-2) dx 71 fir网， 郛-解斜成伊牖=折 黔啄誹碣（9=号 m河飄）=解 彩=斤1+寸+注族+沂+肉;, 箫 *+. xz=切+翊， 如林.9.段z+x啲而吧,晌为可导甬数，证明垮*啮证明 噜+噬祯+用(畦+y5”)?=4y+F(m)-F(m)+jx+ F(w)W+刑硏件+91。皿而，其燮可导心证豈齐.证明齢与金产孺，dz 二./ (u) -(-2y)= 1- 2丁2/力一 /2() /()产(以)所以1 &丄 1 3z_ 2yf 2yf 1 1 1 _ z X dx y dy 尸w f2u y f(u) y X y212.求下列函数的导,轰制其中/具有二阶连续偏导数）:解令gx, v=-,则硕次）.由顼.也明也冬挡ex cu ax uv ox on y ov& 功 dvx-i二一 dy dv dy 寸加因为血诚渊卩的函数,所以9祁也是。机的函数,从而2碍 CU CVCU 0V是以点卩为中间变量的X和的函数d2z_ d d iOf 1 dx2 dx dx dx du v dudx
